Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 19
Текст из файла (страница 19)
йр йг (18) К гому жс выводу можно было иридтн, записав закон сохранения »ассы для конечного объема ; в анде; — оба =- О; йс (19) производя дифференцирование, получим 1ю предыдуцтему: — от + ~ р — о= = ~ ] — р + р д]ч Ч) от = О, ~-:~т, ." -- 2 откуда, в силу произвольности объема интегрирования, вновь получим уравнение (18). К тому же результату можно придти, разделив обе части последнего уравнения на объем -., содержащий внутри себя заданную точку, и переходя к пределу прн сгремлении об.ьема к нулю и стягивании его к данной точке, 92 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [гл. и вспоминая затем формулу векторного анализа д[ч(рЧ) = Ч ° игайр+р ЙУУ, окончательно найдем уравнение неразрывности в эйлеровом представлении в наиболее употребительном виде: — Р+ йч[рУ) = 0 дг [2Ц и.чи в декартовых координатах: др д, д д — '+ — [ри) + — [рп) + — [ртв) = О.
дс дх ' ' дс ' дв [22) В дальнейшем нам придется встречаться с двумя различными видами уравнений механики сплошной среды; 1) интегральным, выражающим связи между Величинами в некоторых конечных объемах и на ограничивающих их поверхностях, и 2) дссфференпиальнылс, связывающим значения величин и их производных в данной точке. Примером уравнений в интегральной форме может служить уравнение сохранения массы [19) и в дифференциальной форме — (18). Переход от интегрального вида уравнения к дифференциальному совершается одним из следующих двух приемов: делением обеих частей уравнения на величину обьема с последующим стягиванием объема к выбранной точке пространства или сведением всех интегралов к одному объемному и приравниванием нодинтегрального выражения нулю вследствие произвольности объема.
Оба эти приема были только что применены при выводе уравнения [18). Основной особенностью дифференциальной формы уравнений динамики жидкости и газа является то, что входящие в них величины представляют плотности распределения массы, объемных и поверхностных сил и т. и., а не сами величины, относящиеся к элементарному или конечному об ьему.
Обратный переход от дифференциальной формы к интегральной совершается умножением на элемент объема и интегрированием по конечному объему. Инпсегральная форлса имеет ссреимуисесспво перед дифференссиальной, если входяисие в уравнение величины претерпевают внутри среды разрывы непрерывносспи. В этом случае дифференциальная форма уравнений не может быть использована во всем пространстве, заполненнолс жидкой средой, в то время как интегральная форма с успехом используется. Заменяя в уравнении (18) индивидуальнусо производную по времени от плотности известным ее выражением через локальную и конвекгнвную производные [9 9, формула [41)), получим: — + У ° пгай р+ р дсч У вЂ” — П, др [20) ь 1б) оящив твлвыяния динамики сплошной сеяны ОЗ В частном случае несжимаемой жидкости (р=сопз1) уравнение неразрывности переходит в уравнение несжимаемости: ди де , дя б1 ч Ч = — - + — + — =- О.
дх ду дх (23) К= ) РЧда. Приравнивая индивидуальную производную главного вектора количеств движения главному вектору внешних массовых и поверхностных сил, получим: и дК вЂ” — РЧг7т= — ~ РРг1т+ ~ ряг1а. (24) Рис. 26. Индивидуальная производная от главного вектора количеств дви>кения равна — ! аЧ Ыт = ~ Р— пгт-г- ) Ч вЂ” (р гЕ) = ~ р — г1т, (25) г так как на основании закона сохранения массы (15) второй интеграл пропадает. Чтобы преобразовать поверхностный интеграл, стоящий в правой части (24), в объемный, спроектируем обе части интегральной формулы (70) предыдущей главы на ось х н положим в ней а равным попеременно аа, ая, л,; тогда получим: ла да= ~ д дт ~ иа л!а= ~ — ~г1т, Г даг л а да = ~ — * Ыт' дх а умножая после этого обе части первого равенства на 1, второго— на 1, третьего — на )с и складывая, будем иметь: ~' да, Лля вывода основного динамического уравнения движения жидкости или газа применим к объему т (рис.
26) теорему об изменении количеств движения системы материальных частиц. Заметим, что главный вектор количеств движения частиц объема К равен интегралу от произведений их элементарных масс Жги на векторы скоростей частиц Ч: Рдо (Гг!. и основныг. тялвнзння движения и !лвновесня Повторяя аналогичные выкладки с производными по у н е, получим окончательно следу!ощую группу интегральных формул: — а'- да дх ~ и аа!е=- ~ пна по — йт, (26) и аг7в =- ~ — сгт. г да ~ д- Пользуясь (9), перепишем поверхностный интеграл н уравнении (24) в виде; ~ р.„йо =-= ~ и, р,.до+ ~ пере йо+ ~ пер,йс, а нли, по (26), окончательно: ~(д +д +д ) (27) йр —— йЧ дрх дре дре'! (Р— — ог — — — — — — ! ат = О, (," Ж ' дх ду де,) (27') илн, используя произвольность обьема * и приравнивая подинтеграль- ную функцию нул!о во всех точках области движения, будем иметь то же уравнение в дифференциальной форме: йЧ, дрх дре др, о — = ор-'~- — + — "-4-:, Пг ' дх ду ' де ' (28) Это векторное дифференциальное уравнение, или эквивалентная ему система трех дифференциальных уравнений в проекциях: др „др„х дрех дх ' ду ' дг ' дрюу др„„древ — + — + „) д ду д.
" йи пг х по г — =РР + йг я (29) йы Р~е+ Подставляя в (24) значения входящих в него величин, согласно формулам (25) и (27), и перенося все члены в одну сторону„получим основное динамическое уравнение движения сплогиной среды в инпсегральной форме: % )5! ОБЩИЕ УРЛБНН1ИЯ ДИНзМИЬИ СИЛОШНОЙ СРЕДЫ гди, ди ди, диу р!' — —,— и — + Π— +Ф/ — '! ' 1,дг ' дх ду де>! др йр,+— дх ди +си — „) =- др, !,р + — ' в дх + ев — ) =--.
ди>' др. дл др,1 дра + — '+— д1> дг ди О— д 1' Где ди >! — -1. и — + , дг дх+ (йо) дрие драв -1- — + — > д1> дг Гды ды ,Б! — + п — + ' >,дг дг ди> О— д , дрва дра> Д>тя дальнейшего существенно подробнее рассл1отреть механический смысл входящего в правую часть уравнения (28) вектора дам дрк дра — '+ — + — ' дх ду де ' который, согласно (27), можно представить как предел Вш — ) р„де = !!ш — ~ пр а>е Ла.+Ба ! Ла-ЭБ аа ! Ьа Ь". отношения главного вектора поверхностных сил, приложенных к бокоБой поверхности Ле произвольно выбранного в данной точке гИ элементарного об.ьема >лт, к самому объему Лт, при стягивании поверхности Ьа к точке М.
Этот предел можно было бы назвать главным веюаором поверхнотпнь>х сил, приведенным к единице Обьема в данной >почке потока, а всктор главным век>пора.к поверхностных сил, приведении.к и единице Бассы в данной тощее потока. В отличие от напряжений поверхностных сил р, ргл р„величины и направления которых зависели от выбора направлейия осей координат в данной точке или направления наклонной площадки, главный вектор поверхностных сил, приведенный к единице массы или объема, носит наименование уравнении динамики в напрнженипх и играет основную роль при выводе всевозможных частных видов уравнений динамики жидкости и газа. Если выразить индивидуальные производные от проекций скорости по времени, входящие в левую часть уравнения (29), по (40) 9 9, то уравнения !29) запишутся в развернутой форме; основныг кялвнення два>кения и Рзвновгсия ) гл.
11 представляет однозначную векторную функцию координат данной точки пространства, не зависящую ни от выбора системы координат, ни от формы стягивающейся к точке поверхности, к которой были приложены поверхностные силы, сведенные в главный вектор. Иными словами, приведенньсе к единице обьема или массы главные векторы поверхностных сил образуют векторное поле, в чо время как сами поверхностные силы поля не образуют.
В теории электричества и магнетизма силу, с которой поле действует на „единичное тело' (единица заряда, единица магнитной массы и т. п.), помещенное в поле, называют напрязкением поля; произведение напряжения поля на величину помещенного в поле „тела" (заряд, магнитная масса и т. и.) с тем или другим знаком дает вектор силы, действующей со стороны поля на это „тело" (заряд, массу), Точно так же н главный вектор поверхностных сил, приведенныи к единице массы или обьема, представляет „напряжение", или, чтооы не спугать с использованным ранее термином напряжения для поверхностной силы, отнесенной к единице площади, лучше скажем, интенсивность поля главных векторов поверхностных сил в потоке.
Эту величину можно было бы еще иначе назвать интенсивностью обьемного действия поверхностных сил. Умножая эту интенсивность соответственно на элемент обьема или массы, получим главный ветпор поверхностных сил, приложенных к выбранному элементу объема нли массы, Могут быть случаи, когда при налгтии поверхностных сил обьемное нх действие во всем по~оке равно нулю; это имеег место, как в дальнейшем будет показано, например, прн безвнхревом движении вязкой жидкости. Введем следующую дифференциальную операцию над тензором напряженности Р в предельном интегральном представлении (при стремлении йе к нулю й-, как всегда, стягивается к данной точке пространства): 1 Пч Р= Вш — ) пРйо (31) Ьс.ье й' ' Ь н назовем этот вектор дивергенцией тензора Р.
Заглавная буква в символе Р1к поставлена, чтобы подчеркнуть отличие операции П)ч от операции д1ч, производимой над векторной функцией. Как было показано в предыдущем параграфе, тензор напряженности Р характеризует напряженное состояние сплошной среды в данной точке. Только что введенный в рассмотрение вектор представляет собою векторную меру неоднородности напрязкенного состояния среды. Зтой мерой, как видно из предыдущего, служит отнесенный к единице объема главный вектор сил, приложенных к поверхности, ограничивающей выделенный в среде объем, если этот объем устремить к нулю, стягивая его боковую поверхность к рассматриваемой точке 15) оиция я ввнепия динлмики оплошной сеиды 97 В!ч Рй. - — главный вектор поверхностных сил, приложенных к замкнутой поверхности о, ограничиваюпгея конечный объем т, причем по (24) и (12): ~ О!чрйт = ~ рпйо=- ~ пРдж Оггюда вытекает формула ~ пР йз =- ~ !)! ч Р йт, и т ( )2) верная для любого тензора 2-го ранга и представляющая тензорное оообщенне формулы Остроградского 1(бб) гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
