Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 57
Текст из файла (страница 57)
чтобы задняя кромка пластинки была бы точкой плавного схода струи с конечной скоростью. Решение указанного сингулярного уравнения может быть представлено несобственным интегралом типа Коши от правой части уравнения. Имея в виду, что после разыскания функции Т(х) необходимо производить еще дополнительные и довольно сложные расчеты скорости, естественно обратиться к методам, позволяющим непосредственно находить скорость движения (интенсивность вихревого слоя может быть после этого при желании легко найдена как разность касательных скоростей на нижней и верхней границах слоя).
Такой метод решения рассматриваемой задачи был разработан Л. И. Седовым.' Представим искомую сопряженную скорость возмуп!енного движения как произведение !" = 1/ — '.,', Ле), (1Об) где у(г) — ограниченная голоморфная вне отрезка АВ и исчезающая на бесконечности функция; при таком выборе вида функции Г" будут выполняться условияЮе (с) = О, Ъ'(с) = и безотрыеноао обтекания задней кромки (л = с). На передней кромке (е = — с) скорость в общем случае обращается в бесконечность. По известной формуле Коши будем иметь следующее интегральное представление функции г (з) через ее значения на контуре: у(е) = —,, ' — „' г, 8 у(й! (1 06) где ь — контур выреза АВ с двумя бесконечно малыми кружками, выделяющими точки разветвления А и В подинтегральной функции У~) = ~/ —,'+; ~"з(0), причем в верхней части разреза АВ у корня следует брать знак плюс и считать Р(г) = 1/ ~ [а+ (Е) — !о~ (5)) = — 11/ — ь [и+ (с) — !о' ($)1, т См.
Л. И. Седов, Теория плоских движений идеальной жидкости. Оборонгяз, !939, стр. 37 — 40; подробный анализ решения Л. И. Седова при- веден также а курсе К н бель. Кочня и Розе, Теоретическая гидро- механика, ч. 1, Гостекяздат, 1948, стр. 288 — 298. 8 47! зздза ов оптзкьнни шыво нзогнятой дтжкн 305 на нижней половине разреза У(".) = — 1à —. [й (1) — юо' (ч)! = 1~/ — ''1и" ($) т' г1)!. тогда, согласно (104), (106) и граничному условию (102), сможем приассгн равенство 1105) к виду: +с Р'1) = — —,. )Уг —,, ~ ", "~~ —,„11, 1107) представляющему искомое выражение возмущенной сопряженной скорости.
Возвращаясь к полной скорости 1г и замечая, что в силу малости угла 6 можно ноложитгн и =!Ъ' !, о =!1г„! О., окончательно получим: 1108) Имея общее выражение сопряженной скорости, можно вычислить главный вектор и главный момент снл давления потока на дужку. Лля этого следует лишь произвести разложения в ряд по отрицательным степеням выражений: 1 1 ~ 11 1!з) и, подставив их в 1108), сравнить результат подстановки с разложением сопряженяой скорости (91) 9 44.
Таким образом, найдем значения основных коэффициентов разложения: по= И, +ч пг==,~ ) )Р ('ч) — 0 ! тг г — с а = — —. ~ 1Р 11) — 8, !)гс — ('й, !! ! 1,:я 20 зак. ~згь л. г. лозаннские. плОскОе везвихгевое движение жидкости (гл. и а следовательно, н общие вырюкения главного вектора и главного момента Ь'. = — 2лрс~ У ! 0 -'- 2с~ У„,! 0 ~ В (с) У вЂ ; дь., +о й, =2ярс~ У ~ЯΠ— 2р) У !а ~ Г'(ь)1/ — '-'.-дс', — с -ьс Ц= — ярса~ У )Я0 +2р) У.
)а ~ Р'('.) 1/са — ('ад(. — о (1 09) В случае пластинки В'(0) =О, и равенства (109) приводят к известным уже формулам (с точностью до 0 в первой степени): Д =О, Рв=2ярс) У ~Я0, /. = — арса~ У ~зй.„. Замечая, что, согласно основным допущениям теории тонкой дужки, в общем случае функпия Г(о) представляет малую величину того же порядка„что и О, видим, по Й является величиной второго порядка малости. При заданной форме дужки у=В(х) величины сев и /о могут быть вычислены по (109); прн этом удобно пользоваться заменой переменной: ! = — ссозе, О =--. а - -.. -„ / с —,-" У' ,' — „= !о— саго 2 хз) где 0 — стрелка прогиба, будем иметь: сгь — — 2прс ~ У 1е(0 + — ), Е.о — — — арса! У !Я0 Как видно из этих формул, в принятом приближении относительо лая воанутосспь/= — увеличивает подъемную силу, но не влияет 2с на момент оспносипсельно начала координат О, расположенного на середине отрезка АВ.
Найдем положение фокуса О'; для этого вспомним, что Ео — -~о,+хйа, Заметим, что интегральные члены в правых частях вь!ражений (109) для 1са и Ц определяют влияние вою!угости лужки. Так, например, для дужки парпболы 807 8 47~ зюгачь оя оятгкьнни Слава нзогнгтой Лтяссссс ожсуда В, =-Ге — х)7 = — крез! Р )Я81 — х ° 2ярс( Ъ' ~з(8 -1- — ). Приравнивая нулю часть ьшмента, зависяшую от угла атаки, получим, как и ранее для пластинки: с х,,= —, 1 момент относительно фокуса будет равен Е,,=яр(1' (~8 =щ~~ Ъ' ~~Р—. Выражения 77 и 7., для параболической дужки ничем не отлив о' чшотся от аналогичных формул для слабо изогнутой дужки круга.
Это и не удивительно, так как с выбранной степенью точности уравнение дузкки круга совпадаесп с уравнением параболической дужксс. Чтобы в этом убелиться, перепишем уравнение дуги круга (8 46) хя+ (у+ с с!д 23)я = ся сзся 2р в виде: у — -- )'сзсзсз23 — хй — сс1 2,'=ссзс2~~1 — (--) з1пг23~ — ссг 23=- = — с сзс 28 — с с1и 2~ — — ( — ) с гйи 28 -';-...
='- Ъ 2(,с) =' с ° 18 ~ — ( — ) с я1в р соя р =' 8 11 — Я . Согласно формуле для Йв, направление бесциркуляционного обтекания (О =. — — 1 совпадает с направлением прямой, проведенной сг через вершину дужки и заднюю кромку. Это свойство у круговой лужки сохраняется при любых яогнутостях. Распределение скоростей по поверхности дужки можно вычислять по формуле (108). Следует только иметь в виду, что при е-ьх( — с==к~с) интеграл, стоящий в правой части, становится и'собственным и должен вычисляться в смысле своего главного значения и что, кроме того, предельный переход к точкам отрезка АВ должен производиться по известным формулам анализа для предельных значений интеграла Коши.' ' См., например, В. И.
Смирнов, Курс высшей математики, т. 1Ъ' остехяздат, 1941, стр. 282 †2, Несколько подробнее о „несобственных" явтегралах будет сказано в гл. 1с'П. 20* плоскол пгзвихгевои движенив жидкости ~гл. и Опуская промежуточные выкладки, ' приведем лишь окончательную формулу распределения скоростей в случае параболического отрезка; Легко видеть, что при 0 = О, т. е. при набегающем потоке, направленном вдоль хорды АВ дужки, обе острых кромки будут точками безотрывного обтекания с конечными скоростями. Такое обтекание дужки называют обтеканием с безударным входом.
Подъемная сила в этом случае будет равна Я )„=2кр~ Ь' (зй=4крс~ У ~вр, т. е. станет пропорциональной относительной вогнутости дужки. Действительно, при этом значении й формула скоростей принимает вид 1'=! Ь' ~+г') Ъ' ~~ —, — — р лз — сз~ и при з= ~:с дает: Р( )=~ 1~ )( г — ), причем тангенс угла наклона касательной к дужке в точках л=.~:с 2з равен у' =:, —. При малых углах тангенс может быть заменен на г синус, и предыдущая формула показывает, что направление натекання и стекания струй на концах дужки совпадает с касательными к ней. В 48.
Определение обтекания крылоного профиля произвольной формы В современных расчетах крыльсз и винтов самолета, лопаток рабочих колес и направляющих аппаратов турбомашнн, вентиляторов н др. приходится определять обтекания разнообразного типа профилей, значительно отличающихся от „теоретических" профилей н имеющих настолько большую относительную толщину и вогнутость, что уже нельзя применять изложенную в предыдущем параграфе теорию тонкой слабо изогнутой дужки.
Для решения этих задач встал вопрос о создании практического метода расчета обтекания крылового профиля произвольной заданной формы; основной целью такого расчета является определение распределения скоростей и давлений по поверхности профиля, причем технические требования к точности расчета оказываются по необходимости весьма высокимя. В настоящее время существует большое число методов такого расчета: одни методы используют идею приближенного конформного отображения заданного профиля на контур. обтекание которого заранее хорошо известно. другие сводят задачу к определению такой интенсивности размещаемого на Отсылаем янтересующнхся к ранее цитированному разделу курса Кибеля, Кочина н Розе.
9 48) овткклннз пгоизвольиого кгылового пгоэиля 309 повсрхности крыла вихревого слоя, чтобы в результате наложении плоска- параллельного набегающего потока на течение, индуцированное слоем, получилось обтекание заданного профили. Последний путь крайне сложен, так кзк приводит к необходимости приближенного решения интегральных уравнений и тем самым — к большому числу трудоемких вычислений. Наиболее оправдавшим себя, без сомнения, нвляется первый путь, основанный на использовании конформиых отображений. У нас в Союзе широко используются удачно доведенные до практических вычислительных приемов методы Я. М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
