Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 41
Текст из файла (страница 41)
при прохождении газом участка подогрева остаются в силе следующие два равенства: ри = сопз1, Р зг- Ри- = соп51. (99) ри =--' 1е = 1з ., = ярМ = рМ ~/ —.,= соп51, р ри 1 ГЛ р = и'= ' ущу- ~ 31Т= Р+Р" =Р(1+ — „-) =Р(1+ге —,) == Р(1+ АМе) =-сопз1. (100) Отсюда, деля одно равенство на другое, полу~им искомую связь числа М с обычной температурой Т или температурой изэнтропнческн заторможенного газа То.
1+ кМт )ТТ = сопз1, ] 1+ ИМе МУ 1+-' — ''М ! (101) Применим эти равенства к двум сечениям потока, ограничивающим у ~веток подогрева, тогда будем имен: Мз 1+ ФМ~ Ме-~Т 1+ ' —,' М,- (102) 1-)- ьМ, Зпзи отношения: т, аТ Ты аТч 1+ —,, —.=1+— — Ть н число М, до прохождения участка подогРева, по формулам (102) "айнем Мз, а уже затем по второй ич формул (100) — и отношение давлений р, 1+ ЛМ;' (10З) р, 1+аМ," з к ниь л г. лььвчкььь. Припоминая известные уже формулы связи адиабатической скорости звука с температурой, давлением н плотностью газа, а также определение числа М, будем ииетьс Одномвгныи поток идеальной жидкости [гл.
>и вП0 а также и все остальные термодинамические параметры. Наконец, зная число Мя и температуру Тв, легко найдем и скорость газа за участком подогрева. Введем в рассмотрение функцию М ф' 1+ — Мо / ~(М)= ' ) +«М> (104) входящую во вторую расчетную формулу (102). Вычислив производную 1 — Мг ~(М) = М(1 +«Мг)(1+ — Мв) 2 видим, что функция ДМ) имеет максимум при. М = 1, и этот макси- мум равен У(1) = )' 2(«+ 1) На рис. 50 приведен график функции 1 (М) для воздуха (« = 1,4).
Как видно нз графика, подогрев газа прн М, (1 вызывает возраста- ние числа Мя, а при Г>в> " М, ) 1, наоборот, убью, ванне числа Мя. Следовател> но, приток тепла к дозеукоео.иу яотоку ускоряет его, о>поод тепла — замедляет. В слу- >ае сеерхзоу>сового оотоо аг од ов ов >о >г,в >в >в го ка, наоборот, приток тепла замедляет поток, Рнс. 50.
отвод — ускоряет. Так, например, при Т>о=540'К н М, = 0,5 увеличение температуры на 20о>о приводит к возрастанию числа М до значения Ма=0,6. При той же начальной температуре н числе М, =1,4 подогрев на 7о>о приведет к уменьшению числа М до М = 1, прн этом давление увеличится более чем на 50о>о. Одномерное течение газа в связи с многочисленными его приложениями к расчету реактивных двигателей н других газовых аппаратов представляет в настоящее время едва ли не самый разработанный раздел современной механики газа. Литература в этой области весьма обширна и разнообразна.
ГЛАВА Ч БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ф 35. Сохранение циркуляции скорости в потоке идеальной жидкости. Теорема Кельвииа и Лагранжа. Безвихревое движение. Потенциал скоростей Рассмотрев в предыдущей главе одномерное движение в идеальной жидкости, перейдем теперь к следующим в порядке сложности классам двигкений — двух- и трехмерным. Таковы, прежде всего, плоское движение жидкости, затем осесимметричное и, наконец, общее пространственное движение.
Исследование этих случаев представляет, по сравнению с одномерным потоком, большие математические трудности. Чтобы сделать решение возможным для интересующих практику конкретных задач, необходимо принять некоторые дополнительные упрощающие допущения об общем характере движения. В обосновании выбора этих допущений оснояную роль играют следующие две общие теоремы динамики идеальной жидкости. Теорема Кельвнна о сохранении циркуляции скоРости: при бароьпропном движении идеального газа под дгйспгвием потенциального поля обьемных сил циркуляция, скорости по любому за кинутому жидкому контуру сохраняет свое значение.
Эта теорема легко доказывается при помощи изложенной в конце в 1З кннеиатнческой теоремы Кельвина об изменении во времени циркуляции сьоростл. Согласно этой теореме, индивидуальная производная по времени от циркуляции скорое>пи равна циркуляции ускорении: — „~(Ч ° йг) = ~ (Ч ° 3г). Подставим в правую часть выражение ускорения по основному уравнению Эйлера (5) гл. П1, которое в случае потенциальных объемных .
ь'х сил и баротропности движения может быть переписано в виде Ч = — йтад (П + У)1 тогда получим д Г ~гад (П+ м) . " = 1аь плоское пвзвихгввов движения ягидкости (гл. и — 01 (Ч ° йг) = 0 йг .> (Ч ьг) = сопз1, и„ следовательно, что и доказывает теорему Кельвина. Вспоминая, что циркуляция скорости по замкнутому контуру равна суммарной интенсивности вихревых трубок, опоясанных этим контуром, можем на основании теоремы Кельвина заключить, что при принятых оговорках о баротропности движения и потенциальности обьемных сил сохранив>пел н интенсивноппи вихревых трубок; (го1 Ч)„йе = сопз1. ы Предположим теперь, что в данный момент времени во всех точках некоторого жидкого объема отсутствует взвихренность (го1 Ч = О), т.
е. жидкость в этом объеме движется без вращения, совершая лишь поступательное и деформационное движение; тогда, согласно (1), и в любой другой момент времени ~ (го1Ч)пйо=О. (2) В силу произвольности выбора величины и ориентации поверхности а из равенства (2) вытекает, что в любой момент времени в рассматриваемом движущемся объеме жидкости или газа будет выполняться условие отсутствия завихренности го1Ч = О.
Это чрезвычайно важное следствие теоремы Кельвииа приводит ко второй теореме — теореме Лагранжа о сохранении безвихревого дяиж ения: если во всех точках некоторой баротропно движуигейсп под дейапвием обьемных сил с однозначным потенциала.к идеальной жидкошпи вихрь скорости в данный момент равен нулю, то и в любой другой момент движение будет безвихревым. Предположим, например, что твердое тело совершает движение сквозь неподвижную идеальную жидкую или газообразную среду. так как скалярное произведение градиента от некоторой функции на ориентированный в пространстве элемент дуги кривой есть не что иное как полный дифференциал этой функции, взятый вдоль дуги кривой. При однозначности функций П и аг контурный интеграл по за.
мкпутому контуру от полного дифференциала равен пулю, так что % 351 СОХРАНЕНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ 213 или, что все равно, среда обтекает неподвижное тело, причем в том н другом случае вдалеке от тела поток не возмущен и поле скоростей однородно (жидкость покоится или движется как одно целое со скоростью, Равной скорости движения тела по отношению к неподвижной среде). При этом вдалеке от тела вихрь скорости равен нулю и, следовательно, по теореме Лагранжа, при баротропности движения и потенциальности объемных сил не завихренные частицы идеальной жидкости не могут приобрести завихренность в процессе обтекания тела.
Несмотря на наличие возмущающего поток тела, движение повсюду будет безвихревым. Из теоРемы ЛагРанжа следует, что в идеальной жидкости, нахо. дящейся под действием объемных сил с однозначным потенциалом и движущейся баротропно, не может быть вихрей, так как нет условий для их образования.
Можно сказать и наоборот, что, если вихри путем нарушения ранее перечисленных условий были созданы в идеальной жидкости, то они уже не смогут исчезнуть, и движение сохранит свою вихревую структуру. В действительности приходится постоянно наблюдать как образование, так и исчезновение вихревых движений. Главной причиной этих явлений служит неидеальность жидкости, наличие в ней внутреннего трения. Как уже ранее упоминалось, в практически интересуюших нас случаях внутреннее трение играет роль лишь в тонком пограничном слое на поверхности обтекаемого тела и в „аэродинамическом следе' тела, т. е. в жидкости, которая прошла сквозь область пограничного слоя и образовала течение за кормой обтекаемого тела. Здесь, в тонком пограничном слое и образуетса завихрекность жидкосгпи.
Иногда в следе за телом завихренность быстро угасает, и поток в достаточном удалении за телом становится вновь безвихревым. В других случаях сошедший с поверхности тела слой завихренной жидкости распадается на отдельные вихри, которые сиосятся уходящим потоком и сохраняются даже на сравнительно больших расстояниях от тела. Таковы, например, отдельные вихри, наблюдаемые в виде воронок в реках за мостовыми „быками', или ~ыльные смерчи, возникающие в ветреную погоду, Внутреннее трение не является единственной причиной возникновения вихрей.
Так, в свободной атмосфере вдалеке от твердых поверхностей возникают непо~редственно в воздухе грандиозные вихри в циклоны и антициклоны. Ричиной этих вихреобразований служит отклонение движения воздуха "' баротропности: плотность воздушных слоев зависит не только от давления, но и от температуры, определяемой солнечной радиацией, от ко.тичества водяных паров и других причин. Несмотря на наличие всех этих факторов, нарушающих существован анне безвихревого движения, схема безвихревого движения во многих па, Рактических случаях дает близкую к действительности картину. Эта схе обо хе"а и положена в основу настоящей главы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
