Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Как можно закзючить из предыдущего, задача об определении обтекания крьшового профиля произвольной формы не представляет теоретических трудностей. Существующие в настоящее время работы посвящены, главным образом, улучшению вычислительных приемов. Для той же цели может служить специальный электрический прибор, использующий для определения потенциала скоростей обтекания злектрогидродинамическую аналогию (ЭГДА) между этим потенциалом и электрическим потенциалом, создаваемым в специальной электролитической ванне.
5 49. Обобщение теоремы Жуковского иа случай плоской решетки с бесчисленным множеством профилей 11од плоской решеткой профилей (рис. 99) Обычно понимают совокупность одинаковых крыловых профилей, каждый из которых получается из смежного параллельным переносом иа некоторую, называемую шагом, длину г, в заданном направлении, определяющем ось решетки.
Угол 8 между хордой профиля и перпендикуляром к оси решетки иногда называют углолг выноса, дополнительный угол р' — углом установки профиля в решетке. Вектор 1, равный по длине шагу и направленный перпендикулярно оси решетки в стороиу течения, назовем эекторолг-шагом; такое векторное представление шага позволит иам пл<>а<оп ввзнихвгнов движение.
жидкости 1гл. т> в дальнейшем получить формулы действующих сил, не зависящие от выбора направления осей координат. В отличие от одиночного профиля, в бесконечном удалении впереди и позади решетки скорости в общем случае различны как по величине, так и по направлению. Решетка не только меняет скорость набегающего на нее потока, но и поворачивает поток в целом.
„,а 1 Обозначим (рис. 100) вектор скорости потока в бесконечности перед решеткой через Ч„ давление — через ры соответ" >т ственно вектор скорости и давление з '. в бесконечном удалении за решеткой— через Уа и ра; будем считать жидкость несжимаемой и плотность ее й повсюду одинаковой. Рас. 99 Рассмотрим в плоскости чертежа трубку тока, образованную двумя какими-нибудь линиями тока, сдвинутыми друг по отношению к другу в направлении оси решетки на расстояние, равное шагу. Весь поток можно, очевидно, разбить на такие равные между собою трубки тока, так как обтекание обладает свойством пространственной периодичности с периодом, равным шагу. Применим теорему количеств движения в форме Эйлера, взяв за контрольную поверхность только что выделенную трубку тока и два Рпс.
100. бесконечно удаленные сечения трубки о> и ая, параллельные оси решетки и равные по длине шагу. Тогда, обозначая через )х главный вектор сил давления потока на профиль, будем иметь: (1» — »я)1+1 (1 Ч,)Ч, — Р(1 .Ч~Ча — К = О, (118) тзовеил жьковского д.ш плоской ввшеткн гле 1 — уже введенный ранее вектор.шаг, равный по длине а, = аа и направленный по перпендикуляру к этим сечениям; величины 1 Ч,=(.Ч, представляют равные меькду собою объемные расходы жидкости сквозь сечения трубки тока, ( — К) — главный вектор сил давления «рофили на лоток. Предполагая поток безвихревым и применяя теорему Бернулли получим 1 „1 е 1 рт — ра = — РЧа — — РЧт = — а (Уз — 1ет), 2 2 2' или, представляя разность квадратов скоростей как скалярное произ- ведение суммы векторов скоростей на их разность, Р1 — Ре= 2 Р(~~ т Ча)(чя — Чг). Введем две характерные для обтекания решетки скорости: среднюю секторную скорость 1(ч +Ч) и ~корость девиилии гшгпоко ч =ч — ч,, ха1юктернзуюп1ую отклонение потока реп|еткой.
Тогда будем иметь: Р,— Р,=РЧкн Чл, 1.Ч,=1 Чя=( Ч„„1 Ч„=1. (Ча — Ч,) =О, и равенство (118) перепишется в форме й = р (Ч„, ° Чл) 1 — о(Ч, 1) Ча, представляюп1ей известное разложение двойного векторного произведения К = Рч,а Х (1 Х Ч ) (119) Вектор Г=1ХЧ„=(ХЧз — 1ХЧ, (1 19') Равен по величине пиркуляции скорости по замкнутому контуру, охватывюоп1ему один профиль. действительно, оба вектора справа имеют одинаковые направления (перпендикулярно плоскости чертежа), так ч~о Р = — ! , '1 Х Ч„! — ~ 1 )( Ч, ! ~ = ) ~ ° Ч з1п (1, Ч|) — С ° Ъеа з1 п (1, Чя) ( = =- ~ 11е, соя(а„Ч,) — 1)ля соя (аз, Чя) ~, 320 плоское везвнхгввов движения жидкости [гл.
в с другой стороны, вычисляя циркуляцию по замкнутому контуру вокруг профиля, например по обводу контрольной поверхности, в направлении, указанном на рнс„ 100 отдельными стрелками, заметим, что слагаемые циркуляции, рассчитанные по отрезкам линий тока, в силу периодичности движения взаимно сократятся, и циркуляция сведется к разности Г = ~ ГЬ', соз(ч„ч,) — 1чясоз(ая, Чя) ~. Я рч„Х г. Итак, (119") В силу взаимной перпендикулярности Чм и Г найдем величину главного вектора в виде: 1е = Йгеш ' Йолин = Гвеш ' 1 адин.
Направление подъемнгях сил при Ч =Ч также будет одинаковым. Замечая, что, в силу равенства Ч„=1 ° Ч вЂ” 1 ° Ч,=О, вектор 1 перпендикулярен к Ча (вектор Ую следовательно, имеет то же направление, что и ось решетки), а вектор 1;к, Чл перпендикулярен к плоскости течения, т. е. и к Ч,„, можем переписать равенство (120) в виде й = а1У Ра.
Это скалярное равенство, так же как и векторное равенство (119), имеет то преимущестно, что указывает в явной форме зависимость (прямую пропорциональность) главного вектора К от плотности жидкости, шага решетки и двух характерных скоростей †средн векторной и скорости девиации потока решеткой. Ю= рЧ„,Г, (190) аналогичном формуле Жуковского (86) 9 43. Вектор )с направлен перпендикулярно средней векторной скорости Ч, играющей при обтекании решетки профилей ту же роль, что скорость на бесконечности в случае одиночного профиля. Направление вектора 19 можно определять как непосредственно построением произведения (119) по заданным направлениям 1, Ч и Ч„, так и путем использования поворота вектора Ч на 90' в сторону, противоположную „положительному направлению циркуляции".
Введение средней векторной скорости Ч представляет большое удобство для сравнения подъемных сил крыловых профилей: одиночных и в решетке. Сопоставляя обтекание профилей одной и той же жидкостью при равенстве скорости на бесконечности Ч.,„ — в случае одиночного профиля и средней векторной скорости Ч„, †п обтекании профиля в решетке, будем иметь для отношения подьемных сил равенство: 32! ~$ 49) тконеагл жкковского для плоской ншпкткн Таким образом, теорема Жуковского обобщается на случай безвихревого обтекания плоской решетки профилей. Легко видеть, что при беспредельном увеличении шага обобщенная теорема Жуковского переходит в теорему для одиночного профиля. При г-ь оо циркуляция !' стремится к циркуляции вокруг одиночного профиля, следовагельно, по (119'): прн )-~со, Уа — +О, Чг-~.Ч -+У„, так жо Уж = 2 (Уг-! Чт)-~ У~, и мы вновь приходим к обычной формулировке теоремы Жуковского о подъемной силе одиночного крылоного профиля.
Изложенный вывод теоремы не был связан с выбором системы осей координат. Если задать систему координат, направив ось Ох по вектору-шагу, а ось Оу по осн решетки, то в обычных обозначениях будеч иметь, согласно только что вывеленныи векторным формулам: гхх — оо 1 = — р(о ы+ц ) ! 1 (121) Й вЂ” чггых — — — р (и, —,— ич) 1, 1' = г'(нв — пг). Постановка ирямои задачи об обтекании реи~стки такова: задается вектор скорости перед решетной Ч„геометрические параметры решетки (шаг, угол выноса или установки), форма профиля и угол между осью решетки и направлением потока перед решеткой нли какой-нибудь другой, связанный с ним угол.
Следует определить направление и величину скорости на бесконечности за решеткой при условии выполнения постулата Жуковского — Чаплыгина о безотрывном обтекании задних острых кромок профилей, а также силовое действие потока на решетку. В качестве иллюстрации применения выведенных общих формул рассмотрим обтекание пластин, расположенных вдоль осн х (рпс. 80). Согласно теории, наложенной в 9 40, скорости на бесконечности У, до н У, эа решеткой будут в этом случае иметь проекции (выбранное в 9 40 направление осей ьоор иниж отличается от настоящего): и ==и — г), и -=ий г - ' 1" и =- +г), пгс ег и н в — проекции на осн координат (рнс.
80) скоростей на бесконеч"ости до н эа решеткой прн бесйиркуляиионном обтекания рассматриваемой Решетки. 21 зэк, ниь л. г. лоачянсхьа. 322 плоскок вззвихвквоь движении жидкости [гл. (г Средняя векторная скорость У„будет иметь, очевидно, проекции: 1 1 "!я~=-Д'("г Рпч)="~" он=-2 ('т+'з) ='~ яс я! Г=2а [(и, +9) — (и — 4)) =4ау= 4яп. (д — =2Го гй —, где ! = 2с — длина пластинки. Вспоминая формулу (б!) й 40, найдем по (120) отношение подъемных спл плзстинки з рассматриваемой решетке и одиночной пластинки; ег 1',я 'ч» 2п 2о Яс 2Г к! Г д„„ 2-.го кс 2а я! 2г (!22) Как видно нз полученной формулы, козффициент Л пересчета подъемной силы с одиночной пластинки на соответствующее обтекание пластинки в решетке представляет функцию относительного шага г/й В случае решетки пластинок, ориентированных иеряеядик гу кулярно осн решетки Ох, соответствующая формула пересчета имела бы вид Л =.- — 111 — ' .
(123) 21 яг к! 2г " г,а На рис. 101 приведены графики зависимости козффициента й от отио(у снтельного шага решетки пластинок при различных углах установки 3 (рис. 99) пластинок в решетке. Соотношениям (!22) и (123) на графике соответствуют крайняя верхняя и крайняя нижняя кри- (О зые. Интересно отметить, что при углах й, меньших 50', н при любых относительных шагах коэффициент Ф меньше единицы, т. е. подъемная сила пластинки йу в решетке меньше, чем у одиночной пластинки.
Наоборот, при углах установки, приближающихся к 0 =90', и не очень малых относительных шагах ко- 0 зффициент й становится значительно 0 7 у превосходящим единицу. При больших !д относительных шагах ( —.+ со)козффиРнс. 101. циеит й, естественно, независимо от угла установки 3, стремится к единице. Разыскание комплексного потенциала обтекания решетки профилей представляет задачу, значительно более тРудную, чем соответствующий вопрос теории обтекания одиночного профиля; объем настоящего курса не позволяет становиться на изложении даже простейшей задачи об обтекании решетки ставленной из пластин. Отсылаем интересующихся к недавно вышедшей равные проенциям скорости, соответств> ющей бесцнркуляционному обтеканию решетки пластинок.
Замечая, что шаг в данном случае равен ! = 2а, будем иметь по последней из формул (121)г ь' 49! творама жхковского для плоской гвщнткн в свет монографии Н. Е. Кочина.х В этой краткой, но весьма содержательной монографии излагается теория обтекания плоских решеток, составленных как нз пластин и тонких дужек, так и из теоретических профилей конечной эолщины. В настоящее время созданы различные методы расчета обтекания решеток, составленных из профилей произвольной формы,э однако эти методы еще только начинают получать практическое применение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
