Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 44
Текст из файла (страница 44)
ть сечение; будем иметь (п. „и„— направля|ощне косинусы нормали н к элементу де): Г 1г ье= Г(ип +опе)ье= Г(и йз. и,„+о:,з * пч) = ьй = ~ (игу — одх), ге или по (26): Р/дФ . дФ ° Ц ьу + ьх) ~ ЗФ = Ф(М1) Ф (Мо) = Ф1 — Фь. .! ~ду дх Ж, (28) Следовательно, разносить значений функлии тока в двух каких- нибудь точках потока равна секундному обьемному расходу сквозь сечение трубки тока, ограниченной линиями тока, проходящими через выбранные точки.
Напомним, что в плоском движении часть плоскости, ограниченная двумя линиями тока, например, проходящими через точки М„н Мь Рнс. 54. на рис. 54, представляет на самом деле трубку тока, образованнуго двумя цилиндрическими поверхностями тока, имеющими в качестве направляющих линии тока в плоскости хОу, а образующих — перпендикуляры к этой плоскости, и двумя плоскостями, параллельными координатной плоскости хОу и отстоящими друг от друга на расстоянии, равном единице длины.
225 плоское вззвихззвоз движзнив Условимся в дальнейшем совершенно произвольно одну какую- нибудь линию тока рассматривать как нулевую, полагая 6(х, у) == О, и выражения (26) тех же проекций через функцию тока ); будем иметь следующую систему соотношений: дт дф и=— дх ду' дт др .:=') ду дх' ) (ЗО) Функции о и 6 не являются независимыми друг от друга функци»ми, они связаны дифференциальными соотношениями (30), обычно называемыми условиялги Коши — Рамаяна, при выполнении которых комплексная величина у р+ г'ф = о (х, у) + еь (х, у) (з1) будет не просто функцией двух переменных (координат х, у), а функцией одной комплексной переменной л = х+ ~у. Лействительно, если величина у есть функция только положения точки М с координатой х, то производная от нее в втой точке в свою очередь должна быть функцией только положения точки, т.
е. координаты л, и не зависеть ош направления дифференцирования в плоскости. Иными словами, можно, например, утверждать равенство производной по любому направлению — производным по направлениям действительной и мни- дХ ал мой осей: ах ах де их а ОУ) (52) За»ела», что: ах д(я+ЬР) дт, . дт +г — ~ ах дх дх дх ' д(з+гр) д' — — Б — у а Оу) = ду = дУ дУ ' 15 з»к. нкь л. г. л»в»»»и»»ь чго можно всегдз сделать, так как, согласно системе равенств (26), функция тока определяется с точностью до аддитивной постоянной. ~если принять такое условие, то можно сказать, что значение константы в (27) на некоторой линии тока равно секундному объемному расходу жидкости сквозь сечение трубки тока, образованной этой линией тока н выбранной произвольно нулевой линией.
Сопоставим выражения проекций скорости через потенциал скоростей (5) предыдущего параграфа, которые в случае плоского движения сводятся к системе двух равенств дч дх' ду' (29) 226 (гл. ч плоское ввзвихгввоя движение жидкости и приравнивая„согласно равенству (32), друг другу правые часгн этих равенств, получим те же выражения условий Коши — Риманна (30).
Отсюда сразу следует, что, отделяя в любой функции комплексного аргумента у(з) действительную (д. ч.) и мнимую (м. ч.) части, получим потенциал скоростей ф (х, у) и функцию тока ф (х, у) некоторого плоского безвихревого движения: сь(х,у) =д. ч. 2(е), ф(х,у)=м. ч. 7(е). Приравнивая функцию ф(х,у) различным постоянным значениям ф(х,у) = С, получим семейство изопотенциальных линий (следов пересечения плоскости хОу цилиндрическими изопотенциальными поверхностями); аналогично совокупность равенств ф(х,у) = С', согласно (27), представит семейство линий тока.
Легко убедиться, что изопотенциальные линии и линии псона взаимно оргпогональны, т. е. пересекаются под прямым углом. Для этого достаточно вычислить скалярное произведение между ортами и и и' нормалей к рассматриваемым линиям в любой точке потока: ягай т агась ф ~дгайт~ )дгайф~ ' Вычнслгся скалярное произведение грздиентов и применяя соотношения Коши — Рнманпа (30), получим: Кгай ф ° афтаб ф = — ° -"+ — ° — ' = — ( — — (+ ~- — ' гыс О, дт д4 дт дф дт / дтт дт де дх дх ду ду дх с, ду) ду дх что и доказывает взаимную ортогональность нзопотенциальных линий и линий тока. Совокупность равенстш ф = сь (х, у), ф = ф (х, у) можно рассматривать как формулы перехода от декартовых координат х, у некоторой точки к криволинейным ее координатам ф и ф.
При этом изопотенцпальные линии ф = С и линии тока ф = С' представят ортогональную сетку координатных линий, т. е. криволинейные координаты ф и ф, полученные путем отделения действительной и мнимой частей в некоторой функции комплексного переменного, будут всегда ортогональныыи координатами. установление взаимной связи между двумя, на первый взгляд разнородными вопросами — плоским безвнхревым движением и ортогональными криволинейными координатами на плоскости — окажется в дальнейшем полезным. 227 плоскоз везвихгввов дпигкенив Рис. 55 если предположить, что вектор А перпендикулярен плоскости движения. В самом деле, при А = А, = О, А, =- ' Маем иметь в полном согласии с формулой (26): дА, и =— ду дА о= —— де дАе др (34) дАе Ю= —— дх В теории магнетизма напряженность магнитного поля можно определять как градиент скалярного потенциала или как вихрь векторного потенциала; так и в гидродинамике плоского движения поле скоростей может быть определено заданием либо скалярного потенциала в, либо проекцией на ось г векторного потенциала А.
Пользуясь представлением о векторном потенРа пиале, легко дать простой и непосредственный вывод формулы расхода (28). ассмотрим секундный объемный расход жидкости г',) сквозь сечение потока е (Рнс. 55), образованное некоторой поверхностью, опирающейся на контур М гМ,М,М, составленный из двух одинаковых контуров М М и М М, рас"оложеииых в параллельных плоскостях, и из отрезков перпендикуляров МоМ 15* Коли вместо функции у(л) рассмотреть функцию г;((з), го в новом движении потенциал скоростей поыеняется местами с функцией тока, з изопотеициальиые линии — с линиями тока; этны приемом часто приходится пользоваться при построении обтеканий.
Отсюда следует, что функция тока т(х, у) всегда играет сопряженную роль с функцией о (х, у) потенциала скоростей: каждая из этих 7 функций может быть как функцией тока, так и потенциалом скоростей в двух сопряженных между собою Ь безиихревых плоских е движениях идеальной жидкости.
Заметим, что функ- ъ ~е=(а цию тока (~ (х, у) в пло- е скоп движении можно г рассматривать как прося- а цию на перпендикулярную к плоскости двнжс- и иия ось Ое векторного ломенциала А, связанного с вектором скорости 1) равенством г ге т7= гот А, (33) 223 плосков ввзвихггвоз дни>кениг. жидкости (гл. тг и М>М> к плоскости лОу, разных по длине едппнпе. Ьудем иметь по (38) и формуле Стокса: Я= ) рвйо= ~ гой>Ай>= — ~А ° о>г, где контурный интеграл берется по замкнутому контуру М М М М . Заметив, что криволинейные интегралы по отрезкам контура МоМ, и М,Мо, по определению плоского движения, вззнмно сократятся и что по той же причине вдоль всего отрезка М М будет А,= ф, а вдоль отрезка М М, соответственно, А = ф,, получим по (35) прн П = 1: ~1 Ме лг, мо Я= ~ А ог(- ) А Зг= ~ ф>аг ~ фоал — ф> фв, Ж, зг' ж, о т.
е. ту же самую формулу (28). О своеобразной аналогии между магнитными н гндродннамнческнмн явлениями будет сказано з гл. Ч11 з связи с решением задачи о поле скоростей вокруг вихрей, где понятие векторного потенциала будет иметь особо существенное значение. Функцию у(е), объединяющую, согласно (31), в один комплекс оба „потенциала": скалярный — потенциал скоростей и проекцию векторного — функцию тока, называют комплексным потенциплом или характеристической функцией течения. Покажем как, зная комплексный потенциал у (л), определить вектор скорости Ч или его проекции и и чь Как известно, каждому комплексному числу можно сопоставить з плоскости вектор с проекциями, соответственно равными действительной и мнимой частям этого комплексного числа.
Условимся при изложении плоского дни>кения обозна ягь через 1> комплексную скорость Г=- и+>и, а для величины скорости сохраним обычное обозначение модуля ком- плексного чис..а: ~ У~ =-)- У'па+по. Наряду с комплексной скоростью 1г, введем в рассмотрение Сопряженную скорость Р, равную Р= и — 1п, Если 3 — угол, образованный вектором (комплексной скорост>по У с действительной осью, то будем иметь: Ъ' — и+ 1п= ~ 'т~(соя О+1з)пй) = ~ 1г(е", (36) ь> =и — Ы=~ )г1(соя 3 — 1з)пй) =~ Ь'')е — ".
) поппошуив шоствйшнх но:шй твчвния 229 й 38! л'у 1еассмоурньу геперь производную — комплексного погегщиала по комплексному аргументу. По основному свойству функции комплексной » ре. щой — — — (т + УФ) дт др = — + У вЂ”. сУе дх дх дх дх ' о~куда, согласно (30), сразу следует: — =и — Уо= Р=) 111е — ™, (37) г, е.
производния от комплексного потенциала (харатперигтической функции) по комгглексной координате равна сопрязюснной скорости. 1!роекдии скорости и и и определятся, с соответс.геенно, как действительная и с обратным знаком мнимая части производной от характеристической функции по комплексной координате и= — д. ч. —, о= и. ч - (33) дх дг ' Сопряженная скорость имеет ту же величину (модуль), что и комплексная скорость, Рис. 56. но направлена по зеркальному отображению комплексной скорости относительно действительной оси (рис.
56), Обратная величина 1 1 1 (39) ай 1г и — у'о имеет обратный модуль, но направлена так же, как и комплексная скорость. Совокупность комплексных координат частиц жидкости х образует область течения жидкости в плоскости хОу, которую в связи с этим называют физической плоскостью или плоскоппью течения. Совокупность значений комплексной скорости Ъ' образует плоскость годографа скорости или просто плоскость годографа; в этой плоскости расположатся годографы скорости, т. е. геометрические места проведенных из начала О (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
