Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 90
Текст из файла (страница 90)
е. зависит от размера тела, от скорости, плотности и вязкости жидкости, 2) распределение давления по поверхности шара, согласно (42), не симметрично относительно миделевой плоскости, так что главный вектор сил давления при обтекании шара вязкой жидкостью отличен от нуля. Касательная составляющая напряжения трения на поверхности шара ры будет равна Га1г, 1 а1„1 „~ Г00;,, З р„~= в( — + — —" — — ) = — - и~ — '-1 = — ~ в — з1п0. Взяв на поверхности шара поясок (па рис. 168 показанный штриховкой) с площадью 2пасйп0 аЛ =-2паез!п0Н, умножим на эту площадь напряжение трения р...
и давление р; полученные таким обраюм элементарные силы спроектируем па ос. Ок и просуммируем по всей поверхности шара (ог 0 ==- 0 до 0.-= и). Тогда получим силу сопротивлении 0У в виде 1Г = ~ ( — р„„з1п0 — рсозб) ° 2каезп10Л =- ч йпйа!',, ~ з1пйг10=-бя)ьаЬ' . (43) о Это — известная формула 61токси.
Получив искомое решение, оценим изрядок откинутого нелинейного члена й(Ч ° 7)Ч по сравнению с сохраненными членами справа, в частности с членом рго1й, так как >тай р равен ему по величине. Имеем ( знак пропорциональности) а~(Ч 7)Ч~ 00;"'а "У, а Р!го!Я~ а ° йй ай[l ~ричем коэффициент пропорциональности представляет некоторую функпдю безразмерных величин г'а и 0. Из приведенного соотношения видно, что рочь нелинейного члена — конвективного ускорения — тем меньше, чем меньше число Рейпольдса обтекания. Полученное решение оказывается пригодным лишь для достаточно малых чисел 1с . Количественная сторона этого вопроса будет сейчас выяснена 502 [гл. эти динАмикА Вязкой жидкости и ГАВА (43') Более точная теория Озеена — Гольдштейна дает вместо (43') разложение в ряд по степеням малого параметра К 24 / 3 !9 А с = — (1+ — К вЂ” — К +...).
К (, !6 !280 (43") Сохраняя первый член ряда, получим решение Стокса; два члена дают формулу Озеена с = — 11+ — К !. 24 г 3 К„!, 16 (43'") Чтобы дать представление о порядке совпадения этих теоретических формул с опытными данными и, вместе с тем, чтобы выяснить диапазон значений числа К, для которого допустимо пользование формулами (43") и (43"'), приводим табл. 13. Таблица 13 К, Стокс Озеен опыт 0,0531 0,2437 0,7277 1,493 451,2 98,5 32,98 16,07 456,5 103,1 38,23 22,32 4?5,6 109,6 38,82 19,40 Из этой таблицы видно, что формулу Стокса можно применять только в случае очень малых значений чисел Рейнольдса (К ((1) (пыль в воздухе, мелкие шарики в масле и др.). В настоящее время хорошо изучены стационарное и нестационарное движения шара, эллипсоида и других тел как в неограниченной, так н в ограниченной жидкости, а также вращательные их движения при малых значениях числа Рейнольдса.' А См., например, 9?.
МВ11ег, Е!и!Ййгппй!и бег Тйеопе бег тайен Краз. з!фсейеп. Ее!рг!8, 1932. Заметим, что только что приведенное рассуждение применимо н для любых других движений. Можно вообще утверждать, что число К служит мерой сравнительной роли инерционных и вязкостных членов в уравнениях движения. Чем меньше число К, тем больше роль сил вязкости в рассматриваемом движении. Переходя в формуле (43) от силы сопротивления к коэффициенту сопротивления с, будем иметь: В' бяэа Р 24 — а Ь', каа — а 1?,,яа ь' 81) вихвявыв линии в илвлльной и вязкой жнлкосги 503 Ззачительный практический интерес представляет рассмотрение враьцательных движений цилиндра в цилинлре и сферы в сфере, когда малый зазор между ними заполнен вязкой жидкостью. Эти движения лежат в основе гидродинамической теории смазки подшипников, основоположником которой по праву считается знаменитый русский ученый и инженер Н.
П. Петров. рассмотрение этой теории, однако, представляет самостоятельный интерес и не может найти место в настоящем курсе.' В заключение настоящего параграфа подчеркнем важный для дальнейшего факт. Вязкая жидкость оказывает движущемуся в ней поступательно, равномерно и прямолинейно шару сопротивление, следовательно, для продвижения шара в вязкой жидкости необходимо непрерывно совершать работу, которая идет на создание возмущений в покоящейся жидкости. В отличие от идеальной жидкости кинетическая энергия этих возмущений угасает, рассеивается, превращаясь, благодаря наличию сил внутреннего трения, в тепло. Вот почему при движении шара в вязкой жидкости уже не справедлив парадокс Даламбера. Аналогичное явление имеет место н при равномерном н прямолинейном движении вязкой жидкости в цилиндрической трубе.
Если оы жидкость была идеальна, то для поддержании равномерного и прямолинейного движения не надо было бы затрачивать энергии. При наличии вязкости необходимо непрерывно сообщать жидкости энергию в виде, например, перепада давления; эта энергия будет рассеиваться (диссипироваться) в жидкости, превращаясь в тепло. Подсчет количества диссипированной энергии при заданном движении вязкой жидкости будет приведен в одном из следующих параграфов. 9 81.
Вихревые линии в идеальной н вязкой жидкости. Сохраняемость вихревых линий при отсутствии внутреннего трения. Диффузия вихря в вязкой жидкости Ограничиваясь для простоты случаем несжимаемой жидкости, сравним между собою поведение вихревых линий в потоке идеальной и вязкой жидкостей. Вообразим, что в некоторый момент времени в движущейся жидкости существует вихревая линна (1, 1) (рис.
159), т. е. векторная линия вектора О=го17, и рассмотрим жидкую линию (П, П), образованную в момент !+г!! теми же жидкими частицами, что и линия (1, !) в мов~ент !. Если жидкая линия (П, П), представляющая новое положение вихревой линии (1, !) к моменту времени 1+ И, является также вихревой линией, т. е. векторной линией вектора-вихря ьз', отличающегося от вектора Я на соответствующее индивидуальное изменение вектора- ' Некоторое нредставление об этой теории можно получать, ознакомнвшвсь с З 27 части второй курса К н бе ля, Кочня а в Розе, изд. 1948 г, 5О4 (гл. тп1 дииамикл вязкой жидкости и глзь вихря за тот же промежуток времени, то будем говорить, что вихревая линия сохраняется, в противном случае†что она разрушается.
Выясним, при каких условиях имеет место сохраняемость вихревых линий. Докажем прежде всего теорему Гельмгольца: в двизкуи(ейся иод действием консервативных обьемных сил идеальной несжимаемой (В (й) жидкости вихревые линии сохраняются. 9 рассмотрим два смежных положения одной и той же жидкой линии (рис, 159): (У, 1) — в момент времени ( и (П, П)— в момент (+с(г; пусть (У,!) представляет вихревую линию, соответствующую вектору Я = го( Ч. Сравним между собою бесконечно малый „жидкий", т.
е. состоящий из определенных частиц жидкости, М' ьг вектор ММ, и его перемещенное и де- (П цр формированное ьюлоькение М'йт" (при бесРнс. 15рв конечно малых перемещениях жидкости с точностью до малых высших порядков прямолинейные отрезки остаются прямолинейными). Имеем из векторного многоугольника ММ,М,М: ММ =ММ+ММ вЂ” ММ, или, замечая, что по условию (1 — произвольный бесконечно малый скаляр): ММ, = 1ьв, ММ' = Ч а'(, М М = (Ч+ (Л(й ° Ч) Ч) й(, получим М М = 1ей + Ч ах+ 1 (й ° Р) Ч г(( — Ч йС = 1 (О + (О.. и) Ч йс) Вспомним теперь указанное еще в гл. ВД уравнение (15) Гельмгольца — фридмана, которое в случае несжимаемой жидкости принимает упрощенную форму: т=((й 7)ч. и(3 (44) Тогда предыдущее равенство принимает вид: М'М,'=1((й+ йЯ й() Щ', й 81) вихвввыв линии в идвлльной и вязкой жидкости 505 что и доказывает теорему Гельмгольца„так как элемент жидкой линии (П, П) оказывается направленным по вектору Я', представляющему приращенный за время М вектор Й.
Теорема о сохраняемости вихревых линий в идеальной жидкости была обобщена А. А. Фридманом на случай сжимаемого газа.' Рассмотрим теперь ту же вихревую линию (7, /) в несжимаемой, но вязкой жидкости. Прежде всего выведем в случае вязкой несжимаемой жидкости уравнение, аналогичное уравнению Гельмгольца. Лля этого, взяв основное динамическое уравнение (16') $7г и предположив объемные силы потенциальными, произведем в левой его части известное уже нам по гл. 1П преобразование: (Ч 7) Ч = вагаб ~ — )+ ьа Х Ч.
Тогда будем иметь уравнение: дЧ гИт 1 — + кга г1 ( — ) + Я Х Ч = — афтаб П вЂ” — втаб р — т го1 О, дг (, 2,) которое после проведения над обеими его часгями операции го1 дает: дЧ го1 — + го1 (ьг 'р( Ч) = — ч го1 го1 Я. дг Если использовать формулу (жидкость несжимаема) го1(ИХЧ)=(Ч 7)Я вЂ” ф.7)Ч и заметить, что в силу независимости операций частного дифференци- рования по времени и в пространстве дЧ д дй го1 — = — го1 Ч = —, дг дг получим следующее обобщение уравнения Гельмгольца на случай не- сжимаемой вязкой жидкости: — д+ (Ч ° 7) а — (а .
7) Ч = — т го1 го1 и, дй или, собирая первые члены в общий символ индивидуальной производной, — — (Я ° 7)Ч вЂ” ч го1 го Я.. Лй ч'г (45) г А. А. Фриды ав, Опыты гндромехавики сжимаемой жидкости. 1934, ДИНАЫИКЛ ВЯЗКой ЖИДКОСТИ И ГАЗ! (гл. Чп! В силу ранее уже применявшейся формулы векторного анализа го! го$ Й = дгаб б>ч Я вЂ” 7вьг, перепишем (45) еще в таком виде: (45') Сравнивая уравнения индивидуального изменения вихря в вязкой жидкости (45) или (45') с уравнением соответствующего изменения вихря в идеальной жидкости (44), видим, что в уравнениях вязкой жидкости присутствует дополнительный член — ч го! го1 М = ч ряьг, пропорциональный кинематическому коэффициенту вязкости.
Как сейчас будет показано на простом примере, этот член характеризует рассеяние нли диффузию вихря в вязкой жидкости. Если бы мы попытались повторить только что приведенное доказательство георемы 1ельмгольца о сохраняемости нихревых линиИ' в идеальной жидкости в случае вязкой жидкости, то легко убедились бы, что в результате поввлення дополнительного члена диффузии чрвг> жидкий отрезок М М;, представляющий новое положение рассматриваемой вихревой линии, уже не соответствовал бы индивидуальному изменению вихря, характеризующему сохринение вихря, как некоторого индивидуального образования. Взвихренность в вязкой жидкости передается смежным жидким частицам и постепенно рассеивается во всем объеме жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
