Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 53
Текст из файла (страница 53)
бчнзн которого помещен профиль, как —. Это предположение аоот- 1 "-тствует наличию „присоединенного" к телу вихря и конечности пиРкуляпии скорости по любому замкнутому контуру, например, "кРУжиости С, длины 2кг; подробнее о порядке скорости возмущенна будет сказано далее. где и' — нормаль, внешняя по отношению к рассматриваемому объему жидкосгн.
Таким образом, по предыдущей формуле получим выражение искомой силы К через главный вектор давлений и перенос количества движения, относящийся к контуру удаленного от профиля круга С„: 280 плосков ввзвихвввов движения жидкости (гл. и Подставляя указанное разложение скорости в равенство (82'), получим: й — р У ( и Из+ р / (Ч ° Ч ) и Нг+ — р ~ У' п язв е„ с, — рЧ. ~У„у.— р~ч'У „~з р~Ч'У.'~з. Г с„ и,. По предыдущему (гл, 1, формула (68)), первый интеграл равен нулю; пропадает также четвертый интеграл, так как при отсутствии источников — стоков и несжимаемости жидкости полный расход жид- кости сквозь контур С, равен нулю: ) У„На=О.
с„ Рассмотрим совокупность второго и пятого интегралов: / ((Ч ° Ч') п — Ч'У „) сКз= ~ ((Ч ° Ч') и — (Ч ° п)Ч') гКз, с„ с„ которую по известной формуле разложения тройного векторного произведения можно представить как 1Ч Х(пХЧ')~з, о или, заменяя Ч' пз Ч'+Ч = — Ч, что можно сделать, так как при атом добавится интеграл ~ Ч„Х (и Х ч„) у = Ч„Х ~~ н Х ч„'''„ с„ о„ тождественно равный нулю, получим ) Ч Х (п Х Ч) пз =- Ч Х ~ п Х Ч гь. г Таким образом, будем иметь следующее выражение для главного вектора сил давления потока на профиль С: Й=-РЧ Х ~ пхчпз+ ч р ~ У"пИз — р ~ Ч У,~й.
(83) с, б с, Вектор Г=б~пХЧУх ф 48) ТВОРВМА жуковского О подъвмной силн кРылА 281 Г = ) 1' з~п (п, Ч) ав = ~ 1' соз(п, 1) йв = ) 1; йе, с т. е. циркуляции скорости по контуру С„или по любому друг му контуру, охватывающему обтекаемый профиль. Таким образом, первое слагаемое в выражении главного вектора сил Гс не зависит от 1 положения контура С„, остальные два ииеют порядок —, так как 1 подинтегральные функции представляют величины порядка —,, а длина контура интегрирования равна 2вг.
Отсюда при переходе к пределу, когда окружность Сг удаляется на бесконечность (г-+ оо), следует искомая формула К=рЧ УГ, (84) где вектор Г определяется как криволинейный интеграл Г=~пУЧ в, ~а (85) взятый по любому контуру Се, охватывающему обтекаемый профиль С, в частности по самому профилю С Величина этого вектора равна циркуляции скорости ло замкнутому контуру, охватываюгцему профиль. Из равенства (84) находим величину главного вектора сил давления потока на тело: й=р1г (Г~.
(86) ! лавный вектор, как показывает формула (84), лежит в плоскости течения и направлен перпендикулярно к скорости на бесконечности в с1орону, определяемую векторным произведением (84). Обычно бывает очень трудно заранее определить, в какую сторону направлен вектор Г: внутрь или наружу относительно плоскости чертежа. Если известно направление обхода контура, при котором Г ) О, это ~~правление условно называют направлением положительной циркуляции, нли, короче, „направлением циркуляции" — тогда по общим нрзвнлам принятого у нас в курсе „правого винта" легко найти и ~торону, в которую направлен вектор Г. Так, если направление циркуляции совпадает с вращением по часовой стрелке, а поток набегает слева, вектор Г направлен вглубь чертежа, а сила Й вЂ вве; это можно получить, если вектор скорости Ч повернуть на 90' в сторону, противоположную циркуляции. направлен по перпендикуляру к плоскости движения, а его проекция Г, на этот перпендикуляр, которую мы обозначим просто через Г и будем считать знак входящим в определение величины Г, окажется равной (рис.
89) 282 плОскОе БезвихРевое движение жидкости [гл. Таким образом, приходим к классической формулировке теоремы Жуковского, данной самим автором: сила давления невихревого потока, текущего со скоростью 1г и обтекающего контур с циркуляцией 1', выражается формулой: напраэление этой силы мы получим, если вектпор тг повернем на прямой угол в сторону, противоположную циркуляции.' Первый вывод, который следует сделать из теоремы Жуковского, заключается в отсутствии составляющей силы, направленной влоль движения жидкости, или, что все равно, направления движения тела по отношению к жидкости, т. е. отсутствии силы сопротивления. Этот важный факт составляет содержание парадокса Даламбера, о котором была речь в историческом очерке, помещенном во вводной части курса.
Теорема Жуковского подтверждает парадокс Даламбера для любого плоского безвихревого движения идеальной жидкости как при наличии „присоединенных вихрей", так и при отсутствии их. Единственной силой, действующей на обтекаемый профиль, оказывается поперечная движению тела сила, которая может быть названа подземной или поддерживающей силой, так как именно эта сила обеспечивает подъем аэроплана в воздух, поддерживает его крыло при горизонтальном полете. Воспользовавшись теоремой Жуковского и постулатом Жуковского †Чаплыги, можно по формулам (86), (80) или (81) получить выражение величины подъемной силы в виде 7с=4яат Р~1' ~эз1п(гь — Ц )=4кат Р! Ъ' 1гз1пг, (87) впервые указанном Чаплыгиным.
Входящее в эту формулу произведение ат зависит от формы обтекаемого контура, так, например, по предыдущему (см. конец $42) 1 для пластинки ат = — с, и подьемная сила оказывается равной (87') гс = 2прс ~ 1l )Яз!и а. В общем случае подъемная сила, согласно (87), оказывается пропорциональной плотности жидкости, квадрату скорости набегающего потока и синусу угла атаки. Введем коэффициент подъемной силы как отношение подъемной 1 силы 1т к скоростному напору набегающего потока — рЪ' и длине хорды. Обычно ось Ох направляют по скорости Ч „тогда подъемная сила будет направлена по оси Оу и может быть обозначена через 1' или Кв.
Вот почему коэффициент подъемной силы в нашей литера- г См, ранее цитированные работы Н. Е. Жуковского, 9 43) творима жхковского о подъемной сила крыла 283 /г ат С =— 1 = 8тг — яп а ь — р~ 1/ (зв (88) или в частном случае пластинки (Ь =2с): С„= 2яз!па. (88') Как показывают многочисленные опыты, при сравнительно малых углах атаки, при которых только и выполняется условие плавного схода струй с задней кромки, формула (88'), переписанная в виде (яп а ='- а) Сз — — 6,28а, довольно хорошо отражзет действительную закономерностгл коэффициент подъемной силы прямо пропорционален углу атаки, отсчитанному от бесциркуляционного направления, но коэффициент пропорциональности 2я = 6,28 оказывается несколько завышенным.
10 На рис. 90 представлены для сз ~ьь/ сравнения теоретическая пря- Ь/ мая и экспериментальная кри- ст ч/ вая С (а) для симметричного Гг з профили с отношением макси- У мальной толщины к хорде, равным 9в г Как видно из ри- / сунка, в интервале углов атаки — 13' ( а С 13' (область / чь ь отрицательных углов на рисунке // ~~ 11 не представлена, но она в силу / симметричности профиля ничем 0„ / 6 не отличается от области положительных углов) расхождение между теоретическим коэффициентом подъемной силы пластинки и экспериментальным 0 ГО' 30ь для тонкого профиля невелико. Применять формулы Жуковского и Чаплыгина (86) и (87) к пластинке, строго говоря, нельзя, так как на переднем остром крае 'шастинки скорость обращается в бесконечность, что нзрушаег непреРывность обтекания.
Становится непонятным, как вообще на пластинке может возникнуть сила, перпендикулярная направлению ее движения. Рис. 90 туре принято обозначать через С„, а коэффициент сопротивлении— через С . При этом обозначении будем иметь (д †хор): 284 плоское Безвихгеяое движение жидкости 1гл.
Действительно, при отсутствии трения нормальные к поверхности пластинки силы давления должны дать главный вектор„направленный также по перпендикуляру к плоскости пластинки, а не к скорости ка бесконечности, как этого требует теорема Жуковского. При этом, наряду с подъемной силой, имелась бы и сила сопротивления. Этот парадокс был разъяснен Жуковским во второй из ранее цитированных статей. При действительном обтекании пластинки передний ее край представляет собою на самом деле некоторую поверхность очень малого радиуса кривизны, на которой возникает значительное разрежение, приводящее к направленной против течения „подсасывающей" силе, уничтожающей сопротивление.
' $44. Применение метода комплексаых переменных к выводу теоремы Жуновского. Формулы Чаплыгина для главного вектора и момента снл давления потока ва крыло Вывод теоремы Жуковского, основанный на применении теории фуккций комплексного переменного, был дан в 1910 г. С. А. Чаплы- гиным, а который по- У лучил общие формулы главного вектора и главного момента сил давления потока на С' з- Сеы крыло. е" Рассмотрим крыловой контур С (рис. 91) в безвихревом плосколг параллельном потоке С г идеальной несжимаемой жидкости, набегающей на профиль со скоростью 1' . Составим выражения главного вектора К и главного момента Ее относительно перРнс.
91. пендикулярной к пло- скости течения оси, проходящей через начало координат. Используя теорему Бернулли р = сопз1 —— Р!~ Р 2 1 Подробнее см, цитированные сочинения Н. В. Жуковского, а тааке В. В. Г о л у б е в, Теория крыла аэроплана в влоскопараллельвом потоке. Гос техвздат, 1938, стр. 154. т С. А. Ч аплы гни, О давлении плоскопараллельиого потока на пре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
