Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 99
Текст из файла (страница 99)
дуа Первые два условия уже известны нам по предыдущему, а последнее легко выводится из основных дифференциальных уравнений (89) дифференцированием первого из них по у и последующей заменой у=О. Коэффициенты а„ ав и ав прн этом выразятся через параметр ), и показатель степени п: -Л вЂ” 6 (л+ 1) (и+2), 1 !1 — — ), + — (и — 1)(п+2), л ! л-(- ! 3 и — 1 1 2 (и -(- 1) 6 Л вЂ” — (л — 1) л. ! а, = (98') Имея в виду, что семейство (98) должно быть однолараметри- чееним, так как мы располагаем для определения параметра у или связанного с ним параметра Л лишь одним уравнением (95), выразим показатель степени л через параметр Л.
При этом используем имею- щийся произвол в выборе л для того, чтобы по возможности прибли- зить семейство (98) к тем профилям скорости, которые в действитель- ности имеют место при некоторых, хотя бы и частных, условиях движения (распределения скоростей во внешнем потоке). Можно ожи- дать, что такое уточнение формы профилей скорости приблизит нас к искомому решению.
Естественно обратиться к семейству профилей скорости, полученному в 9 86, так как оно заключает в себе про- фили, относящиеся как к ускоренному внешнему потоку (лобовая часть профиля), так и к замедленному (кормовая часть), т. е. по общему своему характеру близко ко всякому пограничному слою на крыле. Согласно (83) и (83') имеем: += Ф'(У ~ —,д), следовательно, по определению условной толщины пограничного слоя 3, в этом случае при данном р' должно выполняться равенство: Г(р Г(рзв 3 хтг — = ~~ — = )/ Л = сопя(, ъ лл откуда следует, что — =О.
Тогда из уравнения (93) при У=схт ах вытекает: 1 тз — тЛ (2Н" в + Не) — — (т — 1) ЛНче тд(Л) + (т — 1) й (Л)— 2 — О, Л,*+ ' Н" 2 558 (гл. 1пп ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА что дает уравнение связи между д, Л, и и р; 5= — ЛН *+ЛН'. 1 1- В (99) Потребуем, чтобы безразмерная величина Ф" (0), заданная формулой (86) и представленная на основании приближенного профиля (98) и равенства (99) в форме: Ф" (О) = ~/ е,, „~Гф ° 5 = ~ ((1+ ~) Н'*+ ~Н"), (99 ) была равна помещенным в табл. 17 точным значениям Ф" (0). Используем следующие очевидные выражения Н*, Н** и 5 через Л и и: Г и" = =, - ~(1 — 9) ы © о г апп "'= —,= ~..(! — ) ®)= о па из а,ат 2а1аа аааа 2п+1 2п+3 2п+ 5 и+ 1 2и+3 п+2' и — = ла, + (и + 1) ля+ (и+ 2) аа =- — Л + — (и+2) '0 1 1 а яга и пользуясь еще формулами (98'), попытаемся подобрать такую связь между л и 1,, чтобы желательное совпадение точных (табл.
17) и при- Таблица 19 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3.9 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 — 6,667 — 6,000 — 5,333 — 4,667 — 4,000 — 3,333 — 2,667 — 2,000 — 1,333 — 0,667 0 3,333 6,667 10,000 13,333 16,667 20,000 0,0000 0,2366 0,4Я5 0,6814 0,8909 1,0926 1,2870 1,4745 1,6556 1,8306 2,0000 2,7727 3,4444 4,0385 4,5714 5,0556 5.5000 0,4444 0,42!9 0,4014 0,3825 0,3651 0,3491 0,3344 0,3208 0,3082 0,2965 0,2857 0,2418 0,2103 0,1870 0,1693 0,1555 0,1444 0,1154 0,1176 0,1188 О,! 190 О,! 187 0,1178 0,1165 0,1150 0,1 132 0,1113 0,1093 0,0990 0,0895 0,0814 0,0748 0,0693 0,0648 — 0,08884 — 0,08305 — 0,07523 — 0,06618 — 0 05632 — 0,04624 — 0,03620 — 0,02644 — 0,01709 — 0,00826 — 0,00000 — 0,03267 — 0,05338 — 0,06628 0,07451 0,08000 0,08394 1,0395 0,9835 0,9195 0,8517 0,7833 0,7165 0,6526 0,5924 0,53Я 0,4847 0,4373 0,2587 0,1520 0,0879 0,0477 0,0214 0,0025 9 88) спосовы опввдвлвния етнкций ", Н и Р Таблица 20 си) ~ нт ~ ь(у) С (1) 1 и(У) — 0,089 — 0,085 — 0,08 — О,О7 — О,О6 — 0,05 — 0,04 — О',Оз — 0,02 — о',о! о',оо 0,000, 3,85 0,019 ! 3,66 0,039 ( 3,50 0,071 ' 3,28 0,097 3,12 0.120; 3,00 0,38 0,33 0,275 0,22 0,17 0,12 0,07 0,02 0,003 — 0,002 1,04 1,00 0.96 0,88 0,81 0,74 0,68 0,6!5 0,55 0,495 0,44 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,084 0,085 0,236 2,55 2,50 2,46 2,41 2,36 2,32 2,28 2,24 2,22 0,253 0,270 0,286 0,302 0,318 0,335 0,350 0,357 0,142 0,1 62 0,181 0,200 0,219 2,90 2,82 2,74 2,67 2,61 На рнс.
169 сплошной кривой показана точная величина Ф" (0) прн различных Д, а крестиками — рассчитанная согласно системе уравнений (99) и (99') при линейной связи (100) между и и Л; совпадение получается вполне удовлетворительное. В табл. 19 сведены значения и, !ч Ь, Н*, Н"", 7 и Р. Пользуясь этой таблицей, легко разыскать и величины О(7), Н(Д) и Г1Д, заданные равенствами (97) и (97'). Эти функции приведены в табл. 20.
Большое удобство для практических вычислений представляет тот факт, что функция Е(7) оказывается мало отличающейся от линейной функции Р(7) = и†Ь7, -62 О 02 !)4 45 Яд (О /3 где; а = 0,44, Ь = 5,75. Благодаря этому уравнение (95) может быть приближенно заменено линейным уравнением: ау й 27 и — = — +( —,— Ь вЂ” )У, ближенных (99') значений Ф"(0) осушествилось. Как показывают вычисления, для этого достаточно положить и =' 0,15Л+ 4. (100) ббо ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [гл, чщ имеющим интеграл Если при х = 0 У= О, го нз условия конечности 7 при х = 0 следует С = О, и окончательное ре1пение будет иметь вид: (! 01) при этом 7 в начальной точке х = 0 принимает значение: (0) [г аУ'(х) ° Уь г(х) 1 а [ ЬУ (х) Уг(х) лм При желании можно последовательно учитывать ошибку, получающуюся при замене )о(7) линейной функцией, однако практически совершенно достаточно пользоваться формулой (101). Используя систему уравнений „моментов' ' основного дифференциального уравнения пограничного слоя, можно, применяя совсем простые семейства профилей скорости, получать вполне удовлетворительные решения задачи.
Под уравнениями .моментов" здесь подразумеваются результаты интегрирования по у в интервале от 0 до оо или Ь обеих частей первого уравнения пограничного слоя, умноженных на последовательные целые степени у. Так, например, используя жри первых „момента' и профили скоростей, соответствующие сечениям пограничного слоя на пластинке, не заключающие параметра, удается получить следующие простые формулы для функций с У), НЯ и Р(7'): С (У) = 0,22+ 1,85У вЂ” 7,55Уа (102) Н(У) = 2,59 — 7,557, Р(У) = 0,441 — 5,48У, с достаточной степенью приближения заменяющие ранее приведенные таблицы 5(У) и Р(у) и сильно упрощающие расчет.
На рнс. 170 приведены для сравнения основные кривые ь(7") и Н(7), рассчитанные по семейству профилей (98) при соотношении (100) между и и А (сплошные кривые) и построенные по только что приведенным формулам (пунктирные кривые). Величина Н вблизи отрыва получается несколько заниженной. А. М. Басина выбрал семейство профилей скорости в сечениях слоя в форме: — = [ 1+ 1 — (1 — А1п — )] з1п —, У ~ яз(, ' 2Ь,Г[ 26' т Л.
Г. Лойця некий, Приближенный метод интегрирования уравнений ламинарного пограничного слоя в несжимаемом газе. Прикл. матам. и механ., т. Х!11, 1949. я А. М. Б а с н н. Об одном новом приближенном методе расчета ламинзриого пограничного слоя. Лонлады АН СССР, т. Х1., гй 1, 1943. 88! спосовы опнвдялкния екнкций г, Н и Р 561 хорошо отображающей изменение характера профилей скорости в сечениях слоя. Соответствующую таблицу функций Нь, Н*а Ь, у и Р(у) можно найти в цитированной работе Л. 81. Басина.
Б только что перечисленных работах точные решения уравнений пограничного слоя или пспользовались частично или совсем не использовались. Рнс. 170. )йожно было бы и, наоборот, полностью использовать точные профили скоростей, соответствующие классу У=-схь' (табл. 1б).т В этом случае, согласно формулам (85), будем иметь: (7'альт аа А (я) У = — — — = Явт()), 77 (У) = —. ь*ь В(Я) ' а, используя (Яб), (97) и (97'), -ч„ь** .
(У) = — '" = В (8) Фа (О), р(7 В(У) — 4рВг(р) 2ЯА (()) В(8)+2В (р) Ф" (О) т Н. Е. К о ч и и н Л. 1'. Л о й ц я н с к н й, Об одном приближенном методе расчета ламииарного пограничного слоя. Доклады АН СССР, т. ХХХЧ1, № 9, 1942. Зб зьк. 1аы. л. г. нчаьтьгкка. динлмикл вязкой жидкости и глзл (гл. ч!и Задаваясь различными значениями 8, получим табл.
21 искомых функций С(У), И(У) и Р(У). Таблица 21 $ !ю $ ою $ лю ! ~ ! !ю $ ~ел В!у) А. П. Мельников г для лобовой части крыла сохранил полиномиальное приближение Польгаузена (92), а для кормовой, где необходимо уточнение, использовал профили скоростей, соответствующие классу точных решений Хоуорта для линейного закона убывания скорости У = сл — с,х. -" Полученные решения сращиваются в точке минимума давлений. Изложенный метод расчета ламинарного пограничного слоя проводится по следующей схеме. Распределение скоростей во внешнем потоке У(х) определяется или расчетом по теории, изложенной в конце гл. Ч, что можно рекомендовать лишь в случаях, когда можно заранее ручаться за безотрывное обтекание, или путем пересчета по теореме Бернулли с экспериментально эанеренного распределения давлений. Пользуясь так или иначе определенной функцией У (л), можем, вычисляя квадратуру (101), найти толщину потери импульса х ез'.
(х) = в ~ Уь-~(5)а!3 о л)ля определения г'(х) необходимо иметь значения У'(х), которые приходится, как правило, вычислять приближенно по графику У(х), что ослабляет точность результатов; подчеркнем, что для разыскания бвв знания У'(х) не требуется. г А. П. Мел ь ни к о в, Ламинарный пограничный слой крыла н его расчет. Труды Ленингр. военно.возд. академии, вып. 1, 1942, з ь. нотч аггь, Оп !ье зо!ш!ов о1 ше !апнпаг ьоапбагу 1ауег ецаабопа, Ргосеед. о1 !Ье йоуа! 5ос!е!у, 5ег.
А, !Го!. 164, Ла 919, 1938, стр, 547. Введенная Хоуортом величина 7 эквивалентна )гу нли, в обозначениях А. П,Мельникова, Г'Ла! см. также ранее цитированную нашу монографию „Азродинамика пограничного слоя", стр. !61 †!63. — 0,0681 ,' — 0,06 — 0,05 — 0,04 — 0,03 — 0,02 — 0,01 0,00 0,01 0,0000 4,03 0,064 , '3,35 0,098, 3,12 0,130, 2,96 0,155 ! 2,84 0,178 ' 2,74 0,200 ! 2,66 0,221 2,59 0,240 . 2,53 0,821 0,772 0,715 0,%8 0,602 0,548 0,495 0,441 0,388 0,05 ! ~( 0,06: 0,08 0,09 0,10 0,257 2,48 0,274 ' 2,43 0,291 2,38 0,307 ' 2,34 0,323 2,30 0,338 ( 2,26 0,352 ~ 2,23 0,366 , '2,20 0„380 2,18 0,336 0,283 0,232 0,180 0,130 0,078 0,028 — 0,023 — 0,074 э 88) спосовы опгвдклвния санкций г, Н н Г Определив ече (х) и г (х) по (101), легко найлем остальные интересующие нас величины: аз(х) =Н[у'(х)10 *(х), Практически приходится иметь дело с безразмерными величинами, которые временно отметим черточками сверху: — = й(х), — х х = — (1г, — скорость на бесконечности, с †хор); прн э.гом будем иметь гладун>пгие формулы: йз'(х) = — — =- 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
