Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 92
Текст из файла (страница 92)
518 82) ПРЯЫОЛИИЕЙНОВ ДПИЖКИИВ ВЯЗКОГО ГЛЗХ 1!редположнм, что иг 1 или, согласно принятому обозначению, (1, Мт м1; 2 иными словами, предположим, что вначале, при х = — оз, поток был сверхзвуковылг. Тогда, как зто видно непосредственно из уравнения (50а), при изменении и в интервале иг(и(! аргумент х будет изменяться в интервале — оз(х(ст Рассматриваемые дифференциальные уравнения (49) имеют, следовательно, и не тривиальное решение, соответствующее убыванию безразмерной скорости й от значения иг = 1 на бесконечности вверх по течению с числом Мт ббльшим единицы (движение сверхзвуковое) до некоторого значения иг на бесконечности вниз по течению. Легко показать, что прн и — и.
поток будет дозвуковы.» (Мг ( 1). Для этого пспользтем полученный в числе первых интегралов интеграл внсргпп и., ит г -~-==г + —, 2 пз которо~о по предыдущему сразу следует: гг г 1,и" 1 1 ! 1 ! 1 д — ! )гМ '— т 2 пли д — ! 1+ — М' 2 ДМ'— Д вЂ” 1 2 В последней формуле нетрудно узнать выведеаное еще в 5 32 гл. 1Ч соотношение между числами Мт и Мг до и после прямого скачка уплотнения (формула (77) й 32). Отсюда сразу следует, что Мг(1. Итак, рассматриваемое ие тривиальное решение системы (49) представляет не что иное как нврехоо от сверхзвукового движении к дозвуковому в прямолинейном одномерно.н потоке вязкого сжимаемого газа.
Нетрудно убедиться в том, что не только числа М, но и температуры, птотности и давления на бесконечности вверх и вниз по течению связаны между собою теми же соотношениями, что в теории прямого скачка уплотнения, изложенной в гл. 1Ч для газа без внутреннего трения. Разница здесь в том, что а идеальном газе скачок уплотнения представлял некоторую нормальную к линиям тока поверхность разрыва злементов движущегося газа, причем само явление скачка приходилось рассматривать как предельное образование, 33 Зт. пии л. Г. Лтивнскнв. (д — 1) М'., ~Р— 1) М'-,' 1Мв г' 2 г ! (д -!)М', ! -! (Д (ф+ Д ' М'г1, 514 динамика вязкой жидкости и газа [гл.
чщ !ЛИ-т" будем иметь ан в при х -0 нлп -.'==О и — — = л, 1 М"' и,, м," 1+ Л— Л+1 2 Интегрируя от этих значений и =. 1/ иэ н ( =. О, получим: /- Л вЂ” 1 — '" —— ( пт — и" ) г/яп Л+1 (й — !) (и — пэ) 1'=.. (51) Выполнение квадратуры справа зависит от числового значения величины п. Общий характер кривой скорости и(;-) пой казан на рис. 162.
Левая и правая ветви кривой настолько быстро асимптотически стремятся к значениям й„=! и йз, что иа самом деле фактическая ширина области, где происходит переход, очень мала. Примем за меру толщины левого переходного участка среднюю интегральную величину — ~ (1 — и)яс, 1 — )/ /й/ равную отношению заштрихованной на Рис. 162. рис. !62 левой части площади к максимальной развости ординат 1 — )/ ил на этом участке. Аналопшно определим толщину правого переходного у частка как 1 Ьх= ~ (и — и)г/В )/ ~ь — ит ь не допускающее описания прн помощи непрерывных решений уравнений движения. В вязком газе, наоборот, явление перехода сверхзвукового потока в дозвуковой описывается непрерывным решением уравнений движения, а именно интегралом дифференциального уравнения (50") в области движения ( — со С х ( ' оэ).
Покажем, что, практически, эта область перехода сверхзвукового потока в дозвуковой имеет очень малую протяженность, зависящую от параметров потока и, в первую очередь, от 5(ь Вернемся к уравнению (50") н, потьзуясь имеющимся произволом в выборе начала отсчета абсцисс х, поместим начало координат в ту точку, где скорость и Равна кРитической скорости а", соответствующей параметрам потока вверх по теченнкь Тогда, вводя еще для краткости дополнительное обозначение ч' 82) ппямолинпйиоп движения вязкого газа 515 Полная „толщина" области перехода сверхзвукового течения в дозвуковое будет равна: 1 — + д„(! и) гГ5+ — — ~ (и — иг) йс. (52) 1 — )Iит !' йз — ьт .
— О э Фактическое выполнение квадратур зависит от значения показателя степени и в законе связи между коэффициентом вязкости и температуры пли теплосодержання. На рис. !63 приведены составленные А. Е. !'о- 4. ловиной кривые измене- ! ция толщины скачха б, выраженной в частях длины свободного пробега чолекулы 1,=1,255 Рй утат (пп йь аг — скорость звука, вязкость, плотность па бесконечности вверх по течению), в функции от числа М, при различных и. На основании при- р веденных графиков мож- у гз М~ ио заключить, что „толщина' скачка уплотвения Рис.
163. имеет порядокдлины свободного пробега, исключая значения Мп близкие к единице, илн очень большие М, (при и =!). Экспериментальная проверка этого факта очень затрудпвтельна, так как границы скачка в силу его колебательных перемещений бывают обычно размыты и не поддаются фотографированию даже при очень малых временах экспозиции. С точки зрения изложенной только что теории становится ясной причина указанного еще в гл. !Ч возрастания в скачке уплотнения энтропии. Прирост энтропии служит указанием на наличие в области перехода сверхзвукового потока в дозвуковой потерь механической энергии, превращающейся за счет внутреннего трения в тепло.
Общая формула диссипируемой в тепло энергии при движении вязкого сжимаемого газа будет выведена в следующем параграфе. Тот факт, что .толщина" скачка уплотнения имеет порядок длины свободного пробега молекулы, может вызвать сомнение в возможности вообще пользоваться в этом случае обычными уравнениями движения вязкого сжимаемого газа. Частные случаи рассмотренной задачи были исследованы Гамелем (а = со) 3 и Прапдтлем (а=0), а затем Релеем и Беккером (а= —, и О, коэффицпснт вяэкостп не зависит от температуры).' ' См. НапдЬыс!1 бег Рйузйц Вб, Ч!1, !927, 5. 323 — 330, 33" 515 (гл. кп1 ДИНАМИКА ВЯЗКой ЖИДКОСТИ И ГАЗА 3 83.
Работа внутренних сил и диссипация механической энергии в движущейся вязкой среде — гй = ~ оР У~И+ ~ р„Чйо+ ~ рМч„дт: а здесь Фо, представляет величину отнесенной к единице массы ьющности всех внутренних поверхностных сил, вкл|очая сюда как давления, так и силы трения (внутренними объемными силами, как например, силами тяготения, пренебрегаем). Преобразуя полученную формулу известным уже по предыдущему обрааом, найдем: ~ р — ( — 2)сй=- ~ оР Уйт.'- ~ пР Чбо+ ~ рЯ~К~Т= ю ~ рР ° У~И+ ~ п ° РЧ до+ ~ рог„гИ =- =- ~ рР ° Усй+ ~ ейч(РЧ) гас+ ~ рХг„сй.
Используя произвольность выбора об.ьелга т, получим то же выражение в дифференциальной форме: р — „( — ) =- рР. Ч+ бгч РУ) + рк,„. Ро (53) С другой стороны, умножая скалярно обе части основного динамического уравнения „в напряжениях" р — = оР + Г2л Р КЧ Ф иа Ч, будем иметь: лЧ л Грд~ оЧ ° — =р — ( — ) =оР ° Ч+Ч -ГНК Р. КГ ЛГ (, 2 ) (53') Работа внутренних сил трения (вязкости) вызывает в движущейся жидкости затрату некоторой мощности, превращающейся (диссипирующейся) в тепло.
Чтобы найти количественное выражение этой мощности, применим прием, аналогичный принятому в 3 24 гл. 1И для идеального газа. Составим выражение изменения кинетической энергии в некотором объеме жидкости т, ограниченном поверхностью о: В 83! яхвоть внзтввнних снл н диссипеция знвягни 517 Вычитая почленно обе части уравнения (53') из уравнения (53) получим искомое выражение !Чг„в виде: (54) ф/,„= Ч П!ч Р— б!ч(РЧ). Выразив правую часть через декартовы компоненты входящих в нее векторов и тензоров, проведем следующее упрощение (координаты х, у, е заменены на 2„ хя, ха): Ч ° П!ч Р— б!ч(РЧ) = ~Ьд Уе(П!чР)! — ~~Ь вЂ” (РЧ) = ! ! ,!'= ! = Х У 1 -д —;д —.'~ —.,(!У, У)- е=! г=! т ! е=! е а Ьд=! с,у=! Последняя двойная сумма, если вспомнить принятое в гл.
1 обозначе- дУ! ние дифференциального тензора 0 ч = -', представляет инвариантную комбинацию компонент тензоров Р и 77: Х Р„В,,=-Р И, !. у = ! называемую скалярным произведением деух тензорое. В частном случае двух равных тензоров такое произведение дает квадрат модуля тензора, определяемый как сумма квадратов всех компонент тензора: з РЯ = — Р ° Р = ~~ ~Р!х !ту=! Формула зта по своей конструкции аналогична известной формуле квадрата модуля вектора.
Разложим дифференциальный тензор В на симметричную и анти- симметричную части, положив (авездочка, так же как и в гл. 1, обозначает сопряженный тензор): В = 5+ А, 3 = — (1:! -)- В"), А = — (П вЂ” !.!"'), и:!и в проекциях: дУ ! ЕдУ! дУ! 1 удод дУ!! дх! 2 (, дх! дхк 2 (, дх! дх,,! ! Ч' [гл. чш 518 динлмикл вязкой жидкости и глзл Тогда будем иметь [Р, = Рч) а У РМ вЂ” г= ~Ь Рг ЪЧ+ У Р~,:Ад= Р Я+Р 'А. Легко сообразить, что, в силу условия антисимметричности А,т —— — А,, последняя сумма равна нулю: а Р ° А = ~~ РЧА;з О. ;, !ма Таким образом, вместо [54) получим в рМс„= — Р ° Ь'=-- —,У, Р, 8;,, ,Ф1 око [56) рИ~„=-- — 2рЯа+(р + — !л д!ч Ч) 6 Б.
2 Вычислим скалярное произведение тензорной единицы Ф нз тензор скоростей деформаций о; тогда получим [оеж — — 0 при [ф1, Вы=1): е а е ,Я=- У 6,.5„= У Ли=УЫ -б! Ч, ~/ ' ~ 1дх~ гу г ~=1 е=1 н, окончательно, найдем искомое выражение мощности: рМ =- — 2иЯа+ р д!ч Ч+ — р [6!ч Ч)'-. [57) Во втором слагаемом р д!чЧ узнаем мощность, затраченную силами давления на расширение газа [вспомнить 2 24). Остальные два слагаемых представляют отнесенную к единице объема мощность, диссипированную за счет работы сил вязкости [внутреннего трения): рМд„, — — — 2рЯЯ + —.,л [д!ч Ч)'.
3 ' т. е. отнесенная к единице обьема могцносгиь внутренних поверхностных сил равна взятому с обрагпным знаком скалярному произведению тензора напряжений на тензор скоростей деформаций. Этот, представленный формулой [56) результат имеет общее значение лля любого течения сплошной среды, независимо от того, полчиняются ли напряжения обобщенному закону Ньютона или нет. Обращаясь теперь к случаю ньютоновской жидкости или газа, для которых справедливо линейное соотношение [11) 6 76 настоящей главы, булем иметь по [56) и [11): $ 84) УРАВНЕНИЯ ЛАЫИНЛРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В частном случае движения неслсимаемои жидкости будем иметь: рМА„, = — 2952 =-.— 2р Г Я,;„.
=- 7м Г,д'= 2 = — 2и~( — )+( — ) г( — )+ 2 Как видно из последней формулы, представляющей диссипированную мощность в форме суммы квадратов, энергия в несжимаемой жидкости не диссипируется только при квазитвердом движении жидкости, т. е. в том единственном случае, когда все отдельные скорости деформации (удлинений, сдвигов) порознь равны нулю. Отсутствие завихренности не предохраняет вязкую жидкость от потерь энергии на трение.
Вернемся теперь к общему уравнению теплового баланса, выведенному еще во второй главе (формула (45) 9 168 Согласно (53), уравнение теплового баланса принимает вид: р — (УсеТ) = Урд — рМеи или, подставляя явные выражения для д (формула (48) гл. И! и Ме„ по (57), р — „г (зсеТ) = — з'О1Р (> угад Т) — р РВУ Ч + 2952 — — р (д! Р Ч)'-. (59) Из уравнения (59) следуец что индивидуальное изменение отнесенной к единице массы внутренней энергии (а следовательно, температуры) движущейся частицы вязкого сжимаемого газа происходит за счет: 1) теплопроводности, 2) нагревании газа вследствие его сжатия и 3) превращения в тепло работы сил вязкого трения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
