Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Вот почему инерционные коэффициенты Лез обычно называют коэффициентами присоединенных масс. Тридцать шесть коэффициентов „присоединенных масс" (~=1,..., 6) обладают свойством симметрии, т. е. не зависят от порядка индексов. Чтобы это доказать, составим применительно к рассматриваемому объему т следующее известное соотношение: 7е7Я7ь ат = ~ 7~ йгв(Кгдййь) йт = = ) й1т(7,дгай7ь)йт — ) атай7, ° нгайфьат, и вычтем из него аналогичное соотношение с измененным порядком индексов; тогда получим общую формулу: (7г7яйь — 7ь7айг) ~й = = ~ й1ч(7 Кгай 7ь) йт — ~ йгв(йаатайфе) йт. Замечав, что в силУ гаРмоничности фУнкций 7, и 7ь интегРал слева обращается в нуль, и применяя в правой части формулу Остроградского, приходим к равенству: Примем во внимание, как и раньше, что интеграл справа, при удалении поверхности сферы ао на бесконечность„ стремится к нулю (гл.
тп пгостяанствяннов вязвихяявов движвния ях имеет порядок †,, — — порядок †, ~; тогда будем иметь: ( 1 дтв 1 г~а дл га Фг — пл= ~ юа пл, дтв 1 дтг дл .~ а дл л Ю или, по определению коэффициентов „присоединенных масс", "га = ьаг Т= — ) 'к'Ясй= — ~ атаб9 ° йтаб эдт=- , г 2,! 2. з =ф ~ 41т(фатадэ) дт — ~ чЧЯлйт= т — — Ч вЂ” „па+ — ) Ч вЂ” „пчз, р Т др р(' дт и вновь замечая, что при удалении поверхности вв на бесконечность второй интеграл обратится в нуль, получим аналог известной уже нам по в 36 гл. Ч формулы (21) на случай внешнего обтекания тела: у. 1' д л 2 ~ дл а (92) Подставим сюда разложение потенциала скоростей Ч по потенциалам составных движений Чб тогда, перемножая суммы, найдем искомое выражение кинетической энергии возмущенного движения жидкости через скорости тела и „присоединенные массы"; в в 1 Т--„'~„;~', ~„Ы,.
(93) я аа 1 Сравнивая это выражение с (90), получим связь между „присоединенной' кинетической энергией возмупгенного движения Т и,присоединенным" количеством движения: дТ в = —. дЧг (94) что и доказывает свойство силскетрии этих величин. Таким образом, из тридцати шести коэффициентов, имеющих место в общем случае движения твердого тела, различных окааывается лишь двадцать один. Присоединенные массы 1,а входят коэффициентами в выражение квадратичной зависимости кинетической энергии Т возмущенного движения жидкости от скоростей движения твердого тела.
Подсчитывая кинетическую энергию жидкости как объемный интеграл: ~ тц КОЕФФициенты „пгисоединенных масс~ 445 Если написать в развернутом виде выражение кинетической энергии самого движущегося твердого тела: 1 ) о . ! о о » Т = ~ ~ 1( с1т = 2 (т (ио+ во+аоо)+2т х,(оов,— п(ове)+ в» + 2тоу, (и(ов — иов,) + 2т*е, (и„в„— т(ов ) + аат !1т х в = — д. ч.
( и — ~ = — и (г) ая д. ч. ~ — ~ = — и (г) ае х Соо о = — ио(т) аа о = — ио(1) аа —, го г" и коэффициент при ио(1) будет играть роль „единичного потенциала" Ф„ равного ао вь = — — созе. г» Единственный коэффициент „присоединенной массы" будет равен по (91): о» 3» 1 = — р ) ~р,—.г Ые=ра ) соз ода=яра =т т1. » я я я о дг» 1 о о где т — масса жидкости в объеме нину его длины. 11авление жидкости на цилиндр цилиндра, приходящемся на еди будет определяться по формуле: иг ыат " ' аг' то легко убедиться, что при „присоединении" кинетической энергии возмущенной телом жидкости Т к энергии самого движущегося тела То коэффициенты 1оь так же, как и в случае векторов количеств и моментов количеств движения, „присоединятся' к соответствующим инерционным коэффициентам в выражении Т»: массе, статическим моментам, моментам инерции и центробежным моментам.
Зто еще раз поясняет смысл коэффициентов 1оь и происхождение их названия „присоединенных масс". Конечно, термин „масса" здесь следует понимать в обобщенном смысле как величину, характеризующую инерционность вообще. Поясним изложенное несколькими примерами. Пусть круглый цилиндр радиуса а, окруженный идеальной несжимаемой жидкостью плотности о, совершает поступательное движение вдоль оси Ох, перпендикулярной оси цилиндра, со скоростью ио, являющейся заданной функцией времени д В этом случае (вспомнить формулу (44) й 39 гл. Ч и выделить из нее потенциал в возмущенного дзижения1: 446 пгостелнстевннов ввзвихвввов движение 1гл. чп В случае равномерного движения цилиндра эта сила пропадает„ и имеет место парадокс Даламбера: прн ускоренном движении цилиядра реакции жидкости существует, причем она те.и больше, чем больше ускорение цилиндра.
Составляя дифференциальное уравнение движения цилиндра (т*— масса единицы длины цилиндра, à — внешняя сила, помимо реакции жидкости): Ф Ниь видим, что его можно еще переписать так: (т*+т)ф.—. Р . Под действием приложенной силы г цилиндр будет двигаться в жидкости так же, как в пустоте, если только массу его увеличить на „присоединенную массу" жидкости в обаеме цилиндра. Столь же просто решается задача о прямолинейном движении шара.
В этом случае, сохраняя те же обозначения, что и для цилиндра, имеем по (43) $64: аг соз б иь соз б о= — —.и ГТ1, е-= — — °вЂ” 2гг ь'" '' 2 гг аа СОВ От С аг 2СОЗ бт я . 2 а 1 = — р с1е 1 — — ., ( ~ — ° —.~ааз1п О до = — прав = — т о о где т — масса жидкости в объеме шара. Дифференциальное уравнение движения шара будет: ть — =гс +Р' = — — т — „+Р аиь аиь аг з и 2 лс х (т +2т)~ Сравнивая это уравнение с уравнением прямолинейного движения шара под действием той же силы Р в пустоте т* — =Р диь ЛФ приходим к заключению, что движение шара в жидкости можно рассматривать как происходящее в пустоте, если только к массе шара „присоединить" дополнительную массу, равную половине массы жидкости в обаеме шара. Если масса жидкости в объеме движущегося тела мала по сравнению с массой самого движущегося тела (например, снаряд или самолет в вовдухе), то „присоединенной массой" можно пренебрегать.
В других $71) КОЭФФИЦИЕНТЫ аПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС 447 случаях (дирижабль в воздухе, корабль или торпеда в воде и др.), наоборот, роль „присоединенных масс" оказывается первостепенной. Имея в виду особенно большое прикладное значение понятия,прнсоеди. пенной массы* для тел вращения !днрнжабельные и торпедные формы), выведем общие формулы „присоединенных масс" для продольного относительно оси симметрии н поперечного по отношению к ней движения тела вращения.
В случае продольного движении вдоль оси О» имеем: ал1 Лка = Л, = — р ср1 — па дл а или, в силу граничного условия (80) на поверхности тела и очевидного равенства яа = 2яга яз: Лзз = — р ~ Фаиза!а = — 2яР ~ Э!гала а!а = — — 2яР ~ Чгг*нга. а Используя (53), получим: лл Лш= — 2~РР ~ т~!(1 — Эт)Л. — — (Л вЂ” 1) Р|ли, лр Согласно (55), для потенциала возмущенного движения с единичной скоростью будем иметь: Р1 = с ~~р АнОя (Л) Р„(Р), а так что для .присоединенной массы" в продольном движении, или, короче, лродолькой ярисоединенной лгассм получим следующее общее выражение: +1 и'Л Лаз = — 2врсз (1 — Ра) Л вЂ” — (Лт — 1) ! ~,5 АяО„(Л) Р„(!1) ~ йр -1 в=а где подразумевается, что координата Л есть заданная функция Р, согласно уравнению обвода меридионального сечения тела.
В случае зллиясоида вращения с бдльшей осью а, направленной вдоль 1 оси Оз, имеющего уравнением обвода Л = Ла — — — (е — зксцентриситет), прее дыдущнй интеграл легко вычисляется. По формулам б бб получим: Л,+1 ! 1+е — Л !и — — ! -я- !и — — 1 "„„= яРс (Ла — 1) 4 з з 2 Ла — 1 4 за 1 — е зз 3 а Ас 1 Ла+1 3 1 1 1+е' = — «риЬз а — !и а —,— — !и— Ла — 1 2 Л вЂ” 1 о 1 — еа 2е 1 — е где, напоминаем, а и Ь вЂ” большая и малая полуоси, е — зксцентриситет. Полагая в последней формуле е = О и раскрывая иеопределениостзь получим 448 пяостглнстввннов ввзвнхвввов двмжвннв [гл.
чг! вновь ,присоединенную массу" шара: 4 (Лм)е о 3 ЯРаз 2 = — краз. 3 1+еэ+ ... — (1+ — еэ+ ... ! 1 3 в о Аналогичным путем определим я присоединенную массу тела вращения пря поверенного его поступательном движении вдоль осн Ох, нлн поле- речную нриеоединенную массу. Сохраняя обозначення 4 67. найдем: +1 Лп =1 = крез ~ 41 — ! э) СЛэ — 1)(Р— + Л) «У С нн— ) .у4 н и, аЛ и н в частном случае поперечного движения еллииеоида вращения: 1 1 — ез 1+е — — — !ив 4 ез 2ет 1 — е )!!= — неазэ — — — — -- — — - — — - ! 3 1 1 — ез 1-ье' 2 — — + —, !л — ' ез 2еа 1 — е Ограниченность объема настошцей книги не позволила остановиться на специальных вопросах теории плоского нестаиионарного двнження крыла, созданной гением С.
А. Чаплыгина и столь блестяще в дальнейшем развитой в работах М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева и Л. И. Седова,э а также на вопросах дннамнкн плоского и пространственного движения твердого тела в тяжелой ндеальной несжимаемой жидкости прн наличии свободной поверхности. Последняя область особенно обязана своим расцветом глубоким исследованиям Н. Е. Кочина, з М. В.
Келдыша и Л. И. Седова.о ! См., например, монографию А. М. Басина, Теория устойчивости иа курсе и поворотливости судна. Сер. „Современные проблемы механики", Гостехнздат, 1949. В этой монографии можно найти графики .присоединенных масс" лля элляпсондов и других тел, а также изложение теории неравномерного двнженив тела в несжимаемой цдеальной жидкости.
См. также К и б е л ь, Кочни и Розе, Теоретическая гндромеханика, ч. 1, гл. Ч!!! Н. Я. Фаб р як а нт, Курс аэродинамики, ч. 1, 1938 и Г. Л а мб, Гндродннамнка, гл. Ч!. э Обзор этих работ можно найти е монографии А. И. Не кр а сова, Теория крыла в нестацнонарном потоке. Изд. АН СССР, 1947. з Н. Е. К о чн н, Собр. соч., т. 11. Изд. АН СССР, 1949. 4 См..Труды конференции по теории волнового сопротивления', НАГИ, 1937 прн е = 0 последняя формула также переходит з „прясоеднненную массу шара. Кругне примеры зычяслення „прнсоеднненных масс" можно найти в спецяальных книгах по динамике корабля ялн дирижабля, а также э общих курсах и монографнях по гндродннамнке.! 9 72! элементы теогин кгылл конечного влзмахл $72. Элементы теории крыла конечного размаха. Вихревая система крыла.
Гипотеза плоских сечений. Геометричесние и действительные углы атаки. Подъемная сила и „индуктивное сопротивление' Прн рассмотрении плоского обтекания пилннлрического крыла бесконечного размаха уже указывалось, что на самом деле нельзя полностью пренебрегать наличием в жилкости трения. За счет внутреннего трения, особенно сильно развивающегося в тонком пограничном слое, образуются мощные вихри, совокупность которых, по гениальной идее Жуковского, может быть заменена одним „присоединенным вихрем', поясняющим возникновение подъемной силы крыла.
Этот „присоединенный вихрь", в полном согласии с классической теоремой Гельмгольца 19 12 гл. 1) об одинаковости интенсивности вихревой трубки вдоль всей ее длины, не может начинаться или заканчиваться в жидкости. Совпадая по направлению с осью крыла бесконечного размаха, „присоединенный вихрь" приходит из бесконечности и в бесконечность же уходит. Интенсивность „присоединенного вихря" одинакова вдоль размаха цилиндрического крыла, одинакова и циркуляция скорости по контуру, охватывающему любое сечение крыла, и подъемная сила единицы длины крыла, Опыт показывает, что на крыле конечного размаха, например, на крыле самолета, циркуляция не сохраняется влоль размаха, достигая максимального своего значения где-то посередине крыла и обращаясь в нуль на его концах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
