Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Составим вместо (23) уравнение движения в полярных координатах г':, а. Для этого выразим лапласиан в полярных координатах и опустим, в силу осесимметричности движения, члены с производными по углу е. Тогда получим в качестве основного уравнения: Интегрируя, найдем общее решение вд тг = — — гвз -'- С 1п г" -'" Г' . -1 1" -а (33') Из условия ограниченности скорости на оси трубы при г': = О следует, что Г; =- О; вторая постоянная найдешься из условия ы =-.О при г" ==п, жо приведет и полученной ранее „параболе скоростей" (24").
Решение (33') представляет преимущество по сравнению с ранее приведенным. Так, например, пользуясь равенством (ЗЗ'), легко полу~ить распределение скоростей в кольцеобразной области между двумя соосными круглыми цилиндрами радиусов а, и л )а. Подчиняя решение (33') граничным условиям: тэ= О цри гь = и и гь = гь 79! льмиилнноь днижиниг цо текин получим эпюру скоростей а также формулы расхода и средней скорости: Задача о ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь цилиндрическую трубу произвольного сечения не представляет ирннцппнальиы., затруднений.
Дело сводится к решеннк«уравнения Пуассона (23) с иостоаипыи свободным чзеном. Зияя частное решение уравнен»1я (23) ш =-ш» и заменяя гв иа сумму а+ ма, сведем уравнение (23) к плоскому уравнсииа» Лапласа. л:и решения которого мо«кно применять ив«од комплексною» переменного и»и другие приемы. Приведем без доказательства заимствованные из теории кручсшш иризмзгичсских стер«»»ис(» прямоугольного сечения формузы скоростей и расхода в ламинарном движении нес«кимаемой вязкой жидкости сквозь призмзтичсск»зо трубу иряшиугольного сечения (- а~а ==а, — Ьг:-у =Ь, а.л6): „ве З»гл 1, 166в су 2Ь 1 Зву 2Ь вЂ” ув + —,, соз — ° — — —. гоз— 2 .
яз ~ 21»»:а 3» ' 2Ь Зва с!»вЂ” '«Ь г1»вЂ” 2Ь ар ° аел 1 16 1024Ь Г ва 1 Зкг — — — ! Гй — -' —.16 — + ...) ~, 41«1 ! 3 сза», 26 ов 26 г'.редиюю по сеченшо скорость мо«кно определить формулой Ьр Ьа (а) мгх 16,„1 'У 1 глс функция 'п' 16 1024 Ь «' яа 1 Зяа — = — — — — ! рз — + ти рл — .-»-...) ',Ь/ 3 сг а !» 26 3 26 имеет следу»ощие значения: д / в / и зд аЬ 1 2 со ' У (а(6) ~ 2,253 3,664 5,333 ~ 4,665 5,000 5,059 5,299 4,203 Г1рость»е формулы получаются для призматической трубы с сечение»» " виде равностороннего треугольника и др.
496 (гл. Тпп динАмикА аг!акой жидкОсти и ГАЗА 9 80. Обтекание шара при очень малых значениях числа Рейнольдса. Формула сопротивления шара по Стоксу н ее обобщения Чтобы показать значвтельну5о математическую сложность решения задач внешнего обтекания тел вязкой жидкостью, обратимся к расу смотрени5о простейшего примера в обтекания шара. 105 Поместим центр шара радиуса а в начало координат (рис. 158) а и рассмотрим обтекание шзра однородным потоком со скоростью ац — з 5 И , параллельной оси ОА н направленной в 115 положительную сторону осн.
Пренебрежезг влив- 1 8. ннеы объемных сил и оудем считать движение стационарным. Основное дифференциальное уравнение (169 6 77 можно при этих условиях переписат~ в Инде. р (К ° т) 55.=. — ИГ5551 р — д го1 «?. где 55, как и ранее, ооозначает вектор вихря: й = го1 т'. 'пс. 15 Интегрирование этого уравнения в его общем виде даже для с:5у5ая обтекания шара представгшет непреодолимые затруднения из-за наличия в нем нелинейных членов — конвективного ускорения в левой части. Значите55ьно суживая область применения решения, поступим так. Откинем нелинейные 5лены в левой части уравнения, решим совокупность линеарнзированного таким образом уравнения с линейным уранпением несжимаемости: 0 = агадир+ 1АГО! Аз, 511т ту= — О, (34) з затем, чгобы выяснить область применимости решения, оценим порядок откинутых нелинейных членов.
Такой не строгий прием позволяет значительно упростить решение рассматриваемой классической задачи Стокса об обтекании шара Исключим из первого уравнения рассматриваемой систе55ы (34) давление р, для чего возьмем от обеих жстей уравнения оперзпню го1; будем на5ечгл го1го1 Я= О. (35) 0 80) ОБТЕКАНИЕ ШАРА И ФОРМУЛА СТОКСА 497 Заметим, что, в силу осевой симметрии обтекания, вихревые линии представляют окружности в плоскостях, перпендикулярных оси Ох, с центрами на этой оси.
Вводя сферическую систему координат (г, е, О), заключим о наличии у вектора вихря лишь одной составляющей Я„ которую для краткости обозначим просто Я, включая в это обозначение знак -+-; составляющие О„н Ям очевидно, равны нулю, так как вихрь вектора направлен по касательной к вихревой линии. В силу той же симметрии имеем: д дЯ Вспоминая помещенные в конце $ 60 выражения компонент вихря вектора в сферической системе координат, будем иметь: то1 Я= —.— (Яз!п0), го1„()= — — =, то1 0)=О д .
1 д(га) га!па дз г дг н, повторяя ту же операцию: то1„(то1 й) = О, го!„(го! Я) = О, то1, (то1 11) = — — (г то1„2) — — — (го),Я) = 1 д 1д гдг " гд0 1 да(го1) 1 д Г 1 д = — — — — — — !Ь вЂ” — (й з(п 0)~. г дгз гада) а!п0 д0( Таким образом, уравнение (35), если обе его части спроектировать на оси сферической системы координат, сведется к одному уравнению: да(гй) д Г 1 д г + — )' —.- — (Я 5!пб) ~ О дга дз! А!па д0 У (36) решение которого (а(г, О) можно пока подчинить лишь одному граничному условию: Я -+ О при г-+ оо. (36') Разыскивая решение уравнения (36) в виде произведения двух функций )А'(г) и Й(0), каждая из которых зависит лишь от одной переменной, и подставляя значение Я = )с (г) (0 (0) в уравнение (36), получим: г да 1 И / 1 — — [г(х'(г)) = — — — ! —.— 0 (В(0) з1п 0)~.
)7(г) дгх О(0) да '1а!пад В силу назависимости координат г и 0, левая и правая части этого равенства должны быть пороань постоянными; отсюда следует 32 зюа !аа!. л. г. лавматамь динлмикл вязкой жидкости и глзл (гл. чш (а †произвольн постоянная): — — (гР(г)] = т, йз Р(г) дгт 1 Н 1 1 — — — — (()(0)з(п 0)~= — .
Н(0)дз~ Мпз дв Используя произвол в выборе постоянной, подберем ее так, чтобы второе из только что полученных уравнений имело по самому смыслу задачи периодическое решение. Заметим. что при и = 2 уравнение имеет очевидное решение: 6 (0) = з(п В, а первое уравнение системы превращается в дв 2 лгя (гР (г) ) г Р (г)1 Я= —. Аз(пз г' (37) Обращаясь теперь к задаче разыскания сферических составляющих скорости У„и У, (составляющая (г,= — О, в силу симметрии обтекания), имеем для их определения два уравнения: 1) уравнение (37), которое, пользуясь выражением вихря скорости ьа через составляющие скорости в сферических координатах (г„и Ум можно переписать в форме: 1 д(гУз) 1 д1/г А з1пВ г дг г д0 гт (38) и 2) уравнение несжимаемости в сферических координатах (при (г, =: О): — — — — — — = О.
1 д(гтУг) ! д(Узз(па) (39) г" дг гл1п 0 дВ Систему уравнений (38) и (39) надо решить при граничных условиях: при г=а, У„=О, У„= О, при г=со, У,= У созВ, Уз= — У з(пВ. 1 (4О) Принимая во внимание эти граничные условия, будем искать решения в форме: У =(У + ~ — в)соз0, Хл' У —— ( — У + ~~~~~ — „)япВ, (41) к-т легко видеть, что единственное решение этого уравнения, удовлесопзг творяющее условию обращения в нуль при г -+ со, будет —, Обозначая константу через А, получим искомое решение дла вихря Я в виде: 3 8О) озтвкАние ШАРА и ФОРмхлА стоксА где число и считаем неопределенным. Подставляя выражения (41) в уравнения (38) и (39) и приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, получим: Х (Ля+(1 — Д)ЛА)г' "= А, АФц лчч ((2 — й) Лв+ 2ЛАА г' = О.
а=1 В силу произвольности величины г будем иметь при /А = 1: Л,=А, Л,+2Л,=О, 1 1 А,= — — Л,= — — А 2 1 2 а при 4)1: Л„+(1 — д)Л;=О, ~ (2 — 1е) ЛА+2ЛА = О. ) Последняя однородная система имеет решения, отличные от нуля, голько при равенстве нулю определителя системы 2 — (1 — 3) (2 — 3) = О. Корни этого уравнения; А=О и в=3, причем первый отбрасыззется, так как и) 1. Отсюда следует равенство 1 А„= — Лз ', 2 все остальные Ль и ЛА тождественно равны нулю. Возвращаясь теперь к (41), составляем общие выражения скоростей: У„= (У + — + — ~) соз 6, ' =(-' —.+ — >""" А ЛБА.
2г 2гз) подчиняя которые граничным условиям (40), получим следующие два уравнения для определения коэффициентов А и Лз. А Лз — + — = — У а аз — — + —.=У. А Лз 2а 2аз Найдем: 3 1 А= 2оУ Лз=2аУ ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И 1'АЗА (ГЛ чпг после чего окончательно получим." (41') Остается найти распределение давления в потоке и трение на поверхности шара, а затем и полное сопротивление шара. Из первого уравнения (34) имеем нгабр = — рто103 илн в сферических координатах: др 1 д со5 0 — = — р — — (12 Ып 0) = 31Аа И вЂ”, дг гз!Ве д0 :О з 1др 1 д 3 з1ве — — = )А — — (г()) = — — йаИ г д0 г дг 2 Эта система уравнений в полных дифференциалах легко интегри- руется и дает искомое выражение р 3 созе р = — )Аа)г — „+р, или, составляя по предыдущему коэффициент давления (42) р — р ЗИ созе 0 соз0 °,, 142'1 1 я яр а (г!а)а К (г/а)ю 2 где под )т' подразумевается характерное для обтекания шара число Рейнольдса (д = 2а †диаме шара): р)г а )г д й, 'г Ъ Выделяя из полученных выражений составляющие скорости на бесконечности: )г соз0 и — Ь' сйп0, получим составляющие „скорости возмущения" шаром безграничной ~явкой жидкости и„'= — )г„Я вЂ” '„— ф( — ",)~, р =)г Я вЂ” "+ —,'®~.
Подчеркнем, что, в отличие от обтекания шара идеальной жидкостью, где порядок этих скоростей возмущения (вспомнить $64) был — , 1 в вязкой жидкости имеет место гораздо более сильное возмущение, 1 убывающее при удалении от шара лишь как —. г Распределение завихренности определится по (37) в виде 3 А1п0 12 = — — айаг 2 га' 5 ВО) ОВТВКАННЕ ШАРА И ФОРМУЛА СТОКСА 501 Отметим некоторые характерные отличия обтекания шара вязкой жидкостью от обтекания его идеальной жидкостью: 1) в идеальной жидкости коэффициент давления зависит только от относительного положения точки, в которой давление определяется, и не зависит от величины тела, скорости и плотности жидкости; в вязкой жидкости коэффициент давления является функцией числа Рейнольдса обтекания, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
