Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Заметим, наконец, что при М = зо угол возмущения т равен нулю, ь с. линия возмущения совпадет с линней тока. Таково предельно возможное расширение потока при огибании угла. Изложенное общее решение задачи об обтекании угла может быть использовано для начального потока с л!Обими значениями чисел ), ) 1 или М ) 1. В этом случае следует начинать с характеристики (линии возмущения), соответствующей заданному начальному значению ) или М, и подводить к ней однородный прямолинейный поток пад соответсгеующим углом 0 или я.
Точно так же и конец поворота струи опрелеляется заданием 0 или л и М на выходе и построением выходного однородного прямолинейного потока со скоростью и углами, рассчитанными по изложенной теории или взятыми по табл. 9. Поворот струн определяется тем противодавленисм (разрежением), когорое имеет место за поворотом. Чем больше разрежение за поворотом, тем на больший угол повернется струя. Явление происходит гак же, как на выходе из сопла Лаваля: если давление в камере, куда происходит истечение, меньше расчетного на выходе из сопла, поток расп)иряется, огибая край сопла на тем больший угол, чем юльше разрежение в камере.
Посмотрим теперь, что будет происходить в противоположном случае — при повышении давления н сопровождающем его замедлении сверхзвукового потока. э 59. Сверхзвуковой поток внутри тупого угла. Косой скачок уплотнения. Связь между газодинамическнми элементами до и за косым скачком Рассмотрим сверхзвуковое обтекание внутренней части тупого угла (рис. 123). В отличие от предыдущего случая после прохождения вершины угла О скорость потока должна уменьшиться, поэтому будем предполагать, что па участке слева от линии возмущения ОС', поток был сверхзвуковым, число М, было больше единицы, а угол 378 плоское везвихгевое дВижение сжимаемого ГАВА 1Гл.
ш 1 и, = агсв!и — меньше прямого. Так как при повороте потока скорость Мт ' 1 его и число М, уменьшаются, то угол возмущения ия = агс з1п — должен М 7 / / / / Уг / / / увеличиться, что в связи с поворотом потока в целом навстречу линни ОС, должно было бы привести к физически нелепому выводу— линия возмущения ОСВ окав у залась бы лежащей выше по потоку, чем линия ОС,. Отсюда следует, что непрерывное сверхзвуковое движение внутри тупого угла невозможно.
Если угол 0 ' в1 поворота потока представляет конечную величину, то внутри тупого угла обраРис. 123. зуется линия разрыва, анало- гичная ранее уже рассмотренному скачку уплотнения; но в отличие от прямого, перпендикулярного направлению движения потока скачка, в этом случае возникает косой скачок, образующий с направлением набегающего потока острый угол 1рис. 124). Угол этот, как будет сейчас показано, зависит от начальных пара- / метров движения до / скачка и подлежи~ Ум р-В определению. Анализ прохожде- У~ р ум / ния газа сквозь косой / Ун скачок уплотнения ничем нг будет отличагься от соответству- й юп;его анализа в случае прямого скачка. По- Рис.
124. добно тому, как это делалось в гл. 1Ч, применим для установления связи между элементамп движения до и за скачком три основных уравнения механики: закон сохранения массы, энергии и закон изменения количества движения. Условимся обозначать в дальнейшем индексом ° 1" все величины до скачка, индексом „2" — после скачка; кроме того, применим индекс 1 для обозначения составляющей скорости в плоскости скачка и индекс и †д нормальной составляющей скорости. Выбирая контрольную поверхность так, как показано на рис. 124, будем иметь; 379 $ 591 СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК ВНУТРИ ТУПОГО УГЛА а) согласно закону сохранения массы: Р! У = Ря Уия б) по закону количеств движения в проекции на касательную к поверхности раздела: Р!" 1)'г! = Рз)' э)'гэ в) по тому же закону в проекции на нормаль к поверхности раздела: рг+ Р!)ги! = ра+ Рг4гчг г) на основании закона сохранения энергии: 1 2 г .
~ ! г 2 г+ 2 ( н+ "') ' 2 ( ы+ Из уравнений пп. „а" и „б" сразу вытекает основное для теория косого скачка равенство (93) утверждающее, что при прохождении газа сквозь косой скачок уплотнения составляющая скорости, касательная к поверхности скачка, сохраняется; скачкообразно изменяется лишь нормальная составляющая. Переписывая уравнение энергии (п.,г") в виде и+2 )т г+ 2 и сравнивая последнее уравнение, а также уравнения пп. „а' и „в" с соответствующими уравнениями теории прямого скачка, убеждаемся, что уравнения косого скачка совпадают с уравнениями прямого скачка, составленными для нормальной скорости.
Отсюда можно заключить прежде всего, что между отношениями давлений рэ/р, и плотностей ре р, до и после скачка будет существовать та же связь, что и при прямом скачке, это — известная уже нам ударная (неизэнтропическая) адиабата, определяемая равенством (43) 5 29 гл. )Ч и показанная на рис. 42. Приводя поток перед и за косым скачком уплотнения каким- нибудь адиабатическим и изэнтропическим процессом к покою (нндекс „0'), получим на основании уравнения и. „г'.
7щ= Тю= 7о ),е — !'эз = го, ага — — азо = ао,' отсюда сразу следует также, что: э ь * е * В Т,=Т,=Т, а! — — аз=а. (94) Зйб ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЭА [ГЛ, Чг Итак, при прохождении газа сквозь косой скачок уплотнения сохраняьнпся темперазиура, и скоротпь звука в адиабатически и изэнтропически загпорможенном газе, а также критические значения температуры и скорости звуьнк Переписывая уравнение Бернулли 1/е ог а+1 е †. а'. 2 ' е — 1 2(а — 1) в анде и- а+1 ., ре а+1, а+1 — — -1- 2 а — 1 2(а — 1) 2 2(а — 1) (, а — 1 (аь — — (гг ) закточаем, что, как ранее было уже указано, для расчета косого скачка можно с успехом использовать формулы расчета прямого скачка, если только за скорость принять нормальную составляюп!)По действите.чьной скорости Ит а за критическую скорость Величину $г,)г = аь получим обобщение этого соотношения на случай косого скачка: а — 1 И „1' =.
а' — — 1'ь 1ю'  — а+ (95) Замечая, что, согласно рис. 124: 1' щ —— (г1 5!П,Б, К,ь — — (г; 5!П ([Б — 0), ) 1;,= 1', сов 3 =- )ггсоз(!9 — 6), (96) получим по (95): а — 1 5 Б, \'1)~г 51п р 51п (р — 0) = а" — — — 1' г соз а иг 1 откуда $", соз (й — З) — Б = А1 а — ! соз В ° ( яп й Мп (3 — З) + — соз [) соь (; — Б) ~ а -[- 1 1 Г Ф вЂ” 1 — ==созе ° ~5)пр! ° (~9 — 6)+ созй~, )г 1+1 (97) так же как н истинная критическая скорость сохраняющуюся, согласно (93) н (94), при переходе газа сквозь косой скачок уплотнения.
При этом вместо извесгного соотношения дчя прямого скачка [формула (54) гл. !Ч[ СВЕРХЗВУКОВой ПОТОК ВНУТРИ ТУПОГО УГЛА 881 Перейдем еще обычным образом от !., к Мь тогда будем имеГНК 1 а+1 1 а — 1 М,' 2 ~~ 2 а .1-1 з!и 3 соз ~ !д (, — 3) — — з!Пэ ~. (98) л †! Рт 2!" т — ~ — М,з!п 3— Р, В+1 ' Л+! (99) ПеРейдем к давлениам Рю н Рее адиабатически и изэнтРопически заторможенного газа до н за скачком. В полном согласии с ранее выведенной для прямого скачка формулой (75) и заменяя в ней М, на М! з!п р, полу'чим: Л вЂ” 1, а — 1 — 1+ — М мп' 3 М а!Пар' Напомним, что натуральный логарифм этого отношения пропорционален возрастанию энтропии газа при прохождении его сквозь скачок уплотнения.
Аналогичным путем выведем выражение числа М, за скачком через !исто М, до скачка и угол !3: л — 1 + 2 т М соа М,'-, + ' . (10!) АМ" а!Пе;т — ! + М-' э!и,, Пользование формулами (98), (99) и (101) требует сложных вычислений, для избежания которых предложены различные графические приемы. рекомендуем номограмму, ' позволяющую по заданному числу М, до скачка и углу поворота струи !! определять угол 3 скачка с начальным направлением потока и величины Мв и — в поРт Рт Гоке за скачком. Поясним пользование номограммой на схеме (рис. 125), где жирной линией показана одна из кривых зависимости р от М, ' См. вклейку, а также ранее цитированную книгу Г.
В. Лнпмана н А. !'.. Пакета. Это соотношение является основным для теории расчета косого скачка. Задаваясь числом М, и углом 0 поворота потока, по (98) найдем угол р скачка с начальным направлением потока. Заменяя в формуле прямого скачка (72) гл. 1Ч число М, на М,В1п р, соответствующее нормальной составляющей скорости, получим отношение давлений в потоке за и перед косым скачком: 382 плОскОе БезвихРевое движение сжимАемОГО ГАЗА 1ГЛ. Ап при 0 = бе. Выбираем на верхней горизонтальной шкале точку М, =Ммп соответствующую начальному состоянию потока до скачка, и проводим через эту точку вертикальную прямую до пересечения с кривой, представляющей зависимость р от Мп Получаем в пересечении две / точки, которым соответствуют два наклона линии скачка: р = ре и р= ре, отсчитываемые, как показывают стрелки, по левой верти- мм ига Ряс. 125.
Г л кальной шкале номограммы, а также две пары значений: Мю и Ме, ( ) ( †) — и 1 — ), которые можно найти на правой вертикальной шкале Р) ~РГ) ' чисел Мя и горизонтальной шкале ~ — ). Из указанных двух физи/Ре1 ~р,) чески возможных наклонов косого скачка в действительности, как будет пояснено далее, может осуществляться лишь тот, при котором происходит более слабое уменьшение скорости и числа М, а следовательно, более слабое увеличение давления; такому скачку соответствует меныпий из двух указанных на номограмме углов ре и ре. Если проследить за направлением возрастания величин р, М, и рт)рг по шкалам номограммы 1на схеме рнс. 125 зги направления указаны стрелками), то пригодным решением окажется система значений ро ~ л /рад Мы и ~- — ), соответствующая нижней, „раоочей", точке номограммы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
