Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Крыло с минимальным индуктивным сопротивлением. Эллиптическое распределение циркуляции. Связь между коэффициентами индуктивного сопротивления и подъемной силы. Основное уравнение теории крыла и понятие о его интегрировании Индуктивное сопротивление представляет существенно положительную величину, нечзвисиио от того, каковы будут значения коэффициентов А„. Отсюда сразу вытекает важное следствие: индуктивное сопропивление крыла конечного размаха при отличной от нуля подъемной силе (Л, ф 0) будет минимальным, если все коэффициенты в разложении циркуляции, кроме первого, равны нулю.
Это, согласно равенству (104), соответствует распределени1о циркуляции: 1" =4Ъ',,!А1з!Еа (Ае — Ае — . — 0), (11!) нли, возвращаясь к переменной е по (104'): Переписывая последнее равенство в виде 1.1 га !4Р гА1)1+1 $74) квыло с минимальным индьктивным сопвотивлкниам 461 убедимся, что эпюрой распределения циркуляции по размаху крыла 1песугдей линии) будет эллипс (рис. 154) с полуосями: по оси с равной полуразмаху крыла 1, по оси à — максимальной по размаху циркуляции Г, причем коэффициент А, можно выразить через эту максимальную циркуляцию Га: Г А,= —. ь 4У, Е' 4У ЕА =Го 1112) Полученное распределение циркуляции называется эллиптическим.
По только что доказанному при эллиптическом распределении циркуляции индукепивное сопротивление минимально; в связи с этим Рнс. 154. крыло с эллиптическим распределением циркуляции играет центральную роль во всей теории крыла конечного размаха. Всакое другое крыло стараются конструировать так, чтобы распределение циркуляции на нем, по возможности, приближалось к эллиптическолеу. Рассмотрим ближе особые свойства крыла с эллиптической циркуляцией. Прежде всего из формул (106) н 1107) сразу следует важное заключение: при эллиптическом распределении циркуляции индуктивная скорость и индуктивный угол (скос) одинаковы вдоль всего разлеаха. Действительно, подставляя в формулы (106) и (107) значения коэффициентов А„: 1' А,=- —, Аз-— -Аа —— ...
—— О, 4У 1' получим; В= — —, аг — —— ГО 41' 4~'„1 (113) Из этих формул, между прочим, видно, что с возрастанием размаха при заданной максимальной циркуляции индуктивная скорость и угол скоса стремятся к нулю, как это и должно быть при переходе к крылу бесконечного размаха. пяостРАнствГнноа ввзиихяввов дяижвннв (гл. чп или, вспоминая еще, что для малых углов атаки, отсчитываемых от направления нулевой подъемной силы, с, = (.у") ° ае аоое к где аь †действительн угол атаки, отличающийся от геометрического а на постоянный скос а„ найдем искомую связь в виде: Г= — дУ 1 (114) Отсюда сразу следует, что при постоянной вдоль размаха аэродинамической характеристике ао и отсутствии геометрической закрученности (а=-сопз1) закон изменения вдоль размаха хорды д совпадает с законом изменения циркуляции Г, т.
е. также будет эллиптическим. Форма крыла в плане представится уравнением эллипса: Ьв г' 14ГО(иь" ь.1 (115) Иа первый взгляд можно подумать, что с изменением угла атаки а, или скорости У набегающего потока максимальная хорда такого эллиптического в плане крыла должна изменяться. На самом деле, как это сразу следует, например, из равенства (81) й 42 гл.
Ч, при малых а циркуляция Г, определенная на основании постулата Чаплыгина, будет пропорциональна произведению У а,: 1о=соУ а,, Если у крыла с эллиптическим распределением циркуляции .геометрические" углы атаки а по размаху не меняются, то будут сохраняться неизменными и „действительные" углы атаки а„. Крыло с постоянным по размаху геометрическим углом атаки называют геометрически незакрученным или плоским; крыло с постоянным по размаху действительным углом атаки называют аэродинамически незакрученным. Геометрически незакрученное крыло с эллиптическим распределением циркуляции будет и аэродинальически незакрученным. Докажем теперь, что геометрически незакручснное крыло с эллиптическим распределением циркуляции и одинаковыми по все,ку размаху аэродинамическими характеристиками сечений имеет эллиптическую форму в плане.
Для доказательства свяжем прежде всего коэффициент подъемной силы отдельного сечения с„с соответствующим ему значением циркуляции Г (г). По теореме Жуковского будем ичеть для единицы длины крыла (д — хорда): , ув У"Г=с и Ь, $74) квыло с минимальным индтктивным сопвотивлвнивм 463 где са — некоторая константа, характеризующая форму крыловых профилей в сечениях исследуемого крыла, так что форма крыла з плане определится чисто геометрическим равенством: Ьз ая — + — =1 ('4со)а Га рг„а йе = к — (21)аА,, 2 Йя — — и —, (21)Я Аы р1' я нли, вводя коэффициенты индуктивного сопротивления и подъемной силы: Рк сэ —— 2й н вспоминая определение удлинения А крыла (109'): с, = ЫАг, сэ — — к1Ап Отсюда следует важная формула связи между коэффициентами индуктивного сопротивления и подъемной силы крыла: 1 с,= — с„, (116) показывающая, что индуктивное сопротивление эллиптического крыла быстро падает с убыванием коэффициента подъемной силы.
Аналогичную формулу можно вывести и для крыла любой другой формы в плане. Введем обозначение ~~~ лА„ я=1 АЯ 1 ( ) где 8 будет тем меньше, чем ближе рассматриваемое крыло к эллип- тическому. Итак, при принятых условиях геометрической незакрученности и одинаковости аэродинамических характеристик вдоль размаха крыло с эллиптическим распределением циркуляции будет иметь и эллиптическую форму в плане, подобную кривой распределения циркуляции. Вот почему такое крыло называется эллиптическим. Найдем еще связь между коэффициентами подъемной силн и индуктивного сопротивления эллиптического крыла. Имеем по (110) и (108): 464 пяостгзнствяннов ввзвихтевоя движяния (гл. чп Тогда, повторив те же выкладки, получим для крыла любой формы в плане: с; = — „с„.
1+В з (118) Ь00 700 000 З00 000 000 'г' км / час (119) з См. Б. Т. Гор о щ ен ко, Аэродинамика скоростного самолета. ОбоРои гиз, 1948, стр. 25. При полете современного скоростного самолета на режиме максимальной скорости потребные для поддержания самолета в воздухе ск не велики (ся — — '0,15 — 0,20), Прн этом коэффициенты индуктияного сопротивления с; становятся малыми по сравнению с коэффициентами профильного сопротивчения с „, обусловленными сопротивлением трения и сопротивлением давления, возникающими из-за неидеальностн воздуха (об этом будет сказано подробнее в заключительной главе). Наоборот, прн полете 000 со сравнительно малы()нг ми скоростями основное значение приобретает индуктивное со! протнвленне. Приводим на рис. 155 для иллюстрации типичную кри- 0 вую полного лобового сопротивления(Кистребителя с выделением 0 100 роли индуктивного сопротивления (заштрихованная полоска) при Ркс.
155. различных скоростях полета. ' При полете со сравнительно большими значениями с„(напрнмер, транспортные самолеты с большой дальностью) выгодно увеличивать удлинение, границы выбора которого ставятся прочностью крыла н другимк конструктивными соображениями. Все эти вопросы, так же как и вопросы применения формулы (118) к конкретным крыльям, рассматриваются в специальных курсах теории крыла и аэродинамики самолета.
Обратимся теперь к рассмотрению обратной задачи теории крыла, а именно к задаче определения циуяоляции, образующейся на крыле заданной формы в плане с заданными аэродинамическими характеристиками сечений. Сохраним обозначения Ь(г), и (г) к а„(г) для заданных наперед переменных вдоль размаха величин: хорды, геометрического угла атаки н производной коэффициента под емной силы по углу атаки. Тогда дзя циркуляции Г(г) получим по формулам (114) к (96): 1 1 Г(г) = — аз(г) Ь(г) 1/ из = — аз(г) Ь(г)У (а (г) — аз(г)). 74) крыло с миничлльшяи иидкктивным сопщ>тивлшЕигт! 465 Гслн в атом равенстве заменим индуктивный угол ке(г), согласно его выра>!гению (101), то для определения неизвестной циркуляции Г (з) найдем следующее основное интегро-дифферснцнальное уравнение: -ь! ! Г 1 Е' е(Г Г (з) = ч-ас (г) й (г) !',„~ т (з) — — / г с 4п)г ~ сЕг з — ".
В атом уравнении, гюдчеркнем еще раз, под геометрическим углом атаки и (я), так же кзк и под „действительным" углом в предыдущем равен- стве, подразумевается ггол, отсчитанный от направления нулевой подъемной силы, Б настоящее время существует много приближенных методов иитегрп- ровашш уравнения (120).
Г!ростейшин из них, йригодный лшпь для немехани- зпрованиых, пало отличающихся от эллиптических, крыльев, принадлежш !':юузрту я основан иа непосредственном использование тригонометрпческого рлзложсшш пнркуляцпи (101). Подставляя зто рззлолсенис в уравнение (120) илп, использовав вырюке нис индукпюпого тгла (107), — в уравнение (1!9), будем евесты 4!' Е ч А, чшпа — — а„!Мд(В) Г,~ а(В) — — ч л˄— (, ъз . 1 1 кз з|п тф1 я . о я "З!ПЕ! и откуеш после простых приведений полу и~ч уравнение: ~~ (пи (ее) — з(п г!! Ая ып пе = !ь (б) а (б) тйп гд я=1 (121) ыщ величина ь(9) представляет сокращенное обозначение известной функции угла Е: ,,(е) =- 1 „(я) Ъ(е) ЯЕ (121') Ограничиваясь случает! симмстри шого распределения цирку'ляцин по разчаху крыла, сохраним в оазложенпи (104) лишь члены с неизвестными козф- ~(иьц)еснтами АЕ, Ам Аь п Лъ Разобьел1 полуразма:г крыла ! четырюш сечениями в точках: — = 0,924, 0,707, 0,383, 0 Е сеютзстствениыми значениями угла 0 в грздусаж г! = 225' 07 57 Ш Ззч !6Н.
П Г,:! чая~с яа. и напишем уравнение (!21) для каждого сечения. Тогда будем иметь для определения четырех неизвестных козффициентов А,, Аз, Аа и Ат следую и!)чо линейную алгебраическую систему четырех уравнений: 0 383 (р т + О 383) Ат 1- 0 924 (Зрт + О 383) Аз + О 924 (5р т + О 383) Аь '- + 0,383 (7!ьт + 0,383) А, =- 0,383ртяо ц. -'-0707) Ат+(Зрт+ 070?) А, — (5и + 0707)Аъ (7» ~ 0707) Ат.= рлиз, 0924(из+0924) Ае — 0 383 (ЗРз+0924)Аз 0383(59з+ 0924)Аъ+ + 0,924 (7рз+ 0,924) А, = 0,9249 Аз, (р,+ 1) А - — (Зри+ 1) А,, + (59е.! !) Аз — (77~. — 1) Ат = р ч (~л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
