Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 85
Текст из файла (страница 85)
е. геизор с коипонентаии:' ( () нри ! =~/, ((, 7'=1, 2, )), ~1 при сохраняющий свойство сферической симметрии в любой ортогональной системе координат и соответствующий принятой изотропии среды. По условию линейности связи скаляр а не может зависеть от компонент тензоров Р и 5 и поэтому является физической константой среды, це зависящей от формы ее движения; имея в виду, что формула (7) является обобп(синем закономерности (1), примем для коэффициента а обозначение; а.== 2р. Скаляр д может быть связан линейным образом с компонентами тензоров Р и 5 только через скалярные линейные комбинации этих компонент.
Как уже упоминалось в гл, 1, всякая физическая скалярная величина должна быть инвариантна по отнопгению к любому повороту осей координат. Таким образом, в выражение скзлярз д могут входить лишь такие линейные комбинации компонент тензоров напряжений и скоростей деформации, которые инвариантны по огношению к повороту осей координат. Единсгвенной такого рода линейной комбинацией для тензора 2-го ранга является его линейный инвариант, равный сумме компонент, расположенных по главной диагонали, в чем легко убедиться, составляя указапну!о сумму з двух произвольно повернутых друг по отношени!о к другу системах координат и используя связь х!ежду компонентами тензора в этих сис!емзх координат. Линейным иннариантом тензора напряжений будет сумма трех нормальных напряжений, приложенных к трем взаимно псрпеидикулярньщ плон!адкам в данной ~о псе потока, г.
е, величина Ры г Ряя Рвв. Линейным ипиариацгом тензора скоростей деформации буде~ служить сумма д(г!, д)гв, д1'в л. + т овв= ы ' ЯЯ ' дхт ' дх для равная, очевидно, дивергенции скорости б!чЧ. т Прп выводе основных 1равнений движения неидеального газа д.щ упрощения вида формул прелстазяястся удобным принять слсдующес обозначение координат: х=.хп г —. лс, я-=.хв и аналогичным образом нумеровать компоненты векторов и тсизоров. Тяго проекции скопостп дзльщс будут обозиачв1ься рг(( -- 1, 2, 3) зисс|о обычных у пас (и, и, и); компоненты тснзорз яяпрялссииб Р!;(!, 7-- 1, 2, Э) вместо ряйсс приз!еиявпп!хсп )~пп,...,рях,... 8 78! ояовщвпие закона ньютона !!ринимая, как наиболее общую, связь между величиной !> и эгими инзариангами в форме Ь=--Ь(Р»+! +раз)+Ь" б! Ч+Ь™, где Ь, Ь", Ь" --некоторые константы, получим Р=2ИЯ+(Ь'(р„+р +раз)+Ь" б!чЧ+Ь"'!$.
(7') Взяв сумму трех диагональных компонент левой и правой частей равенства (7'), будем иметь: р„—,р +рва — — 2! 8>чЧ+ЗЬ (р» т рея+рва)+ЗйкбгчЧ+ЗЬ, или, совершив приведение подобных членов: (1 — ЗЬ)(р, + р + рзз) = (2!ь+ ЗЬ") б!ч Ч+ ЗЬ"', (8) Предположим теперь, что рассматриваемая среда находится в покое, тогда 8!ч Ч = О, а сумма нормальных напряжений, как было доказано в гидростатике (гл. П, >ь 17), станет равной Р Рая+ Рзз = Зре. где Рс — гидростатическое давление, и равенство (8) приведется к виду: (! — зь') р, = зь". Из этого равенства в силу произвольности величины гидростати>еского давления сразу вытекает: ь> = —,, ь"'=!!.
3 ' !!осте эгого из равенства (8), верного при лк>бом 8!ч Ч:7'--!1, след> ец >то 2 й 3'' Окончательно общая форма линейной связи (7) между тензорами >юпряжений и скоростей деформаций будет иметь вид: 81 2 Р = 2Р.5+ ~ (Рп + Рва+ Раа) "- З !с и!ч Ч1 Ф. ' '(З (9) Сделаем наиболее простое дополнительное допущение, что среднее >рифметическое >прех нормильных напряокениа представляет дав.>ение в даянии то>ке. Смысл этого допущения заключается в воз- 1 можпости РассмотРениЯ величины — (Р„+Рея+Раз) как фУнк>1ии лло>нности и темиернтуры, определенной, з слу >ае совер>пенного ~ ша, по формуле Клапейрона. Такое предположение является новым до~ущениеч и»и доно>п>и>е>иной гипогезой к обобщенному закону 474 [гл.
чш динамики вязкой жидкости н гхзз Нщотопа. 11рнняв эгу гипотезу, сохраним для давления в вязком газе прежнее обозначение, положив ' ! 3 (! ~~+~ +Раз)— (!0) формула связи (9) примет после этого вид: Р = 2)г5 — (р+ — р. б!УЧ) б. 2 3'' В качестве другого, более общего допущения можно принять, что среднее арифметическое трех нормальных напряжений отличается от только что определенного давления в данной точке на величину, пропорциональную скорости объемного расширения гйч У. При атом вместо равенства (10) будем иметь 1 — (Рд+Рзз+Раз) =- — Р+, 'гйч У, 2 (10') где 1ь'--новый козффицнент вязкости, называемый вторым козффициеягяол вязкости, а соответствующее ему явление — второй вязкостью.з Сделанное допущение преобразует формулу связи (9) к виду; Р = 2)г5 — (р + — )ь гйтм — Н' бгт У) $.
2 3 (11') Вторая вязкость приобретает особо важное значение при изучении мед. лепно развивающихся процессов, время релаксации которых велико, например, при образовании в движущемся газе химических реакций, скорость которых мала. Как показывает теоретическое исследование, козффоцнспт второй вязкости равен нулю, если гзз одноатомен.з Во всем дальнейшем нзлогкснни удовольствуемся предположением, что вторая вязкость отсутствует (гг =" О). Связь мегкду компонентами тензора напрщкеиия н тензора скорое.гей деформации, согласно формуле (11), имеет вид: формулы упрощаются в частном случае движения несжимаемой жидкости, когда д Кг д !'„д Ъ'з б!ч Ч = — — + — г-+ — ' 0; дхг ' дхз дхз г Выбор отрицательного знака в правой части уже был пояснен в 5 17, гл.
Кк з На возможность такого допущения указывал еще Стоке и после него в своих лекциях по теории тепла — Кирхгофф. Современное изложение этого специального вопроса см. Л, Л з яд ау и Г. Л и ф ш иц, Механика сплошных сред. Гостехпздат, !944, стр 46--47. з См. цитированную книгу Л, Ландау и Г. У!ш[чпнцз, стр. 434. г д)гг д)г х р,! — + — ~) ! дх, дхг,) д!'; 2 Р+ 29 дхг 3 при г -Е1, (12) Гд!й дрз д1з' р ( — + — + — ! при г =г. (, дхг дхз дхз г 3 77) овщнв хелвнзния движения вязкой жидкости 47б з этом случае ииееи: ! дху дх;~ гдк, д!з. р! — + — '! прн /~'-!, (!3) д!' з ! — Р+2р д ' при !'=~', дхг !1ри квазитвердои движении, лишенноя деформаций: '!г = Ч -', Х !'~ = !'ог+ еяхз — ыахз, !'я= !' + "зх ! з !газ+ ы хв ~ях скорости сдвига !скошений углов), стоящие в первой строке системы (13), и скорости относительных удлинений, входящие слагаемыми во вто- рой строке, обращаются в нуль, н напрязкения сводятся к давле- нию — р, так же, как з идеальной жидкости.
В плоском пряиолинейнон движении, рассмотренном в начале настоящей главы, будем иметь: Ъ',=и, Ь'я — — Ъ'з — — О, и=и!з); дк Рш = Ри' = !" д т. е. формулу !1). $77. Общие уравнения движения вязкой жидкости. 11инамическне ураннения и уравнение баланса энергии.
Граничные условия движения жидкости с трением н теплопроводностью Вернемся к выведенным еще з гл. !! уравнениям динамики сплошной среды !29), которые именовались „уравнениями в напряжениях", и заменим в них напряжения цо формулам !12) настоящей глазы, 'Гогда получим основную динамическую систему уравнений движения вязкого газа: -!- — ~з ! — + — ц — — — (р. д!т Ч) да 1 ~дг дх)) 3 дх (14) д !' дш 2 д + 2 — ', ! —, — —" — (! д! У). дх!, дх,' 3 дх '! динамика вязкой жидкости и глзл 1гл, шп будем иметь: р — = рг + 2 Р1т (ВЯ) — 6 гад ~ р + — р дЬЧ ~ .
дЧ Г 2 (15) дг Система уравнений (14) значительно упрощается в случае изотермического движения несжимаемой жидкости. Вынося в первом уравнении системы й за знак производной, получим: дт ' х дх ' ' ~дхз ' дуз ' дхз,) ' 'дх~дх ' ду ' дх)' или, замечая, что в силу уравнения несжимаемости послелняя скобка в правой части обращается в нуль: о — =рà — —.+1гр и.
0и др дГ х дх Преобразовав аналогичным образом остальные два уравнения, будем иметь следующую систему уравнений изотермического движения нес>кимаемой жидкосги: Ыа др — =рр' — — +, раи, ~ дт д ; — =рР— — +рр и, ) ип др дг л ду г.— = рŠ— — ч-Гчр ш дм др 'да ' дх (14') или в векторном виде: р — =рà — цгадр+ир Ч, дч дГ 1'16) где под символом твЧ понимается вектор с проекцииии Чви, Чво, Чзш. Используя легко проверяемое непосредственным днфференцированнем векторное соотношение УзЧ = ьгад Йк Ч вЂ” го! го1Ч, Сгоящие в левой части системы проекции ускорения должны быть известным уже образом разложены на локальные и конвективные части.
Основная сложность системы (14), кроме нелинейности конвективнык членов, заключается еще в том, что коэффициент вязкости в является функцией температуры Т, а распределение температур, в свою очередь, как это уже иавестно из динамики идеального газа, зависит от поля давлений и скоростей. Система (14) может быть записана в компактной векторной форме, если в основное уравнение динамики сплошной среды (36) гл. 11 подставить выражение тенаора напряжений в форме (11). Тогда, вспоминая Я 17 гл. 11), что (я — скалярная функция) Р1т (е1е) = угад м, ьч 77( вещие твзвнвння движения вязкой ькидкостн 477 которое в случае несжимаемой жидкости (Йч У = О) переписывается в виде: УвУ = — го1 го1 Ч, будем иметь еще такую векторнуго форму того же уравнения (16): р — = рг — ргали р —,ь го1 го1 У.
вг (16 ) К выведенным динамическим уравнениям присоединяется уравнение сокранепия массы (или уравнение неразрывности) (21) гл. П вЂ” + р Йч Ч =- — „+ Йч (рУ) = О. п~ зависящее, очевидно, от того, принимается ли в расчет пявкость или нет. Уравнение оаланса энергии (45) той же главы (ч 16) преобразуем к случае наличия вязкости, подставляя в него вмесго Р выражение (9) пзсгоящей ггщвы. Предварительно находим: 2 2 РУ = 21ьтзУ вЂ”,'р + — (ьЙмУ)ФЧ=2иЯУ вЂ” ~ р+ —,, оЙч Ч Ч.
3 11роивведение оЧ можно раскрыть, составив 1-ую проекцию а 3 (ЯЧ) =. ~ Я Г =- — ~ ( —.+ — Г = :-ч г о'к'г ,Ьм О ! 2 ЛЫ(~~х- йх, 7 у з — 1 !'=1 и заключив по последнему выражению, что 1 1 /КЯ~ ЯУ = —,(У ° У)Ч+ 2 ьгаб ( 2 ); с другой стороны, по известной формуле векторного анализа будем иметь: (У ° Я)Ч= гад( 2 ) — Ч Х го1Ч, гак что I 1н') 1 БУ = ча д ( — 1 — — Ч Х го1 Ч. (,2/ 2 11роиаведем еще в уравнении (45) гл.
И замену: ЗсчТ=!с,Т вЂ” КТ==1 — —,, Р а по (48) гл. 11: ,' Л .71ь7 = у йч (! втаб Т) =- Йч ! — 'дтас1 !). с„" 478 (гсс. шц динамика валкой жидкости н глэл Тогда уравнение баланса энергии примет вид: сс Г. Р д (с+ 2)=рГ Ч+с!!ч~!сдгас$(ЧЯ) — ссЧХго!Ч— — РЧ вЂ” — !с Ч б!ч Ч~ + р — ! —, + йч ( — ягад с) . 3 ~ дг!р, (с, Но, согласно уравнению (16): Р дс ~ ) дс дс д +Ч ° Ягабр+Р йчЧ= д + дсч(Р ь сл, !л~ р — (с — '- -,— =- РЧ гас! !1-л — ы сгс(, 2, ', 2,' или, вспоминая неоднократно ранее употреблявшусося формулу векторного аналпяа йч(оа)=- -йча+ а «садо, получи» р — (с + — ) = с!сч~ оЧ (с+--,-)~ — (с -с- — ) йч (гЧ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
