Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Обтекание сферы. Давление однородного стационарного потока идеальной несжимаемой жидкости на погруженное н нее тело. Парадокс Даламбера Точно так же, как это имело место в случае плоского обтекания круглого цилиндра, мозкно найти пространственное обтекание сферы, накладывая однородный поток, параллельный, например, оси Ог, со Рис. 140. скоростью 1' на поток от диполя, ориентированного вдоль этой оси (рис. 140). Складывая функции тока (38) и (40), найдем функцию тока составного потока: ф = — (г гв ыпв 0 + — в1па 0 = ( —, 1',гв+ — ) в!пв 0.
(41) 2 ' 4гг ',2 " 4чгг Нулевая поверхность тока ф = ( — 1г ге+ — 1 в1па 0 = 0 ~ 2 4гг/ Разбивается на уравнение поверхности сферы: 408 1гл. тп пгостглпствюшов везиихгввое двнжепиг где а — радиус сферы, и уравнение оси О»: 0= — О,п,... Отсюда следует, что, желая получить оотекание сферы радиуса а потоком со скоростью 1г на бесконечности, направленным вдоль оси О», надо положить в выражении функции тока (41) т = — 2паз1г тогда будем иметь ф=. — 1г ге~1 — ( — ) 1з1птИ.
(42) После этого уже нетрудно при желании найти и потенциал скоростей. Можно было бы проинтегрировать систему уравнений связи потенциала е с функцией тока ф, но проще непосредственно составить сумму потенцизлов слагаемых потоков (16) и (18') ю= ~ге.» — 4 ~ - Ъ г~1 +. — ( 1 |со50— =- )г» ~1+ — ( — 1 ~. (48) Исследуем полученный поток. Прежде всего найдем распределение скоростей: (44) дз ~( 2~,г)) Сразу видно, что на поверхности сферы (г = а) выполняется основное граничное условие непроницаемости твердой стенки: 1г„= 1гг= О, а на бесконечности (г — + со): )г„= 'к созИ, ~;= — 1г з1п0, т.
е. скорость однородного потока на бесконечности равна по вели- чине (г и направлена по оси 0» в положительную сторону. Еак это уже делалось ранее при изучении плоского движения, разобьем рассматриваемый поток на два: 1) однородный невозмущен- ный сферой поток со скоростями 1», = — )г., соз И, )г„е = — 1', в1п 0 и 2) поток от диполя, представляющий возмущение однородного потока сферой: /а'Р 1г„— $г ~ — ) сов 0, )ге = — — 1' ор | — ) яп 0. 2 '(г) ~~ 64) ОвтыггниБ сею'ы.
пАРАдОкс дАлАмБИРА 4О2 Скорости возмущения, как видно из последних равенств, быстро убывают с удалением от возмущающей поток сферы. Убывание имеет порядок обратной пропорционалвносгпи кубу расстояния. Распределение скорости по поверхности сферы характеризуется равенством 3 " в = — — 1' 2 Точки А и В (рнс. 140) будут критическими, в них скорость обращается в нуль. Максимальная скорость будет иметь место в миде- левой плоскости при 9 = — †о равна по величине 2 3 ( )гг) Сравнивая этот результат со случаем обтекания круглого цилиндра Я 38 гл.
Ч), видим, что в пространственном случае обтекания сферы чаксимальная скорость на ее поверхности достигает только огрех тпорых скорости набегающего потока, в то время как в случае плоского обтекания круглого цилиндра максимальная скорость в деа раза превышает скорость набегающего потока. Заметим, что (так же как и в случае плоского потока) в действительности максимальная скорость не достигает столь большого значения; сфера представляет плохо обтекаемое тело, с которого набегающий поток реальной жидкости срывается, не доходя при одних условиях даже ло миделевой плоскости, при других — несколько заходя за нее 1об этом полробнее булет сказано в дальнейшем). Распределение давления по поверхности сферы получим по теореме Бернулли Р1„' Р 2 =Р + — ~ 2 2 из которой следует выражение коэффициента давления: ,е р ° Утг 9 р= =1 — ~ — ) =1 — — Бйпг0.
1 г,1',) 4 2Р Бак видно непосредственно из последней формулы, в силу симметрии главный вектор сил давления потока илеальной жидкости на поверхность сферы булет равен нулю. Сфера при своем равномерном движении в идеальной жидкости не испытывает со стороны послед- никакого сопротивления.
В этом заключается частный случай известного парадокса Даламбера, о котором уже была речь во введении и в гл. Ч о плоском безвихревом движении. В рассмотренном ~~лько что случае сферы этот парадокс следует из соображений с"мметрии распределения давления по поверхности сферы, однако парадокс верен и при несимметричных обтеканиях. 1гл. Рп 41О ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЬВОЕ ДВНЖЕНИЕ Приведем обгцее доказательство парадокса Даламбера для случая пространственного безвихрезого обтекания конечного по размерам тела произвольной формы.
Для этого определим прежде всего порядок убывания скоростей возмущения однородного потока некоторым ограниченным замкнутой поверхностью а телом (рис. 141) при удалении от этого тела. Разобьем потенциал 10 обтекания тела на потенциал однородного потока со скоростью Ъ', параллельной, например, оси Ое, и на Рис. 141. потенциал скоростей возмущения е'. Последний потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в сферических координатах можно написать В виде: Желая разыскать общий аид решения этого уравнения, положим 55' (Г, е, 0) = 1т (Г) Х(е, О), где 1т(Г) — функция только от Г, Х(е, 0) — только от е и 0. Подставляя это произведение в предыдущее уравнение, будем имет1п И Г д1Р'1 10 дгХ 1 И д Г. дХХ Х вЂ” 1 Гз — ) + — — + —.
— ~51 и 0 — Г1 = б, дг 1, аг 1 51ВЕ 0 де1 5!е 0 д0 да или, отделяя функции Г от остальных переменных: Слева стоит функция только Г, справа — только 5 и О. ПосколькУ переменные г, е и 0 независимы друг от друга, из предыдущего й 64) овтвканне совгы. Пвеьдо!<с даламвеРА 411 равенства следует: 1 д Г в а<<< — ~, гв — ) = соп51.
аг '< а'г ) Легко видеть, что в число решений этого уравнения будут вход<ыь целые положительные илн отрицательные степени переменного г. 1х (г) = г", если только произвольную константу положить равной п (п+ 1). Останавливаясь лишь на целых отрицательных значениях чисел п = — и, так как потенциал возмущения <у' должен убыеатв с ростом г, получим систему частных решений уравнения Лапласа (45) в виде: а=1,2, ... со, гь 1 двХа 1 д ( .
дХ«') в!пв В двв в<п В до <, до,< — — + —. — Гв1п  — )+ а(а — 1) Х„= О. При а = 1 решением этого уравнения, ограниченным при всех значениях О .— В -=я, будет Х, = сопв1, что соответствует простейшему сопв< частному решению —, представляющему не что иное, как известный уже нам ньютонов потенциал единичного источника (стока). При а= 2 уравнение имеет решением сопв1 ° соей, что приводит к потенциалу скоростей диполн. В силу линейности уравнения Лапласа искомый потенциал <в'можно представить как сумму частных решений: СО ОР я=а ь=в (45') Докажем, что постоянная С равна нулю. Для этого окружим обтекаемое тело сферой Со большого радиуса го и, предполагая, что между поверхностью тела о и поверхностью сферы оо нет источников или стоков, напишем условие равенства нулю суммарного расхода жидкости сквозь поверхность оо: <г «а = ~ — «оо= — — ~ а<во ~ « ~Ха(в~ В)«со=О.
г о дг гв . Л,< г~+~ Д и о Фа ь в о и Замечая еще, что: <1оо = го вш В <1В а<в, <Ьв = 4пгв, Ф„ причем функции Х„(в, В) — их называют сферическими функциями— должны удовлетворять уравнению в частных производных: 412 и!'Остианственноа Бвзвихгквое днижениа 1гг!. чп получим зк л — 4гС вЂ” ~ — „~ гй ~ Х! 1е, й) сбп й о!Е = О„ г а я е о а откуда при гз-+ со и следует, что С= — О.
Итак, окончательно общий вид потенциала скоростей будет: СЮ кт х,<., з) г и, следовательно, действительно при больших г скорости возмущения имеют порядок После этого уже нетрудно доказать и парадокс Даламбера. Применим теорему количества движения в форме Эйлера к объему жидкости, заключенному между контрольными поверхностями е и ее.
Будем иметь, обозначая через г главный вектор сил давления, действующих со стороны жидкости на тело: — ~ Р1г„Ч гааз — ~ рп гйе — г =- О, так как перенос количества движения через поверхность твердого тела е равен нулю. При отсутствии вихрей в рассматриваемой области течения спра ведлнва теорема Бернулли, дающая формулу связи давления и скорости: Р РЗ р= сопз! — —. 2 Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим: ! а\/е "= — ~Р)'~Ч'1'о+ ~ 2 "~'о Разбивая по предыдущему скорость потока на основную скорость натекания Ч и скорость возмущения Ч', будем иметь: РЧ ~ кяпео Р~ 1г Ч г!чо+ м -~- Я1Ч +Ч') ГЧ-+Ч')ндъ=- м = — р ~ 1'„Ч'гйе+Р ~ 1Ч Ч')нггео+ 2 ~ !' няее, и й' 66) овщив тгавнвния освсиммвтгичиого движьиия 4!3 что следует в силу очевидных равенств: ) 1гидчо=б, ) идее=О.
По ранее доказанному скорость возмущения Ч' имеет при боль- 1 шнх г величину порядка †, в то время как элемент интегрирования да — порядок гз; отсюда сразу вытекает, что при стремлении г к бесконечности главный вектор г сил давления потока должен быть равен нулю, что и доказывает парадокс Даламбера: ири безвихревом обтекании тела конечного размера идеальной несжимаемой жидкостью, в отсутс~ивие вокруг тела источников либо стоков, главный вектор сил давления потока на тело равен нулю.
— и г Парадокс Даламбера доказан только для тела конечнык размеров, ограниченного замкнутой поверхностью. Главный Ряс. !42. вектор сил давления потока на тело, распространяющееся до бесконечности, например, на .полутело" (рис, 142), зависит от закона возрастания ширины д сечения этого „полутела", с увеличением расстояния з до бесконечности. Так сопро~ивление полутела, образованного наложением однородного потока на источник, равно нулю.
Параболоид вращения дает пример полутела бесконечно большого сшротивления. Среди полутел, ширина которых возрастает медленнее, ~еы у параболоида, могут быть тела конечного сопротивления. ' % 66. Общие уравнения осесимметричного движения. Применение цилиндрических координат.
Течение сквозь каналы Одним из наиболее распространенных видов пространственных течений является движение, симметричное относительно некоторой оси !например, оси Ог), кратко называемое „осесимметричным". Сюда относятся всевозможные движения в соплах круглого сечения, в конфузорах и диффузорах, осевого обтекания тел вращения, сигарообразных, лирижабельных и других форм.
Составим общие уравнения осесимметричного движения. Предположим, что в меридиональных плоскостях !рис. 143), образующих с плоскостью хОг угол ь, выбрана некоторая, не зависящая от угла е ~ Тщательное исследование вопроса о влиянии формы .полутела' па его сопротивление см. М. И. Г у р ее и ч, Обтекания осесимметричного полутела венечного сопротивления. Прикладв. матем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
