Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В отличие от скачка уплотнения, где разрыв непрерывности происходи<< в скорости, н<ср.<сальной к поверхности разрыва, в настоящем случае разрыв происходит в скорости, направленной вдоль линии В 4 „разрыва. Рассмотрим ближе при- роду такого нисансельного скачка ие скорости. с й Окружим некоторую точку М ~рис.
73) на линии разрыва гссч" Рнс. 73. бесконечно малым прямоугольным контуром, состоящим из отрезков АВ = СЕ) = йз, параллельных линии гсч', и Аек = ВС, перпендьс:улярных к ней. циркуляция скорости по этому замкнутому контуру (иь — и )<Ь= — ГсЬ ч ус~ — х< (гл. зг плоское везвих~ евое' движения жидкости отлична от нуля; следовательно, на отрезке йз линии разрыва скоростей расположены вихри с общей интенсивностью, равной этой циркуляции. Обозначим через Т плолгносгнь распределения вихрей, т. е.
интен. сивность непрерывного нх распределения, приходящуюся на единицу длины отрезка РР'. Тогда получим Т йз = (и — и„) йь. и, следовательно, Г 7=и — и„= е )'сь — хг' (58) Непрерывное распределение вихрей вдоль некоторой линии при плоском двигкении (в пространстве этому соответствует распределение прямолинейных вихревых нитей на цилиндрической поверхности) образует вихревой слой.
Из сказанного выше следует, что чисто циркуляционное движение (57) вокруг некоторого эллиптического цилиндра (в частности в пластинки) эквивалентно потоку, образованному вихревым слоем, расположенным вдоль линии, соединяющей фокусы эллипса, причем плотность распределения вихрей в слое определяется формулой (58). Суммарная интенсивность вихревого слоя будет равна г йх -йх=- = Г, 1 сг — хг — с — ь Г . е й= и х — ггг )ухя — са+ — агсгйп —.
2х с' (59) что и определяет физический смысл константы в формуле (57). Таким образом, комплексный потенциал (57) является обобщением комплексного потенциала (42) плоского циркуляционного движения жидкости вокруг единичного вихря на случай прямолинейного вихревого слоя конечной длины, но той же суммарной интенсивности, что и единичный вихрь. Подобно тому, как в предыдущем параграфе было найдено обтекание круглого цилиндра с циркуляцией, так же можно найти и обтекание эллиптического цилиндра с циркуляцией. Для этого достаточно сложить комплексные потенциалы бесцнркуляционного обтекания эллиптического цилиндра и чисто циркуляционного его обтекания.
Так, например, в случае косого циркуляцнонного обтекания пластинки будем иметь комплексный потенциал 6 40~ овтвкьнне эллипса, пллстннки и де~ Составляя производную по с, найдем сопряженную скорины, а г ! Ггге — се 2з Г' са — аз Р в я+в 2я = — и, — 1 1 гч — са (60) Г = — 2яп с = — 2яс ~ Гг ~ з1п 9 (61) где ч' — угол атаки. Соответствующая плавному обтеканию задней кромки сопряженная скорость будет по (60) и (61) равна: — /л — с У= — и — Гп ~7 г а+с (60') ГГри этом скорость на задней кромке Р пластины будет равна (и) , = и = ~ Гг ~сов О . Картина цнркуляцнонного обтекания пла- стинки с плавным сходом струй с задней кромки показана на рис.
74. Сравнивая эту картину с соответствуюьцим бесциркуляционным обтеканием пластинки на рис. 71, видим, что при выбранном значении циркуляции (61) зздняя критическая точка В совместилась с задней кромкой В пластинки; на передней кромке г"' скорость остается равной бесконечности, что при действительном обтекании приведет к отрыву потока. Как заметил впервые С. А. Чаплыгин, задние острые кромки Рве. 74, крыловых профилей обтекаются, как правило, без отрыва, если только углы атаки не выходят за пре- делы некоторого интервала. Иными словами, при действительном обте- кании профилей в потоке возникает как раз такая циркуляция, которая необходима для создания непрерывного обтекания задней кромки с конечной скоростью. Об этом подробнее будет сказано в й 42. Что касается наличия передней острой кромки, то оно нежелательно; обычно эту кромку закругляют, создавая плавный „носок" профиля. 17 з .
циь л. г. л ы к ь Пользуясь произволом в выборе „наложенной' циркуляции Г, можем подобрать ее так, чтобы скорость на задней (по направлению обтекания) кромке пластинки г" стала конечной. Для этого, очевидно, достаточно положить плоское Безеихгеное дни)кение жидкости (гл. 5) 2 гой Рассмотренная только что задача об обтекании пластинки может быть обобщена на случай системы бесконечного числа пластинок ширины 2с (рис. 75), расположенных ядоль ос« х на равных друг от друга расстояниях 2а. — Га— Рнс. 75.
Н. Е, Жуковский 5 унаЗЫВаст СледующиЕ интегральные выражения для комплексных потенциалов: а) обтекания решетки пластин потоком, направленным з бесконечности в положительную сторону мнимой оси (рнс. 75): у5 П вЂ” ДЗ 2а У кс, пя у 51пт †, — з1пт— 2е 2а (62) б) чисто циркуляционного потока вокруг пластинок (рнс. 76): Я 5 соз пг 2а Хя(.) =6 Г /.„яс . кл аг, 5!Па — — 5(пав 2а 2п (63) в) плоскопараллельного потока вдоль действительной оси: у (з) = и г, (64) сложение которых приводит к общему косому цнркуляционному обтеканию указанной решетки пластин. т Н.
Е. Жуков ск и й, Вихревая теория гребного винта. Статья вторая. Избр. соч., т. 11, стр. 257. % 40! овтьклиик эллипса, пластинки и дг. 259 Применение символов неопределенных интегралов предст;шщст ~о уяобг~во, что позволяет сразу найти скорости потоков: гз о, 3!и = 2и г(з I .„.с .„,з ": З/ з(пт — — вшв— 2а ' 2а ял е соз— 2а (бб) яс вз .+.: вг з!пв,— — зйвв— 2а 2п пХв Ъ'в = — = а Перед корнями поставлены знаки .~-, чтобы напомнить извес1пую особенность корня квадратного как функции комплексного переменного. Точки Л и В с координатами з = и с, в которых подкоренные величины обращаются в нуль (а скорости в бесконечность), являются точколи унзветвлсяня ( Рис.
76. в плоскости комплексно~о аргумента. При обходе этих точек по окрухчностяы бесконечно малого радиуса (рис. 77) значения корня меняют ввой знак, тзк что двум бесконечно близким точкам Л( и АР, находящимся с р;юных сторон действительной оси иа отРезке АВ, будут соответствовать одинаковые по я - - В абсолютной величине, но ,' / б ч ч -.-- Ы Отсюда следует, что на отрезке АВ рассматриваемые корни являются двузиачиы- Р . 77. ми функциями, а сам отре- нс. зок — линией разрыва функции. Чтобы избегнуть втой двузначности, мовкно представить отрсюк АВ, как Разрез" в плоскости г. Тогда точки М и М' окавсутся рзсполо;ивиными по обе стороны от разреза и непрерывный переход от одной к другой станет возможным лишь по кривым, обходящим точки разветвления (на рис.
77 показанным пунктирами), Такое рассмотрение физической плоскости з, как 17в УОО плоское везиихш.вое движение жидкостИ (гд. [г о зев вв пг.= О, 1 ипя — '+ явяв .,яс ву 2а 2а лсв— яу 2 (66) яя = Э /, вс ву 1/ а[пя — + зйя— 2и 2ц из=и, оа — — О. ! При г == — о., пшласно сделанному замечанию о знаках перед корнем: и, =О, о =о пни= — Ч, ояш —— — О, ири ) =— и, =О, в,. =о и =+4, о„=О, Прн г.= О в 1>чке И первый поток имеет скорость, равную нулю безотносительно к тому, г какой стороны разреза взята точка О; таким образом, точки О, О', 0',... будуг слг.кита критическими для первого потока Критическиьш т шкамн второ~ о потока будут точки, абсциссы которых являются кориячи уравнения соз —, = О.
2а т. е. точки С, г) и др. На отрезке ЛБ действительной оси ( — с~хч„+г), как молгно непосредственно закл1очить по формулам (65), в первом и втором потоках скорости будут направлены вдоль пластинки, но ови будут иметь разное направление сверху и снизу пластинки (рнс. 75 н 76), гйежду пластинками (с(х(2а — г) действительные части сопряженных с~горестей (65) первого и второго потоков обращаются в палач скорости направлены перпендикулярно оси Ол. Накладывая рассмотренные потоки а, б, в друг на друга, можно получать различные обтекания решетки. Так, соединяя кол~плексные потенциалы (62) и (64) получим бесциркуляционный поток (рис..78), аналогичный ранее рая* смотреииому обтеканию единичной пластинки (рис. 71).
Складывая чисто циркуляционный поток (63) с параллельным осн Ок потоком (64), модою получить поток, показанный на рис, 79. плоскости с бесконечной системой „разрезов* АВ, А'В' и т. д.,позволяет считать корень квадратный, входящий в выражение скоростей, однозначно» функцией, но при атом сама плоскость г становится многосвязной, вернее сказать, бесконечно связной. Исследуемое обтекание решетки пластин дает пример плоского безвихревого движения в многосвязной области.
Формулы (65) позволяют составить полное впечатление о картине обте. канна рассматриваемой решетки пластин. Прежде всего заметим, что прн замене г на г =. 2ли, где и = 1, 2, „ формулы (65) не изменяются. Это говорит о игуподичностли картины обтекания, причем периодом служит величина йи, называемая шигом решетки.
При г = гу тригонометрические функции перейдут в гиперболические от дейхствптсльпого аргумента, так что для точек оси Оу будем иметь: 282 плоскок ввзвих! ивов движвниг. жндкосги )гл. т Если слоя,иы, все три потока, то мозкпо так подобрать скорость о =-~-а »»исто циркуляцнонного потока, чтобы на задк», й !по направлению течении) кромке пластинки скорость былз коксчкои.
Для зтого, согласно (85), доста. то шо удовлетворить условшо яс яс прн а=с асов — =пи,з!ив '2а "' 2а' При выполнении лого равенства, т. с. при »!=о !8 —, 2а ' обтекание будет иметь внд, представленный на рнс. 80. О с»иовом воздействии потока на пластинку в решетке, так же как и на изолированную пластинку, будет сказано далее в связи с применением теорелгы Жуковского. б 41. Плоское движение с отрывом струй. Разрывное обтекание пластинки н протекание жидкости сквозь отверстие В предыд! щем пара~рафе уже указывалось, что жидкость не может обтекать острые»»!»омкн тел. Образующиеся в зтих точках бесконечные скорости вызывают физически невозможные бесконечные отр~щательные давления; на самом деле жидкие струи отрываются с острых кромок, создавая сложные вихревые двн кения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
