Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Как это следует из первой формулы (37), пластинка, по сравнению с другими тонкими профилями при том же угле атаки, имеет наиленьшид коэффициент волнового сопротивлении. В БЗ. Нелинеаризированные уравнения движения идеального сжимаемого газа. Переход в плоскость топографа. Уравнения Чаплыгина В предыдущем параграфе рассматривались лишь те простейшие случаи до- и сверхзвуковых течений, которые приводили к возможности использования линеаризированных уравнений движения.
Малость возмущений, создаваемых обтекаемыми телами, позволяла отбрасывать вторые и старшие степени, а также произведения возмущенных элементов потока и их производных. При обтекании крыловых профилей сравнительно большой толщины и вогнутости уже нельзя пользоваться линеаризированными уравнениями и граничными условиями, а приходится обращаться к общигй нелинеаризированным уравнениям течения сжимаемого газа. Объем настоящего курса не позволяет останавливаться на изложении различных существующих методов приближенного решения нелинеаризированных уравнений. ' Наибольшее применение для решения газодинамических задзч в последнее время получили уравнения Чаплыгина, открытые им еще в 1901 г.
и опубликованные в известной докторской диссертации,я представленной к защите в Московский университет в 1902 г. С. А. Чаплыгин показал, что, если в уравнениях движения сжимаемого газа перейти от независимых переменных х, у в физической плоскости к новым независимым переменным: модулю скорости движения ~ $~(, в дальнейшем обозначаемому через ги, ' См. И. А. Кибель, Н. Е.
Кочин и Н. В. Розе, Теоретическая гидромехаиика, ч. !1, гл. 1, Гостехиздат, 1948, а также Р. 3 з у в р, Введение в газовую динамику. Гостехизаат, 1947. в С. А. Ч аллы ги н, О газовых струях. Учен. записки Моск. уииверс., отя. физ.-мат., вып. 21, 1904. 0 33) нвлинвлризировлнныя трлвнвния движвния глзл 341 ду ' ро дк' др и =— дх (39) дФ рр ду' где рр — плотность в покоящемся газе; отсюда следует: и йх+ о Иу = йо, ! -- о а'х + и йУ = Р— й,лть ! (4!!) нли, умножая второе уравнение на 1= )/ — 1 и складывая с первым, (и — Го) е! (х + гу) = аЪ + ! Ре абб.
р Заменяя в последнем равенстве: и — ро:= ые-'", х+ бу = г, получим соотношение йг = (а9 тр — „Иф~) — е" (4!) обоГш!аюп!ее оа случай сжимаемого газа нзвестн1чо уже по предыдущей главе связь между сопряженной скоростью и производной от комплексного потенциала по координате. '!тобы перейти к новым независимым переменным те и 0, будем считать г, э и 0 функциями те и 0; тогда равенство (41) перейдет в следующее: дш дб (дэ дб р 1дге дб 1 ! ге — Же+ — аб = ~ — ате+ — ебб+1 — ( — гбче+ — аб !1 — ег = де дг (дт дб .Р„(дб . дф Я 1 = — ( — + 1 — е-) ен йтв+ — ( — + 1 — ) е' йб.
1 гдт .Ро дат 1 едт Рч дфт ге (,дге р дю) ' ы (,дб р дб) Сравнивая в этом равенстве коэффициенты при одинаковых дифференциалах новых независимых переменных, получим: дг 1гдв, р„дМ и 1 ды и 'дге р дге) дг ! ~д~р .гм дбт дб те дб р дб) ! (42) и углу 0 вектора скорости с осью Ох, в плоскости годографа снорости, то нелинейные в физической плоскости (х,у) урзвнения газовой динамики становятся в плоскости „годографа скорости" (те, 0) линейными.
Для доказательства этого важного результата используем введенные ранее потенциал скоростей и функцию тока, положив: 342 плосков ввзвихвквок движения сжимаемого глзл (гл. ш Рч (! ( л ! „1я)» (43) зависит только от величины скорости те, а не от ее направления 1!. Чтобы исключить из системы уравнений (42) старую независимую переменную а, пролифференцируем первое уравнение (42) по 0, второе — по гв и результаты вычтем друг из друга, тогда, в силу очевинного соотношения дея д»а дед»я дыдв ' получим равенство: — + 1 — ~ вы — — ем — + 1е!» —, ( — — ! — ', 1 г дьг .Ря д'-Р т 1 дэ, д г1 Ря'1дф гя(,дгядз Р дмде,) гя» до + ди' (,ж; .1дО ' которое после очевидных сокращений и вылеления действительных и мнимых частей приведет к следующей системе уравнений: (44) Замечая, что д РРо! Ра дР РиЛР ЛР Ре ! Ф д»е! Р! Рг дм РЯ др Лм Рг ле дм: а по теореме Бернулли найдем после чего система (44) окончательно перепишется в форме: — = — — — (! — М) —, дт Ро1 дф дж Рв дв ' дР Р„аф — = — "Ю вЂ” ' дз Р дж' 145! Введем вместо те переменную Чаплыгина -., равную л — ! яг» 7г+ 1 ач» гас а* †критическ скорость.
Напомним, что входящая в систему (42) величина — ', равная по Ре известной формуле изэнтропического движения з 33) ивлинвлвизивованныз тгавненигг движвния газа 343 Заменяя в формуле Бернугггги (гл. 1!г) игв ггз /г+ 1 — +- — = сгг', 2 а — 1 2(а — 1) согласно прздыдугцему равеггсгву + зг а — 1 с получим: 1с з сгг 2' т) а — 1' отк)лз слег!)ег: я вгг 2 т ае гг — ! 1 — с' 1 — — — т 1 — МЯ =-- а — 1 1 —- а по (43) г — з(з )— д — 1 'е — г 1 2 ' ! (1 г)гга — г ' кроме того, дт дз сгз а — 1 э д; — 2 дж дю дг а+1 а*~ дс дз а — 1 вг дф — 2 дга )г -1- 1 а'~ дл 11одставляя гоггько что найденные выражения в систему (45), получим систему уравнений ггаплыгина: а+1 1 — —: дя 1 а — 1 дзс дт 2с (1,)жа — г дз ' (46) дт 2с др да (1,)г'а — с дт а + 1 г 1 — — — -- с 2.
(1 — т)"' 117) 11ерекрестным дифференцированием и вычитанием уравнений сисгемы (46) можно получить раздельные уравнения для са и о, причем зти уравнения будут линейныжа уравнениями второго порядка в частных производных. Так, например, уравнение для функции тока ф ичсет вид: 344 нлосков ввзвихгзвок движение сжимлемого глзь 1гл. тл или, если вернуться к координатам та, В н ввести местную скорость звука а, дтр, т мхх дф Х мхт да) т»Л — ' -'- те ~! + — ) — + ~'! — — ( — „- = О. дев ' ~, а»Удв ~, ат( дол 147') Диссертация С. А.
Чаплыгина содержит изложение ряда применений предыдущих уравнений к расчету струйных обтеканий тел, Для решения этой задачи устанавливаются общие разложения в ряд, которые позволяют непосредственно судить о влиянии сжимаемости газа при дозвуковом течении на струйное обтекание тел. Отсылая интересующихся к оригиналу, ' обратимся к рассмотрению другой задачи — о дозвуковом безотрывном обтекании крылового профиля. 5 64. Метод С. А. Христиановича. Приближенные формулы учета влияния сжимаемости на распределение давления Следуя С.
А. Христиановичу,з введем прежде всего в уравнения Чаплыгина (46) вместо независимой переменной т новую переменную Л, равную 148) а г Л вЂ” ! тогда, замечая, что д дЛ д .ю/~ — '1 1 д л ! дт дтдЛ й» вЂ” 12у дь» — ! 2»д»' перепишем уравнения Чаплыгина (46) в виде: дч др дз» 1,Н»-х дх ' ~-- —,,; ) дч 1 — Лх ду! 149) (1 — ~ ' Лх) л -)- ! Г 1 — Ле дЛ Г У 1 — Лх дЛ »+1 -л,! ' В настоящее время вышло новое язаакке работы С. А. Чаплыгина „О газовых струях' в серяк „Классики естествознания', Гостехиздат, 1949. "- С.
А. Х р нст н анович, Обтекание тел газом прп больших дозвуковых скоростях. Труды ЦАГИ, вып. 481, 1940, а также С. А. Х р н ст на н ов и ч и И. М. Ю р ьев, Обтекание крылоного профиля прн докрнтнческой скорости потока. Прнкл. мзтем. н мех»и., т. Х!, вып. 1, 1947. Если теперь ввести вместо Л независимую переменную з, связанную с Л дифференциальным соотношением 54) метод хгистиановичл пРиалижгнныв ФОРмулы 345 !51) !51') 1+, 1 й — 1 1+ — Мз 2 1 + — Мя 2 а" а па а следовательно: а+! Ме 1 — Ме 1 — Л--1 2 ! ! а — 1М2 !+а !Мя 2 2 а — 1 д+1 М" 1 1 1,Я вЂ” ! '2 + а+! 2 й ! 1+ Мт 1+ — Ме Л вЂ” 1 2 2 ' Н. А. Сл е з к ин, К вопросу о плоском движении газа.
Труды МГУ, ":!', а также ДАН, нов. сер., т. 1!1, Аа 9, 1936. 2 См. только что цитированные работы С, А. Христиановича и особенно последнюю нз них, в которой дан подробный анализ первого прнблив'ения. Вопрос об области применимости рассматриваемого прнблюкения лалее несколько уточняется. то система уравнений !49) приобретет „каноническую" форму: дв — д4 дз = У'К дз дт — др — = — ),'А' —, ~ дз да ' где величина К представляет следуюшую функцию г,: К= ! — Ле ьь+г ( а — 1.;)~ — г Решение задачи о бесциркуляционном обтекании профиля сжимаечым газом при сравнительно малых дозвуковых скоростях, основанное на применении упрощенной системы уравнений, было дано впервые проф. Н.
А. Слезкиным в 1935 г.' С. А. Христианович исследовал общий случай циркуляционного обтекания крылового профиля и предложил метод интегрирования строгой системы уравнений !51) путем последовательных приближений. В настоящем курсе мы принуждены опустить изложение глубокого по идеям, но весьма сложного с математической стороны метода С, А. Христиановича и удовольствоваться лишь простейшим приблилеением, дающим при не слишком болыпих дозвуковых скоростяхя удовлетворительную точность. Выразим величину К в функции числа М Лля этого заметим, что по формулам !66) гл.
Ь1; 346 плоссое вязвихяввов движение сжимакмого газа (гл. чг Таким образом, К, как функция от числа М, равна; К=(! — М)(1+ — ', ' М) †. (51") 1!риводим график зависимости величины г' К от й и М (рис. 108), а также табл. 7 значений )ГК для воздуха (я=-1,4). Таблица 7 м гК !' х ~ м 1ГК 1,0000 ! 0,35 0,3228 1,0000 (! 0,40 0,3701 1,0000 !! 0,45 0,4179 0,9999 !' 050 0,4663 0,9996 !!, 0,55 0,5152 0,9991 !! 0,60 0,5649 0,9982,", 0,65 0,6154 0,9965 0„70 0,9940 ' 0,75 0,9899 ' 0,80 0,9840 ! 0,85 0,9754 !' 0,90 0,9632 0,95 0,9461 1,00 0,6668 0,7192 0,7727 0,8274 0,8834 0,9409 1,0000 0,9271 0,8925 0,8416 0,7740 0,6788 0,50.92 О О 0,05 0,10 0.15 0,20 0,25 0,30 0,0457 0,0913 0,1372 0,1832 0,2294 0,2759 а йд ВФ ца ад Рпс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
