Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 91
Текст из файла (страница 91)
В вязкой жидкости вихревые линии раз. ругиаются. Если в покоящейся вязкой жидкости создать изолированную вихревую трубку, то жидкие частицы, расположенные внутри трубки, увлекут за собой во вращение частицы окружающей трубку жидкости, так что постепенно весь объем жидкости придет во вращательное движение. Вместе с тем механическая энергия будет рассеиваться, превращаться за счет работы сил внутреннего трения в тепло, а вращательное движение ослабевать до тех пор, пока жидкость не станет неподвижной. В этом процессе, частный случай которого сейчас будет рассмотрен подробнее с количественной стороны, имеет место как разрушение начально созданных вихревых линий, так и создание новых, затем в свою очередь разрушающихся вихревых линий.
Чтобы проиллюстрировать применение общего уравнение (45'), рассмотрим простейшую задачу о диффузии прямолинейной вихревой линии в безграничной вязкой зкидкости. Ладим следующую постановку этой задачи. Пус>ь в некоторый начальный момент времени 1 = 0 в несжимаемой вязкой жидкости имеется бесконечная прямолинейная вихревая нить с циркуляцией Г. % 81) вихвввыв линии в идвлльной н вязкой жидкости 507 Легко убедиться в том, что хорошо известное нам по теории плоского безвихревого движения решение, представленное круговым движением частиц с распределением скоростей Г р'=— гт ~~- + (Ч ° Р) й = (9 Р) Ч+ чЧЯЯ н, предполагая движение плоским и в силу симметрии круговым, опустим оба нелинейных члена (Ч ° т)й и (Я ° т7)Ч, так как первый из них равен нулю как производная от завихренности по направлению скорости движения, т.
е. вдоль окружности, на которой, в силу пред- положенной симметрии, завихренность одинакова, а второй равен нулю как производная от скорое~и в плоском движении по направлению вектора ьа, перпендикулярного плоскости движения. Обозначим проекцию вектора й на перпендикуляр к плоскости движения через Я и перепишем основное уравнение задачи в виде: — = — ттЯ, дй дт нли в полярных координатах ( — = О): /дЯ ,ги Лй б 7вбй) — — (г"— дГ г" дг*(, дг'"/' (46) имеет место и в случае движения безграничной вязкой жидкости. В самом деле, движение это безвихревое, а следовательно, повсюду вокруг вихревой линии Я=О; уравнения вязкой жидкости при этом ничем не отличаются от уравнений Эйлера, а единственное граничное условие \1- О при г' -~ со одинаково выполняется в обоих случаях, Разница лишь в том, что в идеальной жидкости, где нет диссипации энергии за счет работы сил внутреннего трения, такой вихрь не диффундирует в толщу всего объема жидкости и может сохраняться бесконечно долго, поддерживая указанное только что установившееся круговое движение частиц без притока энергии извне; в вязкой же жидкости для поддержания такого движения необходимо сообщение энергии извне от источника завнхренности, например, от вращающегося в жидкости тонкого цилиндра.
Сущность рассматриваемой нами задачи как раз н заключается в рассмотрении того неслгакионауного процесса, который произойдет, сели в некоторый момент времени Г = О удалить источник завихрепности. Перепишем основное уравнение (45') в развернутом виде: 508 динамика вязкой жидкости и гьзь 1гл. чтп Это уравнение 2-го порядка в частных производных должно быть разрешено при начальном условии при 1=0 и го)О, 1)=О и граничном условии (г любое) при го-+ со, ье=О. Уравнение 146), которое может быть еще переписано в форме широко известного уравнения теории распространения тепла дИ дон 1 дО 146') ~Я Я= — е (4У) в чем легко убедиться простой подстановкой этого выражения в уравнение (46') и ранее указанные начальное и граничное условия.
Чтобы найти величину А, воспользуемся теоремой Стокса и напишем, что в любой момент времени интенсивность вихревой трубки радиуса го Я ° 2ато Нго о равна циркуляции скорости по окружности радиуса г* )Г ° 2яго. Будем иметь: , а „~2 РА 2лч Ъ'= — ] — е о"о ° 2иг* ~1го = — „(1 — е 2иго,~ Г о (48) или, сравнивая с начальным распределением скоростей при 1= О 1г=— Г 2иго ' найдем Г 4хн ' Таким образом, будем иметь окончательные формулы: распределении вихря г'3 Г е юм ам (47') принадлежит к иариболичееному типу. Нашей задаче удовлетворяет простейшее его решение (А = сопз1): $81) внхвввыв линии в идвальной н вязкой жидкости 509 и распределения скоростей ~а 1г (1 е ам) (48') Проанализируем полученные результаты. В начальный момент времени г= 0 движение повсюду (га ) О) было безвихревым.
После удаления источника зазихренностн, т. е. в любой момент Г О, зо всем пространстве мгновенно возникла завихренность, распределение которой представляется быстро убывающей с возрастанием расстояния га функцией (47'). Завихренность в центре (г* = О) монотонно убывает с ростом времени, а в точке, находящейся на некотором расстоянии от центра, сначала возрастает, а затем убывает до нуля при г= со. Рассмотрим какую- нибудь окружность радиуса г" =а; изменение Я со временем зазихренности в точках этой окружности представится функцией (47') в виде: а" (11)~ а = — е -а 4ачт Исследуя эту функцию на максимум или минимум, легко заключим, что в момент времени аа — завихренность 4ч достигнет своего максимального значения: ю 4 а1 СО 1 С 1„ при дальнейшем возрастании времени завихрен- Рнс.
160. ность будет убывать. Об об~цен характере зависимости от времени завихренности в точках, находяшихся на разных расстояниях от центра, можно судип по кривым, приведенным на рис. 160. 1трнвые распределения скоростей в различные последовательные моменты времени приведены на рис. 161. Пользуясь полученными формулами и графиками, можно составить общее представление о явлении диффузии единичного вихря в безграничной вязкой жидкости, Несколько более сложно с математической стороны решается вопрос о диффузии в безграничной вязкой жидкости вихревой трубки коленных размеров, а также плоского и цилиндри- 510 динамика вязкой жидкости и глзь )гл.
чш 0 82. Одномерное прямолинейное движение сжимаемого вязкого газа. Движение внутри скачка уплотнения. Понятие о толщине скачка В предыдущих простейших примерах движения по цилиндрической трубе, рзвномерного н прямолинейного движения шара, диффузии вихревой нити Рнс. 161, были рассмотрены движения несжимаемой вязкой жидкости. Интегрирование уравнений движения вязкой сжимиемой жидкости представляет большие математические трудности.
Простейшим примером такого рода движения служит одномерное прямолинейное движение; этот, на первый взгляд совершенно тривиальный случай оказывается, однако, весьма интересным, так как поясняет внутренний механизм явления .скзчка уплотнения" илн „ударной волны". Рассмотрим прямолинейное движение сжимаемого вязкого газа, параллельное осн Ох и направленное в положительную сторону осн; из трех компонент скорости (и,п, ш) при этом остается лишь одна и; будем предполагать движение стационарным и одномерным, зависящим лишь от одной координаты х. Выведенные в $77 дифференциальные уравнения движения, вместе с уравнениями баланса энергии, уравнением Клапейрона и уравнением зависимости коэффициента вязкости от температуры в этом случае значительно упростятся и примут вид; ! их ) й 1 /. иэ~ й /! 4 иэ')1 — ~ ри(!+ — ! — р — ( — + — — ! ) =О, йх~ (, 2/ их(а 3 2/~ (49) г См.
по этому поводу: И. А. К н бел ь, Н. Е. Кочин и Н. В. Розе, Теоретическая гидромеханнка, ч. 11, стр. 350 — 357; %. Мй!!ег, Е!п(айгапй !п б!е тьеопе бег лайеп Р!йээ!яйе!!еп. Ве1рмй, 1932, стр. 113 — 120. ческого вихревого слоя. ' Отметим интересное физическое явление: диффузия вихревой тлрубки тем зничительнее, чем меньше ее дииметр. Благодаря вязкости, быстрее всего зитухиют мелкие вихри. Обратим вновь внимание на тот существенный факт, что при любом гэ и Г-+со Ы-+О н И-+О. Иными словами, заданное в начальный момент движение с течением времени затухает, а вси его кинетическая энергия рассеивается, превращаясь в тепло. прямолннвйнок движвнив вязкого глзл й 82) Имеем замкнутую систему пяти уравнений с пятью неизвестнымис и, р, ;, р, !. Исследуем интегралы этих уравнений, конечные при х = = со.
Прежде всего заметим, что уравнения (49) допускают тривиальные интегралы: ри =рсис, 3 а третье, если в ием положить для простоты а = —, интеграл 4 ' из ис с+ — = сс+ —. 2 2 Пользуясь предыдущим интегралом и уравнением Клапейрона, перепишем первое уравнение системы (49) в интегрируемой форме: ди рс — 1 с! . 4 с! / пи~ рсис — = — — — (р!) + — — ( р — ~, дх Я дх 3 дх (,1 дх!' что сразу даст интеграл /с — 1 4 пи !с — 1 р,и,и = — рс+ — р — + р и + — чсссс Я 3 дх ''с Я плп 4 ди А — 1 3 и~в = рсис (и ис) + — (р! рс!с) При составлении последнего интеграла, кроме ранее принятых граничных дсс условий, использовано еще условие равенства нулю производной — при дх х= — со, вытекающее нз конечности скорости на бесконечности.
Выражая в последнем уравнении р через с, согласно последнему равенству (49), а с и р — через и, согласно предыдущим интегралам, получим основное дифференциальное уравнение для определения скорости и как функции от х: Я вЂ” 1) ри р ис иэ1 / = рсмс(и — ис)+ — ( — сЬ!с+ — — — 1 — рс!с~. !с ( и 'ь 2 2/ (50) Прежде чем интегрировать полученное обыкновенное уравнение 1-го порядка, упростим его, перейдя к безразмерным координатам: — и сс— ис ' х~ —, рсисх рс и=и!, р — — рс, р=рп;с=рс, с=со где индексом „1" обозначены и будут в дальнейшем обозначаться постоянные, равные соответствующим значениям всех величин при х = — ссс.
Этим тривиальным интегралам соответствует однородный поток во всем пространстве ( — (хс; +- ). Однако это решение, удовлетворяющее условию конечности всех элементов при х = ~ со, яе единственное; существует и другое — не тривиальное решение системы (49). Для разыскания этого решения заметим, что второе ураввение системы (49) имеет очевидный интеграл !гл. чп! динамика вязкой жидкости н газа Будем иметь, деля обе части уравнения (50) на рдит.
!т 1 !в 3 гг з 1 + из и 4 из 2 2 Ни — « — 1Г1/!1 1 1 — ! !!1 (й(,й 2 2 ) й)' ига нли, замечая, что по формулам гл. !Ч: из 1 1, Зс ут 1 МВ— У и и (« — 1)й (« — 1)М! получим 4/ « — 1 « — 1 з-з~ийй — (1+ — М вЂ” — М! и ) М~й — (1+ «Мг) и+ 1+ 2 Мт «М" и (50') Корни этого уравнения будут: 1 + «Мт~ пп )/ (1 + «Мз) — 4 ° — М" (1 + — М~~) и— («+ !) м', + 2 !+«МзгЧ (! — М,') («+ 1) М," — М «+! 2 1 1. Введем пока лишь для краткости обозначение « — 1 1+ 2 Мт им 2 смысл которого вскоре станет ясен. Тогда дифференциальное уравнение (50') можно переписать в следующем, более компактном виде: ( — — "') "'" (50") (и — 1) (и — из) 4«Мз" ~ 2 / Определим корни числителя в правой части, чтобы узнать, при каких значениях и производная от скорости обращается в нуль; для этого решим квадратное уравнение «+ ! а-з з « — 1 — М и — (1+«М')и+ 1+ — М = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
