Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Х1!1, № 2, 1949. 361 9 56) Решатка пРОФилей В докРитическоы потоке Рг рг Я=(р,— рв)1-;-.;и(! Ч,)Ч,— (,г(!.Ч;)Ч.„ (68) прч юч, согласно закону сохранения массы, (н(1 Ч,)=р,(! Че). (6 ~! ) Вектор й на основании (69) принимает шш нише (68') й = (7г г — ра) 1 —;, (1 Чг) Ч,г, где Ч„обозначает ранее введенныЙ вектор девиации (отклонения) скорости потока решеткой (70) Чг Че Чг !1о теореме Ьернулли для адиабатического и изэнтропнческого но|оков имеем: „~(! ~, Л,) — ( — «~ 1") последнюю теорему на случаИ решетки в докритическом потоке сжимаемого газа. Рассмотрим (рис. 119) плоскую решетку в сжимаемом газе н условимся обозначать величины в бесконечном удалении перед решеткой индексом „1", а аа решеткой †индекс „2", Выберем в качестве кон- У, трольной поверхности (на рис.
119 показана пунктиром), так же как и в слу- Уг чае несгкимаемон жидко- У,=У-У сти, две линии тока, ~ у П1 смещенные друг по отношению к другу на шаг 1, и два сечения аг и ае трубки тока, ограниченной этими линиями тока. Применяя теорему количеств движения в форме Эйлера (гл. !!!) к кон- Уг туру контрольной по- Рпс. 119. верхности, будем иметь выражение главного вектора снл давления потока па профиль в виде !! — вектор-шаг): 362 плоское вззвихвввов движзниз сжимаемого гьзь [гл. тг где Л представляет скорость потока, отнесенную к критической око.
рости." — "о а'' У й-1-1 Р Ря=~+.1РО[Л вЂ” Л[) ~1 — 2[а 1) [Л[+Лг)+" 1 [71) г г ! Составим еще среднюю арифметическую из плотностей до н за решеткой 1 1 Р ь +Р) Р[( ) +( -) которая после разложения в ряды примет вид: 1 .г Р > = Ро ~ 2(Л+ 1) [*>+ Л ) -1- ° ° ° 1 ° Сравнивая последнее выражение с равенством [71), убеждаемся, что с точностью до величин Лг имеет место приближенное равенство Рг Рг> г >О> Рг г [1'г ~ >) >''+1 Рг (>1+ 1)аьг ..„, —,[К вЂ” [г>) =- —, [Ч,-1- 7) ° [Ч>г — Лг>), нлн, вводя, как и раисе, срединно вщыорпу>о скоросп и скорость девиации по>ока решеткой [70), получим следующее при- Г>лиженос выражение для разности давлений до и за решеткой [72) Р> Рг — Рг >'»> ' >го.
Обратимся к рассмотрению второго слагаемого в правой части равенства [68'). Имеем по [69): р, [1. Ч,) = р„[1 . Ч ) + Р, [1 Ч,) — рг, [1 Чо,) = — ..[ ..)+( — .)« „,)- Р>о 1 11 " Рг Рг, [1 Чг,). [78) Производя разложение в ряд по степеням Л, получим вместо предыдущего равенства 9 56) решетка пеоьилвй в докьитичвском потоки Легко видеть, что вычитаемое в квадратной скобке представляет величину порядка ).ь1 действительно, по предыдущему: р — р = — (),1 — ).~) ~~1 — — (й;-)- Лз)+....1 Рь г в) 2 — Н .г а Н+! ' ' ! 2(Уг+» 1 г г р,+р, 2ро~1 2(„» (,+),е)+ ( — "~) = ', (),' ,— ),,'). ~1+ — "' (),,-+ к;)+ ...
~. (74) Итак, с ранее принятой степенью приближения р,(1 Ч,)=.р.,(1 Ч ). Подставляя полученные выражения р,— ря и о,(1. Н,) в основное соотношение (68'), окончательно получим следующее приближенное равенство: К = ря, (Ч„Чв) 1 — рь, (1 ° Ч '1 Чв — — р,ьЧги )( (1;.С, Ч„), (75) представляющее искомое обобщение теоремы )Куковского на случай решетки, обтекаемой сжимаемым газом при не слишком близких к докритическим значениям чисел М, н Мя вдалеке до и за решеткой.
В ранее цитированной нашей работе приводится анализ порядка ошибки, возникающей цри пользовании этой приближенной формулой. Относительная ошибка не превышает величины 0,2(М, — Мг) . Таким образом, приходим к следувпцему выводу: ври докринглчшкик скоростнк лодьсяная сила профиля в ргтс)лке, обягегсаезяоа ки.кас,иыш галош, может приближенно олредслтпьсн ло форгкулк Жуковского длн несжижисжои жидкости, сели ллотность этой экидкослги приравнять сргднелу ггрифлгиигичссколгу илотностей глэи вдалеке перед и эа рстеткои. Как показал Э.
М. Берзоц, ' ена: си ичное обобщение теоремы Жуковского будет иметь место с той же степенью приближения, если вмеого среднего арифметического плотностей взять среднее арифметическое о'„, соогветствующих удсльник обьезшв газа до и за решеткой нли, то все равно, среднее гаргионическое р' плотностей 9ь о,+о, 2 г',„2 (.сч Заметим, прежде всего, что в этом случае равенство (73), в кото1шм р заменено на р', выполняется точно. Дейст вительно, прибавляя РЬ ' ьо ' "Ч. М.
Б е р з о и, О силе, действующее вг профиль в решетке. Труды ° 1ешшграаской военно-воздушной инж. ахздемнп, вып. 27, 1949, р,1.(ч,-+ч,)=(р,+р)(1 ч,), или, деля обе части на 2р,ро, отсюда сразу следует искомое точное равенство р.'(1 ч„) = р,(1 ч,) = р,(1 ч,). (73') Составляя разность Рг + р, 2ргрз (рт + рэ)з — 4ргр. 2 Рг + Р, 2 (Рг + Рт) (Р Р) 2(ж+Рэ) '"(Рг+Рэг' ' н нспоянная (74), видим, что с выбранной степенью точности рм совпадает с рм, Можно доказаггч что теорема Жуковского для решетки в сжи- маемом газе выполняется глочло, если заменить адиабату (изэнтропу) 1д па касательнУю пРЯмУю н точке (Ро, — ), а Удельный обьем пРинЯть Ро равным среднему арифметическому удельных обьемов газа до и за решеткой, Лзн этого, подобно тому, кзк гоо делалось в $ Р4, прежде всего перейдем от перемсннон Х к переменной гм равной Г 2 1.= =- 1~ Л, н, 1' а+1 тогда уравнения нзэнгропнчсского движения примут внд: я — 1;о-г Р =Ро(1 1зз) 2 (' З вЂ” 1 Р=ро 1 1ь~) 2 а замена изэнтропы касательной к ней будет эквивалентна использованию равенства Гг = — 1; в силу этого подучим: з,г Рг — Рэ =Ро($1+ ггг — )г 1+ Р..„,) = Ро )'1+Рг+ )г1+Рз — ', =-'(' — '+ — ')= — 'Ж+ «",+~' +,'.) Р„, 2 Рт Рз l 2ро 664 плоское ввзвихоевое движвнив сжимзвмого гааз [гл.
чг к обеим частям (69) по равному количеству р,(: ° Ч~, будем иметь: ху 56) твшвткх правилки в локвнтнчкском нотокг 565 Отсюда будет следовать: р„,р (рк рт рх= ~ з з )' 2рв "ао ао! что при а = — 1 н аз = — — дает Рз о— Ро .а р, дв. ' р,'„(,— 1",) =р„'Ч„Ч,„ Подставляя в равенство (68') полученное значение рх — рх, а также значение рт (1 ° Ч,) нз (73'), окончательно найдем: й=р (Ч Ч)1 — р (1 Ч,„)Ч,=р Ч,зМ(1 ° Ч). (76) Итак, главный вектор снл давления потока на профиль в решетке, обтекаемой сжимаемым газом, прн закритических числах М выражается той же формулой Жуковского, что в в случае обтекания несжимаемым газом; это оказывается верным постольку, поскольку изэнтропа заменена касатечьпой к ней в некоторой промежуточной точке, а плотность газа положена всюду разной среднему гармоническому нз плотностей газа вдалеке перед н зз ре щеткой.
Прн расчете решеток в дозвуковом потоке можно с достаточной степенью приближения использовать линейную нзэнтропу, как это делалось в 554; прн этом естественно пользоваться н предлагаемым обобщением теоремы Жуковского. Относительная разница между средней арифметической рю и средней гармонической ,„ нз плотностей до н зз решеткой не существенна, так кзк з — — .,(' —,)' рш 'х рх+ рх / 4(и+ 1)з например, для воздуха (й = 1,4) это отношение не превосходит 4з! от малой величины (1хз — 1т)'.
Вопрос об учете влияния с>кимаемости газа на распределение давления по поверхности профиля произвольной формы в решетке с данными параметрами еше не доведен до практического решения. Принципиальной особенностью задачи об обтекании решетки сжимаемым газом по сравнению с изолированным профилем служит наличие в решетке взаимного влияния профилей друг на друга. Как было показано в й 51 (рис, 103), при возрастании числа М з дозвуковом потоке размеры области влияния обтекаемого профиля также возрастают. Поэтому, если попытаться в грубом приближении свести обтекание профиля сжимаемым газом к некоторому условному потоку несжимаемой жидкости (вспомнить й 52), то сле- 1 дует: 1) увеличить, как и в случае единичного профиля, в У) — З(взв Раз ординаты заданного профиля в решетке и 2) уменьшить взаимное 1 расстояние между профилями в то же число раз, т.
е. 1 Уменьшить в — — — — . раз относительный шаг. Таким образом, влияние т,Х 1 )ЫЗ (шг. ьч гшоскос вкзпитоепог! движение сжнмдкмлп'о Глзл сжгглаелгосгпгг газа на обтекание профиля в реи етке оказываегпся более значггтельным, чезг в с гучае единичного профиля, ' Аналогичное явление повышенного влияния сжимаемости имеет место и при продувке единичного крылоного профиля в аэродинамической трубе с рабочим участком, ограниченным твердыми стенками. Влияние увеличения стеснения потока помещенным в него крылом на аэродинамические характеристики профигш быстро возрастает с уоеличением числа М набегающего потока. й 57.
Нелинеаризированный сверхзвуковой поток. „, Характеристики" уравнений плоского сверхзвукового потока. Линии возмущения и их основные свойства Л (а — и)д -( (Л,— Л, )д — — (Л,— ', Л ио)д — +Л (а — )д — — — О до или з ! ди Лг — Лгио ди1 Ля (а — из) ~ — -+ —. ~дх лэ(аэ — ие) ду) — (), + Л по) )Л вЂ” — .. — ~ = О. Гдо Лэ(аэ — оэ) до1 дх Л, + лэио ду (77) г См.
ранее цптпровапную книгу Липмана и Пакета, стр. 20б. э Подробный и полный обзор опубликованных исследований по вопросам сверхзвуковой аэродинамики кзк советских, так я зарубежных ученых см. в курсе К и б е л ь, К о ч и ~ и Р о з е, Теоретическая гпдромехзппка ч. П гл. !. Гостехпздат, !948. См. также А. Р егг!, Е!ешепгэ о! Аегобупагп!св о! 8прегэопгс Р!олчэ, Кечг Уогв, 1949.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
