Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 78
Текст из файла (страница 78)
сравни- ь1Р тельно мала, Отсюда следует, что величина н(1Р) — =л--!-й— ЙР ЛР $69) 433 МЕТОЙ „ОСОВЕННОСТВй Изложение приемов построения второго и следующих приближений можно найти в ранее цитированной статье Я. М. Серебрийского. Определив козффнциенгы А„и Ся, найдем выражения потенциалов и компонентов скоростей Йля продольного и поперечного обтеканий, после чего уже пегрудно разыскать и распределение скоростей и давлениИ по поверхности заданного тела вращения илн вне его при любом угле атаки.
Отмегин, что при всех вычислениях на поверхности удлиненного тела и вблизи ее можно пользоваться для с2 и — " У(( )ь угл приближенными выражениями (66). Само собой разумеется, что при удалении от поверхности обтекаемого тела Л возрастает, и формулы (66) становятся все менее и менее точными. 9 69. Метод „особенностей". Применение непрерывно распределенных источников (стоков) и диполей для решения задачи о продольном и поперечном обтекании тел вращения у(г* г) =,— ! у) (г') г(гУ )7 гээ+ (г — л')э —.1,' '.
° (70) Если задаться видом функции Уу (г'), то, вычисляя интеграл (70)„получим потенциал скоростей, а дифференцирование по г* и г позволит вычислить н пРоекции скоРости в, и гм НаобоРот, задаваЯсь фоРмой обтекаемого тела, можно, переходя от потенциала скоростей возмущенного движения к полному ууотевцналу продольного обтекания тела однородным потоком с заданной скоростью на бесконечности и написав условие непроницаемости поверх- ности тела, получить интегральное уравнение, в котором У7(л') будет неиз- вестной функцией.
Заменяя потенциал скоростей на функцию тока, Карман' Разработал метод прнблнукснного интегрированна соответствующего инте- УР, Р * * Р Р У Р. 'УР..КР ' . В «Р Р ° Р«Э Р гУ РРРРР А(УПапб1, аиэ беш Аегобуп. 1пм, Аасйеп, 1927, Ней 6. Подробное изложение этого н других методов, а также применение нх к Расчетам см. Н. я. ф а б р и кант, Курс зэродннамнкн, ч. 1, гл. Ш.
Гостех- вэдат, 1936, 26 з Умь л г. 1ээчРУ «. э. Изложенный в предыдущих парагрзфах метод исследования продольного н поперечного обтеканий тел вращения, основанный ва непосредственном решении уравнения Лапласа в эллиптических координатах, не является единственным методом решения этой задачи. Первоначально формы обтекаемых тел вращения для дирижаблей определялись наложением однородного, параллельногонекоторой осн потока на поток от системы источников (стоков), распределенных вдоль той же оси. Для этой цели применялись вначале дискретные „особенности" потока — системы источников (стоков) нлн днполей, а впоследствии — непрерывные нх рзспрсделения. Предположим для определенности, что на отрезке ( — с, + с) осн Ол задано непрерывное распределение источников (стоков) интенсивности у7(г).
Тогда потенциал т возмущенного дваженяя, созданного этой системой,особенностей", будет, согласно второй нз формул (21) й 61, равен (знак минус введем в определение интенсивности у7): 4Э4 пгостгаиствяннов внзвихнввов двнжвние (гд. чп Однако метод Кармана не был общим и требовал решения в каждом отдельном случае системы большого числа линейных алгебраических уравнений, что делало его на практике слишком трудоемким и мало точным. Аналогично, пользуясь вырзжением потенциала диполя (22) й 61, можно составить и потенциал лояеречиого обтекания тела вращения, складывая однородное натекание с заданной скоростью на бесконечности с потенциалом скоростей возмущенного движения жидкости от непрерывно распределенных по отрезку — с« зс, + с дилолей интенсивности и (а'): +с га соз а ~' ш (л~) Из~ чг (г*, г, а) = 4я,) [гь~+ (з — а')Я)эй (71) — с~а-=+с, заполненным .особенностями", и вторую, представляющую остальную часть оси Оз, где (з( ) с.
С точки зрения эллиптических координат Л, я, введенных в начале й 66, отрезок, на котором расположены ,особенности", можно предстзвить, согласно второй из формул (53), так: Л = 1 — 1 = и "~ 1, а остальную часть оси Ог, как я = ~-1, 1 СЛ(скь Тогда, срзвнивая между собою вне отрезка ( — с(а'(с) выражения потенциалов возмущений (70) и (71) с соотзетственнымн выражениями тех же потенциалов, взятыми из формул (55) и (61), получим следующие два равенства: +1 1 ~(с' ) ~~ =с)« ~~Ая1'.) (Л), (72) я з +т 1 ( т(си')Ан' 1, ~чи(п+1)С а~, 4ясэ,) (Л вЂ” 1«')з «ь .~й 2 " ПЛ (76) которые прн заданных коэффициентах А„и С„можно рассматривать как два интегральных уравнения для определейия нейзвестных функций д и ш.
Здесь также можно задаваться распределением интенсивности ш (з') нлн, наоборот, определять эту интенсивность из интегрального уравнения, представляющего условие непроницаемости заданной поверхности тела по отношению к потоку, складывающемуся из возмущенного и однородного на бесконечности. Не останзвливаясь на изложении этих, в настоящее время уже мало- употребительных методов, укажем лишь на простую их связь с методами, изложенными в предыдущих параграфах. Покажем, что при заданной форме поверхностей обтекаемых тел вращения неизвестные функции «7(з') и и (л') могут быть выражены через ранее введенные коэффициенты А„и С„. Разобьем ось симметрии тела вращения Оз на две областй одну, определяемую интервалом $691 435 МЕТОД «ОСОВЕННОСТЕЙ Интегральное уравнение (72) может быть легко решено, если искать решение в виде ряда л(ср.') ~ ~ а»Р»(1«'), — 1 Д!«' =1, Подстзвляя это разложение в (72), получим: +1 О« 4 ~ ав ~ »Л, —— сУ,~ А»1.1» Л).
в о в Замечая, что по известной формуле теории функций Лежандрат =- 2()в (Л), Л вЂ” н' — 1 перепишем предыдущее интегрзльное уравнение в виде 2, ~ л„Ц„(Л)=с)' ~ Ав()в(Л). и о в=о откуда будет сразу следовать искомое решение: 4 (з') =2»сУ, ~~~~~ А»Р»(з'/с). (74) в о Для разыскания второй неизвестной функции т(л') продифференцируем раз по Л н другой раз по н' известное разложение'- — (~~~ (2П -(- 1) (!в (1) Рв (1«'), 1 в о тогда получим 1 1 у ~й;>» г1Р» (Л в )з к ~.~ = — -в т (2и+1) —" — ",. КЛ Ан' »=1 Подставляя это разложение в интегральное уравнение (73), преобразуем его к виду: (Ю +1 «О — — у (2я+1) —" ~ т(с11') — "«т!ь'= У у — С вЂ” ".
1 ъ! с«~в Р, НР», жчп(л+1) Щв 8»сэ 24 сЛ,~ Аи' «' ЛЕ 2 " и'Л »=1 — 1 в ' См. Унт те ке р и В з т с он, Курс современного анализа, ч. П,стр.114 ' Там же, стр. 1!7. 43Б ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ЕЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ (Гл. Тгц Подставляя сюда разложение неизвестной функции в форме гл(сР') = — 2ясзУ (! — Р' ) у с„—, ът ЙРв и замечая, что в силу ортогональности полииомов Лежандра: +1 ~ О, при й~п, дР дР„ (1 — Р' ) — ", —,ИР'= ( 2п(и+1) — 1 др' дн' 1, при й= п, 2п+1 убедимся в справедливости равенства с„= С„.
Итак, имеем: гп (сР') = гп (г') = — 2ястр, ~1 — ( — ц ° ~ Сл —,. (75) (,с) !! ' лУа д(г'/с)' Ь=1 4 (г) дгч У = — =У Я 2ягз = сО откуда дгь д (г) = 2яУ гч— дг ' (76) причем г*(г) представляет заданное уравнение контура меридионального сечения; 2) в случае поперечного обтекания тела вращения выберем т (г) из условия, чтобы элемент тела, вырезанный плоскостями г и г + дг, обтекался так же, как элемент цилиндра бесконечного размаха в плоском движении. Это приведет к равенству: ш (г) = 2вУ г*ь(г).
Совокупности формул (70) с (74) и (71) с (75) позволяют при желании пользоваться потенциалами скоростей возмущений в цилиндрических координатах, если уже заранее вычислены коэффициенты А„ и С„. Заметим, что эти коэффициенты проще определять при помощи разложений уравнения контура мерндионального сечения в ряды по функциям от эллиптических координат, з уже затем доводить расчеты до скоростей в эллиптических или цилиндрических координатах. Так, например, как было показано в предьцгущем пзраграфе, в случае удлиненных тел вращений со значительным удлинением коэффициенты А„ и С„ легко определяются путем разложения уравнения контура в тригонометрический ряд по косннусэм эллиптической координаты 4.
Заметим еще в заключение, что для тел с очень большим удлинением можно определить д(г) и т(г) из следующих двух простейших предположений: 1) в случае продольного обтекания считать нормальную к поверхности т тела составляющую скорости возмущения У„равной скорости плоского движения от источника, расположенного в ближайшей точке оси. Тогда условие непроницаемости поверхности даст: з 70) движение телА сквозь несжимАемУю жидкость 487 $70. Общий случай движения твердого тела сквозь несжимаемую иденльнуюжидкость. Определение потеннмвла скоростей. Главный вектор и главный момент сил дввлемия потока на тело При рассмотрении внешнего обтекания твердого тела до сих пор всегда предполагалось, что или тело неподвижно, а набегающий на него поток однороден и стационарен, нли же жидкость вдалеке от тела неподвижна, а тело движется сквозь нее поступательно и равномерно.
Именно в этом предположении был доказан парадокс Даламбера о равенстве нулю главного вектора сил давления жидкости на поверхность тела конечных размеров. Обратимся теперь к рассмотрению общего случзя неравномерно»о и непостпупательного движения тела сквозь несжимаемую идеальную жидкость, предполагая, что центр тяжести тела (или как-нибудь иначе выбранный полюс) движется с данным ускорением, а само тело заданным образом вращается вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс. Основываясь на доказанной в самом нзча.че гл. 1Г теореме Лагранжз, можем считать движение жидкости вокруг тела безвихревым, что, вместе с условием несжимаемости, приводит, кзк и в случае равномерного поступательного движения, к равенству нулю лапласиана потенциала скоростей возмущения жидкости твердым телом: Рассмотрим граничные условия. В силу непроницаемости поверхности движущегося в жидкости тела, составляющая скорости движения частиц, соприкасающихся с поверхностью о движущегося тела, по нормали к а должна в любой момент времени совпадать с нормальной составляющей скорости соответствующей точки поверхности, так как в противном случае жидкость нли проникала бы сквозь поверхность тела или отрывалась бы от нее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
