Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е. не зависела бы от ориентировки площадки, и вместе с тем служила бы для определения напряжения ри в зависимости от заданного орта п площадки. Аналогичный вопрос приходилось уже решать в на шле й 7 вре- да дыдущей главы. Скаляр — и вектор — - зависели не голько от поло- дг дг жения точки в пространстве, где они вычислялись, но и от направления дифференцирования. Эти величины не представляли скалярного и векторного полей, но выражались простыми формулами (10) и (23) как произведения орта на вектор градиента скалярного поля или дифференциальный тензор векторного поля. Последние две величины были уже однозначными функциями и образовывали соответственно векторное и тензорное поля.
Докажем, что и напряжения можно выразить как произведения орта п нормали площадки и некоторого тензоро, представляющего однозначную функиию точек пространства. Рассмотрим вырезанный в среде элементарный тетраэдр МАВС (рис. 2б), с вершиной в данной точке М, основанием — треугольником АВС, образованным пересечением наклонной плоскости тремя координатными плоскостями и имеющим плошадь доп, и боковыми гранями в координатных плоскостях с площадями де„, гйв, ~йк 87 ф 14) елсшчгдельншг массы, гкнзое напеяжг нное ги Значок при элементарных площадках, так же как и при нанряжеииях, приложенных к ннлг, обозначает ось, нерпендикуллрную площадке. Рассматривая взятый бесконечно малый тетраэдр как жидкий, т. е. состоящий из частиц движущейся жидкости, напишем уравнение движения центра тяжести этой системы частиц, общая масса которых пусть равна лгт; булем иметь Ч, сгт = Г ггт+ р„сгач- — р~г1а — ря Ыа, — р, г(еь, (6) Р г1оч = Рхг1сж+ Рчггзя+ Рчпз ' (7) Замечая, что: г1яч = г1е„соз (п, у) = — и гЬ„, ~ Ыа,=г1тч соя(п, з) =л.
дузь, 1 (8) щшу ппп Рч -- гг, Рл+ пирл чц ньр ' нлн в проекциях на оси декартовых координат; ! р„=л р, -~-икра —,п,р,м, ~ Рчк = лхрхз+ лурзя + варяг Ргм ггхрх~ ~ гггруе, льрьм (10) Припоминая определение напряжений р, р„, р„заметим, что при принятых обозначениях первый подстрочный индекс при напряжении р обозначает ось, перпендикулярно которой ориентирована площадка, второй индекс в ось, на которую спроектировано это напряжение; гак, например, р, обозначает проекцию на ось л напряжения, приложенного и площадке, перпендикулярной оси х. где Ч, — вектор ускорения центра тяжести тетраэдра, Р— плотность распределения об.ьемных сил в жидкости, р„, р, р„, р, †векто напряжений, приложенные к положнгельньгм сторонам площадок гй„, г1ем, сЬк и до„т, е. с той с.гороны, куда направлены векторы п, 1, ) и к (йа рис. 25 показаны векторы ориентированных площадок 1Жм, ),йю )ггтс, и псгз„); в правой части уравнения (6) при последних трех 'щепах стоят знаки минус, так как внепшие стороны площадок Нет, сгзю ~1а пРи пРинЯтом напРавлении оРтов осей окззываютсЯ отРицательными.
В уравнении (6) член слева н первый член справа, как величины третьего порядка малости, содержащие элемент лхассы, пропорциональной обьему, можно откинуть по сравнению с остальными членами, пропорциональными элементам поверхности; тогда будем иметь 88 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [Гл. н Величины р, Р„„, Р называют нормальными напряжениями, Р в Рг.
Рь ° ° — «асательными напряжениями, Система равенств (10) показывает, что проекции на оси координат напряжения, приложенного к любой наклонной плошадке, выражаются простой линейной зависимостью через проекции напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным плошадкам, лежащим в координатных плоскостях, т. е. через совокупность девяти величин: (Рать Рг Р и Рау Рьу Рьв Раь~ Руь~ Рьь причем зависнльость эта совершенно аналогична системе равенств (20) э 7. Вспомним данное В Э 7 гл. ! общее определение тензора 2-го ранга, как совокупности девяти величин, которые, будучи умножены на проекции физического вектора по формулам типа (20) й 7 гл.
1 или, что все равно, по формулам (10) настоящей главы, определяют проекции также физического вектора. Согласно этому определению, совокупносгпь девяти напряжений (11) образует твнзор 2-го Ранга, который обозначим заглавной буквой Р и назовем твнзором напряженности или тензором напряжений. Вектор напряжения рп, приложенный к любой наклонной площадке с ортом и, определяется как произведение этого орта на тензор напряженности по формулам (1О) или, в синтетической форме, (12) р„= пР. Итак, в каждой точке жидкости нли газа имеется бесчисленное .Еножесгпво векторов нанРЯжений Рп, зависвщих от выбоРа наклона площадки в этой точке, и один тензор Р, характеризующий напряженность жидкости в данной то ~кс, Напряжения, приложенпьье к различно направленным площадкам, выражаются по формулам (10) или (12) через значение тензора напряженности в данной точке.
Отдельные компоненты тензора Р, образующие таблицу (11), зависят от выбора направлений осей координат, но те«вор в целом представляет 0[изичвску~о величину, выражаюи[ую определенное состояние жидкости или газа — их напряженность, и не зависит, конечно, от выбора координат. Применим теперь теорему моментов к движению жидкого тетраэдра, причем, по предыдущему„пропустим, как малые высшего порядка, члены, выражающие момент количества движения тетраэдра и момент массовых сил, пропорциональные объему тетраэдра. Тогда, обозначая через г, г„ г н га (рис. 25) векторы-радиусы по отношению к точке М точек [з[, О[О Хя и [з[е пРиложенив векзоРов напРЯжений ф 14) влспгвдвлвнив массы.
твнзог нлпгяжвнности граней, будем иметь: гХр„~Ь„=г, Х р ~й, +ге Х р,де„+гаХ р,~1ея, или по (8): г Х р„=г1 Х р и +ге Хр,п„+гаХр пч, с другой стороны, умножая векторно на г обе части равенства (9), получим: гХ р„=гХр и +гХ р„пч+гХр и,; огсюда почленным вычитанием найдем: (г — г,) Х р„п -1- (г — г ) Х р„а, + (г — га) Х р,ич =- О. г — г =х1, > г — г =г1с а— г — гя =У1, так что предыдущее равенство переписывается в виде: хп 1Х р +уп 1Х ря-~-гп,1хХ р = О.
Докажем, наконец, что (13) хп = упа = гп. ", для этого заметим, что плоскость М,МяМа параллельна плоскости М1Х,Ма или, что все равно, плоскости АВС, так как по определению сочек пересе ~ения медиан треугольников: ММ,: ММ, = М№: МИ, = Л |Ма: МИ, = 2: 3. 11ри этом нормаль и будет нормалью и для плоскосгн М,МяМа, так что г "п=г п==-гз и ума+аль=хп +гпа=хп. ( 1шч, нли а следовательно, хп, =уп = гп,.
У После этого равенство (13) переходит в соотношение 1Хр +1Хр„+1сХ р:=О, С ошибкой тем меньшей, чем меньше размеры граней, можно считать, что напряжения распределяются по граням павномерно, и, следовательно, главные векторы нх приложены в центрах тяжести граней, т. е. на пересечениях медиан соответствующих треугольников, в точках М, М„М. и Ма, причем точки М,, Мя и Ма будут проекциями точки М на координатные плоскости; отсюда следует: .)о основные тглвнзиия движяния и 1лвновзсия [гл. и проектируя которое на оси координат, получим: Ргг = Ргг Рво = Ргв Р*х = Рм" (14) Систелга равенств (14) выражает те о рему о в злим н ости к а с атель ны х напр я ж е н и и; если в некоторой точке сплолиной среды провестпи две взаилгно перпендикулярные зле.кем!парные площадки, то проекяии напряжений, приложенных к каждой из площадок, яа ось, перпендикулярную к другой площадке, будут между собою равны.
Еще иначе эту теорему можно проформулировать так: тензор яапряженносгпи симметричен. й 15. Общие уравнения динамики сплошной среды. Уравнение неразрывности. Уравнения динамики в напряжениях и по пззестнол1у свойству скэлярлю-зекторного нронззслешш, будем пметы дг Гдг дг1. от = 1:ог (оглу;ог ) = - — ° (- -;( —,оаоЬЬс= дх дх дх да ' дЬ ' дс ду ду ду да ' дЬ ' дс дг дг дг да ' дЬ ' дс оа оЬ ос = -1- — ' ' — оа оЬ ос, 0(х, у,г) „ тле использовано общепринятое обозначение лля лкобнэвэ, л Подробнее см, об этом гл. УИ,() 60.
Переходя к составлению общих уравнений динамики жидкости или газа, начнем с вывода уравнения неразрывности (оплошности), Будем исходить из основного закона классической механики о сохра- нении массы при ее движении; используя понятие индивидуальной производной, можем написать: — от.= — (рдт) = О. д ат дг (15) Желая получить ураэненяе неразрывности в переменных Лагранжа (б 8), перепишем (15) а виде а от = го Зта (! 5') где В н Ьт — текущие значеняя плотности и элемента объема н оэ, Ьто — на- чальные их значения в момент времени т = г„. Представим себе элементарный объем Зт как координатный параллелепипед в системе криволинейных коор- динат — переменных Лагранжа — а, Ь, с; тогда стороны этого параллелепипеда будут определяться направленными элемеитамн координатных линий: л Зго, огь, ог, равных частным дифференциалам вектора-рэднуса г(х, у, г) по коор- динатам и, Ь, г: дг .
дг . дг „ ого = — ои, Гь = .— ° Ь, ого = — ог, да ' дЬ ' дс 91 1б] онщиа уравнения динамики ш!Лошной сРзды Аналогично получим в момент времени Г = г,: 0 Схв, ут гв), втв — ' ' аваев и, следовательно, ио (15г). (х у л) (С, Ь )О(л'в ув гв) Это н есть уравнение неразрывности е лагранжевых переменных; его было бы правильнее называть уравнением сохранения лтссы. В частном случае жидкости постоянной плотности — несжимаемой вшдкостн — р= р„н уравнение (!б) принимает форму уравнения несжимае,иостн в лагранжевых переменных: ):1 (х, у, х) 7) (хт у„, е„) (17) с) (а, Ь, с) 7) (а, Ь, с) или, полагал хв ==: а, ув = Ь хв = с, О(х,у, л) 1)(а, Ь,с) (17') В зйлеровых переменных уравнение неразрывности можно получить, производя дифференцирование в формуле (15) и используя представление о дивергенции скоростного поля как скорости относительного расширения объема (вспомнить формулу (59') 9 11]: — Вт + р — оа = — ос + р г]]ч Ч бт = О, йр й „а'р йг йс йг откуда и найдем уравнение непрерывности в эйлеровых переменных — +рб]чЧ= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
