Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 72
Текст из файла (страница 72)
л'-ьл о.+ аэ Тогда, переписывая погенцнал скоростей; в виде 1 —, 1)г — 1/е ; = — — 9-АА' °вЂ” 4е АА' ги д /1, 4- йе(,г)' () и;ш, вычисляя производную н замечая, что, согласно рис. 134, о (1) 1 еГг сов Э г' дз ее де е получим еще такое его выражение: тсо. З Ф= — — —, 4лее (18') Полученный предельный поток с потенциалом скоростей е, определенным формулами (18) илн (18'), называют потоком диполя, находящегося в точке А, имеющего ось АЕ и лголгент т. Иногда момент диполя рассматривают как вектор щ, имеющий величину т и направленный по оси диполя АЕ; при этом потекциал днполя можно представить в виде: гп г О=в 4еге (18") 4'. Непрерывное распределение источников в пре- с гран стае. Предположим, что внутри некоторого объемат (рис.
135) непрерывно распределены источники (стоки) так, что на единицу объема приходится М мощность д. Величина а, представляющая Функцию координат точек в объеме с, играет роль обвелсной плотности распределения источников (д ) О) или сто- - 4ат ков (д ( О). Элементу объема дт, находящемуся в некоторой точке А объема -., Рис.
135. будет соответствовать источник мощно- Ч ат, и потенциал скоростей этого элементарного источника в любой точке А4 пространства, заполненного жидкостью как внутри, и переходя к пределу, получим слслуапцсе выра'конно потенция ът ~ьоросгси: З9б [гл, уп ИРост!РАнстВкнноа БРЗВихРВВОБ дВи)канна так и Вне об.ьема т, будет равен: 1 Гэйла 4~ ~ г Т (19) 1!одчеркпем, что интегрирование производится по всем элементарным объемам, образующим объем т, т. е. по переменным координатам точки А, в то время как точка М является фиксированной, в которой определяется потенциал скоростей. Если обозначить через (а, д, с) декартовы координаты точки А, а через(х, у, 2) †координа точки М, то формулу (19) можно переписать явно так: (х 2) = — 1 ~ ~' (' э (~ Ь й~ йп !ГЬ !)' (19') 4я,/,) ) у"(х — а)з -1- (у — Ь)я+ (2 — с)! (т) Если область течения жидкое~и безгранична, то функция !у при улалении точки М в бесконечность будет стремиться к нулю.
Обозначим через )с среднее расстояние точки М от частиц конечного объема т; тогда при достаточном удалении точки М можно сказать, что потен- 1 циал скоростей ч! будет стремиться к нулю, как —., при гт — Рос, или еще иначе, что функция ч! обращается в нуль первого порядка на бесконечности: ср = 0( — ).
Полученный потенциал скоростей представляет общее выражение ньютонова потенциала. Если под 4! понимать плотность распределения массы в объеме т, то выражение (19) ласт потенциал сил тяготения единичной массы в точке М к неоднородной массе, заключенной в объеме ".; если под !у понимать плотность распределения электрических зарядов, то !Р будет потенциалом электростатического поля. Это же выражение играет роль потенциала скоростей непрерывно распределенных в объеме ". источников в рассматриваемом нами гидро- динамическом случае.
Широкие связи, существующие между, казалось бы, столь различными физическими областями, как гилродинамика, тяготение„электричество и др., позволяют испольаовать эти „аналогии" пгс г — длина вектора-радиуса АМ= г, сосдиняклцсы! элементарный источник в точке А с текущей точкой пространсгва М. Пользуясь идеей наложения потоков, определим полный потенциал скоростей в точке М от непрерывно распределенных в объеме т источников в виде: й 01) потенциал нкгочникь, диполя и дР. 397 илн, заменяя Ч = ягай э, 01ч Ч = Чэяд Ч р=д. (20) Отсюда вытекает, что функция э, определенная формулой (19) в некоторой безграничной области, заключающей в себе заполненный источниками конечный объем т, является решением уравнения Пуассона (20) внутри объема; в остальной области, где д = О, функция э представляет решение уравнения Лапласа Чэ9= 0, причем это решение таково, что обращается на бесконечности в нуль первого порядка.
В. теории потенциала доказывается, что ньютонов потенциал (19) представляет единственное конечное, непрерывное, однозначное, с такой ;ке первой производной по координатам решение уравнения Пуассона (20), обращающееся в бесконечности в нуль первого порядка. Наряду с объемным распределением источников, в гидродинамике, так же как и в других отделах физики, рассматривают еще поверхностные н линейные распределения источников.
Сохраняя для поверх- постной и линейной плотности распределения мощности источников то ~ке обозначение д, будем иметь соответствующие потенциалы скоросгей к виде поверхностного и линейного интегралов: 1 1 цпа 4я ~ г 1 рд~Ь 4~ ~ г 2 (21) Первое из этих выражений, представляющее потенциал скоростей непрерывного распределения источников по некоторой поверхности о, дает гидродинамическую интерпретацию известного в теории тяготения н электростатического притяжения потенциала простого слоя. Потенциал простого слоя так же, как и ньютонов потенциал объемного распределения (19), является решением уравнении Лапласа, причем, как доказывается в теории потенциала, потенциал простого слоя конечен г Вспомнить, например, метод ЭГДА (конец гл.
Ч). для практического изучения процессов па тех объектах, которые позволяют проще и точнее изучать явления. ' Вспоминая определение величины дивергенции вектора скорости как отнесенного к единице объема расхода жидкости из непрерывно распределенных источников (Э 11), можем, очевидно, в любой точке объема -.
написать: пгостяАнстзвнноз ввзянхРевое движение 1гл. Ап! и непрерывен во всей области, включая и поверхность а.' 11роизводная от потенциала простого слоя по направлению нормали к поверхности а претерпевает при переходе текущей точки М через поверхность а разрыв непрерывности — конечный скачок. Подобно тому, как только что рассматривались потенциалы скоростей непрерывных распределений источников, можно ввести аналогичные понятия и для непрерывного распределения диполей.
Остановимся на одном, наиболее интересном распределении диполей, образуюп щем так называемый двойной о слой. Возьмем некоторую поверхх 9 ность а и покроем ее непрерывно распределенными диполями так, х чтобы моменты их (или оси) со- + впали по направлению с внешними А. + ф нормалями и к поверхности а. Обозначив плотность распределеРис.
Иб. ния диполей через т, получим вектор элементарного момента диполя, приходящегося на элементарную площадку да с ортом внешней нормали и, в виде то«а и, а элементарный потенциал скоростей «1«о согласно (18) или (18'), будет равен 1 д Г11 1 тсозВ о«<Р = — — т — ! — ! да = — — — «й, 4х да,г) 4х ге где 0 (рис. 136) — угол между внешней нормалью к поверхности а и вектором-радиусом г= АМ текущей точки М относительно точки А, взятой на поверхности. Полный потенциал скоростей от всей покрытой диполями поверхности а: 1 «' т созе «Р= — ~ т — ! — ) ««а= — — ~ о«а 122) 4х~ дл~г) 4к~ Ф служит гидродинамической аналогией известного в теории электричества и магнетизма потенциала двойного слоя.
Если потенциал простого слоя представляет, например, электростатический потенциал заряженной поверхности, то потенциал двойного слоя дает магнитный потенциал намагниченной поверхности (магнитного листка). Упомянем, что потенциал двойного слоя (22) также является решением уравнения Лапласа, но, в отличие от простого слоя, потенциал В точках поверхности а потенциал простого слон выражается, со- гласно (21), через несобственный интеграл, который берется в смысле своеЮ главного значения.
$621 поле скогосгвй зокггг системы вихеей 399 двойного слоя претерпева~т разРыв непрерывности при переходе текущей точки М через поверхность е. Комбинируя потенциалы простого н двойного слоев, можно разрешать различные задачи обтекания тел. Ч = го1А, (24) причем подчиним векторный потенциал дополнительному условию б|ч А= О. Тогда уравнение (23), если вспомнить основную формулу векторного анализа го1 го1 А =- дгаб 61ч А — ЧэА, превратится в (25) Рассматривая это уравнение как векторный аналог уравнения Г1уассона (20), можем составить решение уравнения (25) в форме векторного обобщения ньютонова потенциала (19): ЧгА = — Я (26) гле г — радиус-вектор текущей точки поля М по отношению к элементу объема г. Согласно (24), для вектора скорости Ч получим искомое значение 1 Гнат Ч = — го1~ —.
г т (27) й 62. Поле скоростей вокруг заданной системы вихрей. формула Био †Сава. Потенциал скоростей замкнутой вихревой нити. Аналогия с потенциалом двойного слоя Наряду с основными „особенностями" скоростного поля: источниками, стоками и диполямн, рассмотрим еще вихревые трубки и линии. Предположим„ что в некотором объеме т (конечном или бесконечном, как, например, в случае бесконечно длинной вихревой трубки) задано непрерывное распределение завихренности 11 и требуется разыскать распределение скоростей во всей области течения. Простейшей задачей такого рода является определение по заданному полю вихрей поля скоростей в безграничной области, В этом случае вопрос сводится к составлению такого решения относительно Ч уравнения го1Ч= П, (23) которое стремилось бы к нулю при улаленни на бесконечность от области, занятой вихрями.
Введем в рассмотрение так называемый векторный потенциал А 1зспомнить формулу (33) 6 37 гл. Ч), связанный с вектором скорости Ч соотношением 400 п! остглпствшщое ввзвихвввов движение [гл. тп! Остановимся ближе на случае отдельной элементарной вихревой трубки, окружающей вихревую нить А (рнс. 137), с циркугщпией Г. Обозначим через е!г элемент нити, ориентированный в ту же сторону, что и аа; тогда, производя под знаком интеграла (27), по известной теореме о связи между интен!а сивностью вихревой трубки и пиркуляцией скорости по охватывающему трубку контуру, замену тее!т =-14 е!о ° ен.=- й е!о ° !4г = Ге!г, получим вместо (27): У = — го! ~ — г!г= — ~ го1~ — е!г). — (,г Используя формулу векторного анализз Г! 1 1 Г!1 го! ! — е!г) = — го! (е!г) + цгад ~ — ) Х Иг ,г г г, рнс 1З, и замечая, что г7Г является потенциальным вектором, так что го! 07г) = О, сможем предыдущее выражение У переписать в виде: У=4=,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
