Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Так, из формулы видно, что выраженная в безразмерных величинах правая чзсть представляет заштрихованную на рис. 167 площадь, заключенную между кривой скоростей, „осью ординат" и прямой и = 1г; величина этой площади (1,72) мало зависит от ошибки, которая будет сделана, если интегрирование производить до конечной абсциссы, равной, например, 537 лаээинлнный слой нл пластинки 5 85) пяти, а ие шести, семи и т. ш Лиалогичное замечание можно слелать и относительно величины з*".
Интересно отметить, что в рассматриваемом случае продольного обтекания пластинки кривые изменения условных толщин пограничного слон вдоль пластинки представляют собою изотахн потока. В самом деле, при: у = 5 (х), у = йь (х) или у = онч (х) будем иметь: и =- Р«гэ (сопз1) = сопят ° Ъсс 1 Отсюда не следует делать вывода, что и при обтекании любого тела граница пограничного слоя совпадает с изотахой; этим свойством обладает лишь пограничный слой на пластинке. Если поток изотермичен, то решение задачи о продольном обтекании пластинки с ламина рным пограничным слоем заканчивается проведенным только что определением скоростей напряжения трения н коэффициента сопротивления. Если же поток не изотермнчен, как это будет, например, иметь место при искусственном поддержании нз поверхности пластинки размерной температуры Т„, отличной от температуры набегающего потока Т , то в этом случае представляет интерес разыскание также распределения температур в потоке и количества тепла, снимаемого потоком с пластинки нли, наоборот, отдаваемого потоком пластинке.
Введем вместо размерной температуры Т безрззмерную температуру 0, равную н будем опять вместо задачи о пластинке решать задачу об обтекании плоскости, уходящей на бесконечность вниз по потоку н нагретой до постоянной температуры Т „ Предположим, что перепад температур Т вЂ” Т настольно чал, что можно пренебречь влиянием температуры на плотность и вязкость жидкости. Положим в третьем уравнении системы (65)' т= Т вЂ” (Т вЂ” Т )б(;) и заменим по предыдущему и и о на их выражения через функцию Ч; 1, 1 и= — (,), и= (дт' — ч), 2 2)'х |огда после простых приведений будем иметь линейное относительно 0 уравнение бЯ+ чуб' = О, (73) решение которого по заданному; (Ч) не представляет труда. В силу однородности этого уравнения по отношению к температуре безразлично считать Т рззмерным или безразмерным.
538 (гл. Ачп лииАыикл Вязкой жицкости и ГлзА Имея в виду граничные условия: прп 1=П 0=П, прп т, -- ' 0 =- 1, легко получим: (73') Это выражт|пс можно оспе упростить, если замет1ггь что по (71): . ис ьв 1 ча' йг "" (т) Ч ИЧ = — ~ — ' =- — (п в- (б) а слслонатсзьпо, Окончательно булсм иметь: (74) Особенно простой результат получается, если ткндкость такова, что приближенно можно положить с = 1, тогда квадратуры берутся легко и нз равенства (74) следует: 0(,) = — ", -.'(в) -(=)' нли в размерных величинах; Ти, — 7' (74') Таким образом, если число 1ьгл близко к единице, что в некотором приближении имеет мес~о, напрпмер, лля гногоатомных газов, то распределение температуры в неизотермическом г исраничном слое вблизи пластинки с постоянной вдоль ее поверхностк температурой подобно распределению продольных скоростей.
550 8 551 ллминлнныИ слоИ ил пластинки В случае жидкостей, как было указано в начале нас~сашей главы, число - во много десятков, а иногда п сотен раз превышает сдпшщу. В атом случае 0 (5) приходится вычислять непосредственно по формуле (74). Па рис.
168 показаны крнвые для песколыщх значений чисел о. Вычислим количество теплоты ('„1, отдаваемое в единицу времени одной сторонойпонсрхоости пластинки,если для опре- 1 , ф дсленпостп 7ы л 7 . Будем ' ч яй. (г иметь по формуле Фурье: р,уО б 3 Π—.- — ~ 1( — ) Пх. а г 7 У 4 причем предполагается, что, в силу плоского характера потока, расчет ведется на сди- 7 нх ницу длины в направлении, 1'ис. 108.
перпендикулярном к плоскости движения. Введем в рассмотрение безразмерное число 1(уссельта 74. равное а1 Х = —. 1 где всличшщ а определяет коэффициент теплоотдачи, равный секундном) количеству тепла, отдаваемому единицей площади пластинки н огпесенномт к едипицс температурного напора: (т„— 7.)7 ~ Будем илщттс 74 =-5 (7 — т ) =, и( 7 ) пли в принятых безразмерных величинах; ~=( — ""1 ~ — "" )уй =(' — ") )уй =у()~'й, (5) ~=а ° 21 х а =а Здесь функция у(а), равная у (с) =( — ) — (т ( )) — (75') ~(ув())' ~[ — — "„(')~ ' может быть, как показал Польгаузен,' приближенно представлена формулой У(с) = 0,664 Рт'ж (75") х В. ро515аизеп, Ле!тасйг.
Ийг Апиетч. Майн ипб Месйап(И, Вб.1,1921, 540 динлмикл вязкой жидкости и глзл [гл. чщ о степени прибти!кенил можно судить по цифрам табл. 1б. Таблица 15 э У(э) 0,664 ф'а Э а ~'(э) 0,664 Уэ "а О 664 Уч [ у (э) 0,641 7,0 ' 1,29, 1,26 0,664 10,0 1,46 ' 1,43 0,685 ! 15,0 1,67 1,64 0,552 0,560 0,585 0,589 0,614 0,616 0,6 0,7 0,8 0,640 0,664 0,687 0,9 1,0 1,1 Таким образом, вместо (75) можно пользоватьсл простой приближенной формулой: Х = 0,664 )' э У К, = 0,664 ~/ — и ~l (76) Исследование ламинарпого аэродинамического н теплового следа непосредственно эа пластинкой представляет большие математические трудности.
Сравнительно просто решаетсв вопрос о движении жидкости вдалеке вниз по потоку от задней кромки пластинки. т й 88. Ламииариый пограничный слой прн степенном задании скорости внешнего потока У= сх' Другим более общим случаем сводимости уравнений в частных производных (65) к обыкновенному уравнению является такое движение жидкости в пограничном слое, при котором размерная скорость внешнего потока на границе пограничного слоя определяется степенным равенством э (77) (7 = схгл Этот случай интересен, как пример ускоренного (лг ) 0) или замедленного (т(0) движения во внешнем потоке; анализ решения этой задачи позволяет сделать выводы об особенностях поведения пограничного слоя в такого рода потоках.
Обозначая, как и раньше, через 1 и )г масштабы ллин и скоростей, будем иметги (77') Ъ'= с1"' г См. Л. Г. Л о йця и ский, Аэролинамика пограничного слоя. Гостехпэдат, 1941, стр. 1!8 — 124. э Ч. М. Р а1к и е г апд 5. %. 5 К а и, АкС АМ № 1314 (1930), э также О. и, Нагггее, Ргосееб. о! !пе СашЬг!Ойе Р)61. 8ос. 33 (1937).
Знал число Х, коэффициент тсплопроводиости Л и температурный напор Тм — Г, легко определим и отнесенное к единице ширины пластинки попсрек потока количество теплоты (;), отдаваемое в едпипцу времеви потоку одной стороной пластинки: $86) степенной 3АкОн скОРОсти ВнешнеГО пОтОкА 54! и, взяв отаюшение левых и правых частей, (3 ~х)'" Уравнения ламинарного пограничного слоя (65) в силу равенства (66) при безразмерном р = 1 будут иметь вид: ди ди, дви и — + о — = — шха"'-'+ —, ~ дх ду дуа' '" -а а' = в. (78) В данном случае имеем масштабы Х=(, 1' = — —, ! причем в силу (77') вв1 ч ч с "' Из условия независимости решений уравнений (78) от масштаба l, который отсутствует в условиях задачи, следует„что искомые функции должны зависеть не от безразмерных х и у отдельно, а от такой их колгбинаггии, чтобы при переходе к размерным величинам масштаб 1 Выпал. Сравнивая выражение Х н Г, видим, что искомой комбинацией безразмерных х и у является ав — 1 11 = — Ух Полагаю в безразмерных величинах (79) и=- Уу'(й) =х" Г (ух '-' ), введем, чтобы удовлетворить второму уравнению системы (78), без- размерную функцию тока ча; тогда будем иметь: в и ва — 1 ав+ 1 ча ааГ =- ~ ииГу=х"' ~ Дух ' ) 7у=-х '-' ~ 7'(п)иаа) в а а аач+1 = х '-' 11 (11).
(80) или, сохраняя для безразмерных величин те же обозначения, что и для размерных: (7 = х"ч 542 !ГЛ. ЧП1 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОС! И И ГАЗА ~«+1 т — 1 дч —,, + —,, о'(«!) — - =х 1 " о (т) = — х«ВР~, ду т — 1 1я — 1 — Хт«!Х-1ф« = Х«'-' ! 1П" + .) 7-~, и = — — =- х у — =тх -Ъ + ди Р дх М«1 ди — Х е ду д' — =х ф яг«1т ду1 т — 1 - ( — ' + — '.) и подставляя нх в первое уравнение системы (78), получим после простых сокращений: Уравнение это можно еще дополнительно упростить, если сделать замену: (81) Простые вычисления приведут после этого к такой окончательной форме основного дифференциального уравнения задачи: Лаф д«Ф „~ (Ко~Я (82) (82') где , 'связано с размерными координатами х, у соотношением: 1« — 1 ~/т+! у ф/с!~+ 'х) 2 ! !7 =1/ — — у ~Г -'- = ~/ —,7~ — у ~/ — =у)/ —.
(83') Составляя выражения (штрнк — производная по 1): где положено для краткости 21В ~=т !1. Заметим, !то из соотношений (79'), (80) и (81) следует: «1+1 ф =)7 — х ' Ф(!), т.1- 1 и =: х'«Ф'(ч), 2 — „!т — 1,, т+1 О =- — в' — х '-' ~ — — 1 Ф' (Е) + — Ф (Е)~, Г1Я!!(2'2 ! (83) ! ! ) 36) сгшшнно11 закон скоРости внвшпого позокл 543 Пользуясь зтнчн равенствами, легко установим грани шые условия задачи: ф (О) = Ф' (О) =- О, Ф' (со) = 1. (34) о о или, согласно (83'): .о :: = ~ П вЂ” Ф'(1)) а! ~Гф=А(;:11/ „",-',, о 8ов= ~ Ф'(1)(1--Ф'(Е)) ЗЕ ° фг —,=В(~) )/ — ', о 1 Входящие сюда функции А(р) и В(р), равные: А(8)=Г[ — '1" (1)1 (, ВЕ)=-1 '"(: 1 — Ф'(1) о о (85) Уравнение (82) представляет обыкновенное нелинейное уравнение третьего порядка, решение которого при граничных условиях (84) может быть проведено либо приближенным численным методом, либо на специальной интегрирующей машине, как это сделал Хартри в цитированной на стр.
540 работе. Результаты численного интегрирования сведены в табл. 16 значений отношения скоростей и1У или функции Ф'(ч) при различных величинах параметра р. Некоторые качественные выводы можно непосредственно сделать из рассмотрения табл. 16. Заметим прежде всего, что положительным т соответствуют ускоренные внешние потоки (У1 ) 0), вмеющие место в конфузорных (сходяшихся) каналах, а отрицательным т — замедленные потоки (У' с, 0), наблюдаемые в диффузорах (расширяющихся каналах), Соответственно знаку т будет положительным или отрицательным параметр р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
