Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Легко себе представить, что в некоторой аналогии с обтеканием решетки ирофилей скорость на бесконечности перед веагн еееедгеееюе крылом конечного размаха не равна г Р скорости на бесконечности за крылом в области вихревой пелены. В этом— 1 основное отличие теории крыла конечного размаха от теории пространственного обтекания тел вообще. Прежде чем перейти к изложению методов расчета крыла конечного раз! маха, заметим, что не следует в даль- ! 1 1 ь нейшем забывать о важной физической стороне явления обтекания крыла конечного размаха, совершенно не учи! тываемой гипотезой плоских сечений,— Р .
152. ис. 152. о наличии вблизи поверхности крыла поперечных токов. Эти поперечные токи можно легко наблюдать на поверхности модели крыла, установленной в аэродинамической трубе, если покрыть верхнюю и нижнюю поверхности крыла тонкими шелковинками. Отклонение шелковинок (рис, 152) от среднего продольного направления потока оказывается максимальным вблизи концов У крыла, причем, как показывают фотографии такого рода „спектров обтекания', на верхней поверхности ,~ — — 00 крыла шелковинки скашиваются к се- х + + э + У редине крыла, а на нижней — к концам крыла.
Такое расположение шелковинок говорит о наличии тенденции к перетеканию воздуха Рис. 153. с нижней поверхности на верхнюю, что и естественно, так как на верхней поверхности создается разрежение, а на нижней давление (рис. 153), Поперечные токи тем больше, чем болыце перепад давлений между нижней и верхней поверхностями крыла, т. е. чем больше коэффициент подъемной силы крыла и чем интенсивнее вихревая пелена. При малых значениях коэффициента подаемной силы 1что соответствует малым углам атаки) пренебрежение поперечными токами допустимо, ири больших углах атаки, особенно при возникновении отрыва пограничного слоя с поверхности крыла, роль поперечных токов увеличивается. 6 г8) ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ „НЕСУЩЕИ ЛИНИИ 455 При дальнейшем изложении методов расчета крыла конечного размаха будем предполагать, что коэффициент подъемной силы невелик, вихревая пелена имеет малую интенсивность, а следовательно, малы все индуктивные скорости, малы и поперечные токи.
й 73. Основные формулы теории „несущей линии", „Индуктивная скорость" и .индуктивный угол". Прямая задача определения подъемной силы и индуктивного сопротивления по заданному распределению циркуляции Перейдем к определению величины „индуктивной скорости" Ч! в плоском сечении потока, отстоящем на расстоянии е от основной координатной плоскости хОу (рис. 149). Найдем сначала элементарную скорость, индуцированную в точке О' .свободным вихрем"— бесконечным вихревым лучом, выходящим из точки М. Для этого следует вспомнить формулу (30) 5 62 скорости, индуцирозанной вихревым отрезком, и положить в ней: О=90', ~ О, Г= е!Г= — „Ф', Ь=)!,— е~, ЕГ Принимая во внимание направление элементарной нндуцированной скорости бЧ! по оси ОУ вниз, будем иметь (Оо, < 0 при †„ ( О, 2 С ь): 1 е1' 1 я'1' еь 4е е — "„4е Р8) +г ! г л.
о! (е) = — — л! — —,. 4я,/ — ! !99) Интеграл, стоящий справа, является, очевидно, несобслгвеллым, так как подинтегральная функция обращается в бесконечность при поскольку эта бесконечность имеет порядок первой степени, возникает сомнение в существовании интеграла (99). Чтобы рассеять это сомнение, уточним вопрос о применимости формулы (98) и об интегрировании в формуле (99). Как известно, формулу !98) для скорости, индуцируемой вихрем, нельзя применять в той особой точке безвихревого потока, где расаоложен са,ы вихрь; в этой точке с координатой З = й скорость Полную „индуктивную скорость" о! в точке О' от всей системы „свободных вихрей" получим, если просуммируем элементарные индуктивные скорости ло! по переменной ч по всему отрезку несущей линии от точки В(" = — — 1) до точки А !" =!).
Будем иметь следующее выражение индуктивной скорости: пэостэанствзнноз везвихэзвоя движение ( ° . 456 обращается в бесконечность. Формула (98) определяет скорости безвихревого потока лишь вокруг данного „изолированного вихря", т. е. при я=ЕЕ Сообразно с этим и интеграл (99) следует понимать в специальном смысле и вычислять особым образом, исключая при интегрировании точку «= ». Разобьем для этого интеграл (99) на два интеграла, взятые соответственно по интервалам (е ) О): — 1 = ч ( (л — е и я+а( ч( 1, не заключающим внутри себя точку г = з, которая остается в интервале (з — е ( ч ( з+ е), расположенном между принятыми интервалами интегрирования. Значение интеграла (99), определенное как предел: э — е 3 э+а (100) следуя Коши, называют главной частью интеграла (99).' Предел (100) существует и представляет определенную функлг цию ть(з), если, например, функция „— „удовлетворяет в промежутке — 1< ( < 1 так называемому условию Липшипа: где й и а — некоторые постоянные и, кроме того, 0(а - 1.
Л1' Если, например,— „= сопя!, то +г з — е 31 1 ! Л1 гл. часть ) — =!пп ~ — 1=,,!,) — г «+а = !нп(( — 1п(з — ь))' ,',' — (!п(ч — з))', ',~,~=!п — ' а=э +! э, ! (йр ж !каг=аг = — — =— У 4зУ~ „( л(л — ч (101) 1 См., например, В. И. С ми рно в, Курс высшей математики, т.
1П, Гостехнздат (1933), стр. 415 н т. !Ч (1941), стр. 240. В дальнейшем, встречаясь с „несобственными" интегралами типа (99), будем помнить, что такого рода интегралы должны вычисляться в смысле их „главного значения" по формуле (100). Если непрерывная, один раэ дифференцируемая функция Г (1) задана вдоль всего размаха крыла, то, вычисляя главное значение интеграла (99), определим для всех плоских сечений индуктивную скорость пм а затем и „углы скоса" а,.
Предполагая „углы скоса" малыми, будем иметь: 0 731 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ „НЕСУЩЕЙ ЛИНИИ 457 получим следующие выражения элементарных сил: ГЕ»ги = РГ (2) Ю» (2)»Егг »ЕЕ»у = РГ (2) Ко гуг Интегрируя эти дифференциальные выражения вдоль всего отрезка несущей линии ( — Е==Е~Е), получим формулы индуктивного сопротивления и подъемной силы крыла: Еге = — р ~ 1 (2) О» (2)»Егг +» Егу = Р1гго ~ Г (2)»Е2.
(109) Подставляя в первую из этих формул значение О»(2), согласно равенству (99), получим формулу: +» +» Р 1 й» йь (103) — » — » явно выражающую индуктивное сопротивление через распределение циркуляции 1'(0). Для фактического вычисления интегралов (99), (101), (102) и (103) зададимся распределением циркуляции в виде тригонометрического ряда: го Г (0) = 4 1г Е ~, А„Е1п п0г о» где угол 0 связан с переменной по размаху координатой г равенством: 2= — Есое 0, (О =0,=йе — Е=о.г~Е). ) (104') (104) Составим теперь формулы, позволяющие по заданному уравнению распределения циркуляции Г(ь) найти подъемную силу и индуктивное сопротивление.
Согласно (97), имеем для элемента длины крыла конечного размаха: »ЕЕТ'.= Рог,оГ»Ег Е1п а,.='Р1г Г(г) а»»ЕЕ, »ЕЕгу = Р»ггоГ»Е2 соз а» = Р ь~огГ (2)»12, где, в отличие от предыдущего параграфа, будем под Ес и 172 пони- мать проекции индуктивного сопротивления и подъемной силй всего крыла. Заменяя величину 1г на 1Е, так как по (101) с точностью до вторых степеней а». 1„=УИ'„+ ';= 1Е„)Е'~+ =1, 458 пгостгвнстввнное Бвзвихяввов движение [гл. чп Если распределение циркуляции симметрично относительно начала координат (л = 0„6 = — ), то должно быть Г(6) =Г(я — 6), а следовательно: Ир в!Г и'ь 1 — — — = 4Ь' 1 пА совп6' °вЂ” П~ — ,та ! Па — - .
° ' ' гвгп В~— ч=! =4У ~> пА„.„6, . (105) Подставляя это выражение в формулу (99), получим выражение индуктивной скорости: \ в чсм У ~~ ! сов ~У щ'. в в'п! п,) сов 6' — сов 6 ч=в о Интеграл, стоящий под знаком суммы, вычисляется в смысле своего „главного значения" и равен сов па', ямпп6 , 6/ сов 6 — сов 6 в!и 6 в так что окончательно получим следующее выражение индуктивной скорости: ив(6) = — К 1~~пА„— '" ", (108) а по (101) — и угла скоса: О пв(6) = ~ пА 'г~ в!и п6 "вщ6' и ! (1ОУ) Аз= Ав — — ... — — Ав„— ... О. Заметим еще, что, согласно распределению (104), значения циркуляции на концах „несущей линии' (я = — 1, 6 = 0) и (г = 1, 6 = к) равны нулю. пр в Вычислим по (104) производную„— „, полагая параллельно с (104) ь= — усовб'! будем иметь: $78) основныв иогмглы твогии „нвсящвй линии" 459 Определим подъемную силу.
Имеем по второй из формул (102) +г % Я,: р1г ~ Г(»)сЬ» 4р|г 1з ~ ~~~~АяяпиВз!п840= а ч=т = 4р Ъ' 1 ~~~~ А„~ яп и 8 з! п 0 й0. и=1 а Но по известному свойству ортогональности синусов кратных дуг: % я — при и= 1, яп нВ яп 8 д0 = о 0 при а)1, следовательно, в сумме, входящей в только что найденное выражение подъемной силы, сохранится лишь один член, что даст такое окончательное выражение для подъемной силы: |св — — я — ° (21)Я А,, гз (108) Замечательно, что величина подземной силы зависит только от первого коэффициента А, в разложении циркуляции (104); напомним, что аналогичным свойством обладало и выражение подъемной силы крыла бесконечного размаха, которое зависело только от первых двух членов разложения комплексной скорости в ряд по отрицательным степеням комплексной переменной ($44 гл.
ч). Имея выражение подъемной силы (108), легко найти коэффициент подъемной силы крыла конечного размаха с„, определяемый отношением: Рв и 2В "' где 8 — площадь крыла в плане. Подставляя сюда выражение (108), получим; св — — яЛАы (109) где величина Л, представляющая отношение площади квадрата, построенного на размахе крыла, к плошади крыла в плане Л = (211 (109') называется удлинением крыла. В случае прямоугольного крыла удлинение имеет простой геометрический смысл отношения размаха к хорде: л= —. 21 ) 460 пространственное ВВЕВНЕРВВОВ НВнжение (ГЛ.
УП Индуктивное сопротивление Д„ найдем, подставляя величину циркуляции (104) и индуктивной скорости (106) в первое из равенств (102). Будем иметь: ОЭ гсе=р 4 К ! ~ ~~А„Е!Еп8 «~тА ''пт е!пбд6= а с-1 ОЭ с =р)г;„(2!) у тАсАсс ~ е!Впав!ЕтЬд!!. с,ю 1 о Замечая, что по свойству ортогональности функций синуса с — если п=т, яп пе а!п те дц = О, если и:ф:т, получим: руж 7Р =-.— (2!)- У пЛ . (110) с=1 й 74.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
