Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 98
Текст из файла (страница 98)
г аяе аяд»'. г а)апет, АйС кй М 15 !408 (!931). См, также „Современное состояние гндроаэродяяамнкк вязкой жидкости, 11, ИЛ, Москва, 1948, стр. 313. й Обзор методов этого рода см. Л. Г. Лей ця вский, Аэродинамика пограничного слоя. Гостехиздат, 1941, стр. 151, а также „Совремезное состояние гндроазродияамяки вязкой жидкости', т. 1, ИЛ, 1948. [гл. тпп 550 динамика вязкой жидкости и газа заменяются ариближеннагги: и = И(х), — = О.
ди ду при у = 3 (х) Производя в том или другом предположении указанное интегрирование, будем иметь: — [и(У вЂ” и)) г)у+[о(И вЂ” и))" ' + о со, о дИ Р Г ди Ч"= + — ~ (У вЂ” и) ду = — о ~ — ~ Фх,~ ду =о о Используем граничные условия и заметим, что при существовании интеграла с бесконечным верхним пределом будет: — [и (И вЂ” и) ) г)у = — ) и (У вЂ” и) Ну; д ( дх Фх, о о точно так же в случае переменного конечного верхнего предела д(х): о(т — [и(У вЂ” и))ау= и [ и(И вЂ” и)ду — [и(И вЂ” и)1 д Ф о да о о = — ~ и(У вЂ” и) ду.
дх,! Таким образом, будем иметь: — и(У вЂ” и)а~у+ — [ (И вЂ” и)е)у=о( — 1 . (90) д дИ (' ди дх 3 дх ',,[ — ~ду)„,. о Введем условные „толщины" пограничного слоя: „толщину вытеснения" со, о оо ~( и) о Проинтегрируем обе части полученного уравнения по у в пределах от нуля до ео или до некоторой конечной величины, принимаемой с той степенью условности, о которой уже была речь в предыдущих параграфах, аа меру „толщины" пограничного слоя. В последнем случае точные условия аеиилтотичеекого стремления и(х, у) к И(х): ди при у — +со и — ~ И(х), — -+О, 9 87) ллминлвиый погглничный слой в овщвм слтчлв 551 н „толщину потери импульса" и 1 ,3 )7(.
))) о и вспомним, что по определению напряжения трения на стенке т: Уравнение (9О) преобразовывается к виду — (ь)аечч)+ Н вЂ” дч =— Фх дх л илн, после раскрытия производной, дачи 1и — + (2бчл -'-6 ) == —,, (91) Уравнение (91) представляет основное интегральное соотношение теории пограничного слоя и называется „уравнением импульсов".
Уравнению импульсов придают еще форму дзФФ !7 ЯФФ вЂ” + — (2+Н) = Ых 0 гг)з ' (91') где под Н понимают отношение: ав "чч ' в ЦРзф ) = —. ч ,)!егко проверить, что это семейство профилей скорости удовлегворяет ранее указанным граничным условиям: ди при у=О и=О, при у=а и=(У, — =О. ду (92') Уравнения (9!) или (91') могли бы быть получены непосредственно из теоремы количеств движения (теоремы импульсов), примененной к объему жидкости, заключенному между двумя бесконечно близкими смежными сечениями пограничного слоя, чем и объясняется наименование этих уравнений.
В 1921 г. Карман и Польгаузен предложили приближенный метод интегрирования уравнений ламинарного пограничного слоя, основанный па использовании уравнения импульсов. Идея метода заключается в следующем. Заменим неизвестные действительные профили скоростей и (х, у) в сечениях пограничного слоя семейством парабол четвертой степени и 12+л у г Гу')т 4 —,!утз б — лбу~4 ('.)2) с параметром ),, равным 552 динамика вязкой жидкости и глзл (гл. Уш и, кроме того, еще двум дополнительным условиям: дел 77!7' ду = дтц —,=0 дуя нри при — =- 0,3000 — 0,0083331,, ев — = 0,1175 — 0,0010588 — 0,00011021'-, кроме того, в Н ди у!7 !7 !Рд — 1 РГ7т Ргуа, дУ!в=а Р!7вв а=ь .г 12+1 77ь 6 !!одставляя полученные значения 3', ь".в и т„,/РРз в уравнение !91), получим следуюн!ее ооыкновенное дифференциальное уравнение для определения >с дх и', 17- — == — н(И)+ —,-И(1.1, 193) где функции н(Х) и И!1,) определяются равенствами; о (),)— 7257,6 — 1336,321 -ь 37 921з+ О,Ь 3 213,12 — 5,76Л вЂ” )Л 2 ! 3,12ь — 1,92М вЂ” 0,2!.з И ).=.
213,12 — 5,761 — !Д ! (93') Определив но (93) И(х), тем самым найдем и 3(х), после чего станут известными профили скоростей (92) во всех сечениях пограничного слоя, трение нз стенке -,, и .толщины" 3г, 3е". К сожалению, метод Польгаузена оказывается крайне сложным с вычислительной стороны, так как требует приближенного интегрирования нелинейного уравнения (93) с особыми точкзми нри (7= 0 и (У'=-О. Кроме того, и это наиболее существенно, метод окззывается неприменимым к исследованию пограничного слоя при замедленном движении из когорых первое непосредственно вытекает из первого уравнения системы (89), а второе требует, чтобы соприкасание кривых семейства и с прямой — = 1 при у =8 было второго порядка. Рассматривая пара- 57 метр )ч или, тем самым, по (92') 5, как неизвестную функцию л5 можем эту неизвестную определить, пользуясь уравнением импульсов (91).
7(ля этого достаточно нодставигь многочленное представление скорости (92) в выражения 5" и оз* и вычислить эти „толщины', простое интегрирование многочленов дает: 9 87! ламинзвиый погвлннчный слой в овщям слюняв 553 во внешнем погоке, например, в кормовой части крылового профиля, если слой близок к предотрывному своему состоянию или огрызается. ' 0 точности метода Польгаузена в областях, где метод допустим к использованию, можно судить иа основании следующего простейшего примера его применения к продольному обтеканию пластинки. В этом случае ).= — О, так как У= !7, 47'= 0; подставляя значения: "а~ 2ч вла = — 0,11753, 1' З непосредственно в уравнение !91), в котором второй член в левой части пропадет, будем иметь: 0,1175 — =- =. Ла 2т л'.х 'г' уравнение легко интегрируется н паст: г ==- 5,83 а~ —, оч ".
0,3ь == 1,75 17 6 . - О,!1758= 0,685'в/ —, !' Р -.„.; —.. 0,343 Ч~о касается формулы для .го:пцины слоя ь, то она инесс чисто вспомогательный и услоаный .арактер; осгзльные результаты допускают сравнение с то шымн форчулачи ч 85. Приведем сравнение: псловых коэффициентов ыих форм1лах (~абл. 18). В нзстоящее время раз- Коз;!к!ищнснты Точный ' Приближенный ! або~зим значительно более простые и вместе с тем вполне приемлемые для прак- 1,72 ! 1,75 тики методы рас шта погра- аг Ч ! О,б64 0,685 пичного слоя, основанные на применении преобразован- 0,332 0,343 ного уравнения импульсов и более близкого к действительности, но также однопараметрического семейства профилей скорости.
я г Подробное нзложеннс метода Польгаузена с критикой недостатков и иллюстрацией примеров неприменимости методз можно найти в ранее цитированной нашей монографлн „Аэродинамика пограничного слоя', стр. 170 — 189, Л. Г. Л оп ця н с к и й, Прнбзнженный метод расчета ламннзрного пограничного слоя на крыле. Доклады АН СССР, з. ХХХЧ, № 8, 1942; !!. Е. Кочин н Л. Г. Лойцявский, Об одном приближенном методе расчета ламппарного пограннчнго слов.
Локлады АН СССР, т. ХХХЧ1, № 9,!942. 554 дииАмикА вязкой жидкости и ГАВА [гл. тш Предположим, что семейство профилей скорости в сечениях пограничного слоя задано функцией удовлетворяющей тем или другим граничным условиям и имеющей в качестве параметра величину 1, определенную равенством (92'). Используя эту функцию, убедимся, что вообще: ЗЧ „йче т, ч —. = Н* (Л), — = НА" (1), З ' Ь ' р(Р б'З 1 Ь вЂ” (2НАЭ + НФ) А 2 — ЛНАА з (1) урч 1 й (1) 1НАя А — + — О"* ЛХ 2 Л ~ — + — Нч* ИЛ 2 Введем теперь в рассмотрение две новые функции А; у = ЛНА"' и Р = 2Н**(5 — А (2Нз" + Нз)), связанные с д(1) и И(1) простыми соотношениями: д(1) =- —, /т(А) = —; Г' ву ' чГ в'Л в'1 тогда уравнение (93) может быть переписано так: лл ср Р сР' у лл и лу й у' ЙА ЙА яу Умножая обе части этого уравнения на — получим обыкновенное вА' дифференциальное уравнение первого порядка иу и и.
Ых Ц УР— „=-~+ — у (95) относительно неизвестной функции: У=ЛН в= Грет Зччз ц~ееез (96) где Н*, Н** и Ь вЂ” некоторые функции 1, зависящие от вида функции е( з; Л). Подставляя эти значения йь, 5*А н ~~ вуравнениеимпульсов(91), получим вновь уравнение (93), с той лишь разницей, что входящие в него функции д(1) и л(1) будут представлять следующую явную зависимость от Н", Н** и Лп динАмикА Вязкой жидкости и ГАЗА 1гл. Тпг Далее заметим, что напряжение трения может быть представлено как '(.-") ~ук ч ~ д(~ ) причем квадратная скобка представляет также функцию одного 1.
Обозначая эту функцию через ЦЯ, получим: рУ т~р = Вчч ~Ч)г — "= — г у) р г1Я 11зчч После этого, умножая обе части уравнения (91'), переписанного в виде квчч 1рвэч ч — + — ~~- )2+НН)) = — „СЯ, уз** на 2 —, будем иметь: Ш"* ва*' у'Ьт"т — — — )2+Н1Г)) =-2~У) Ц вЂ” ( ' ° —,) = 2~Я вЂ” 2 ° 12+ НЯ). ц~вччз Отсюда сразу видно, что, если положить — =у, то последнее Ч уравнение перейдет в уравнение (95); при этом также получается и формула (97') для г'ф. ц="('-"' ') ='+ "~(1 — а) + + ля 11 — — ) + аз11 — =.), (9в) й 88.
Способы определения функций ~Щ, НЩ и ГЩ. Приближенный метод расчета ламинарного пограничного слоя Для определения функций 1.Ч), НЯ и Рф следует задаться семейством профилей скорости, в той или другой степени апроксимирующим скорости в сечениях пограничного слоя. Так, если вернуться к семейству профилей скорости 192), то функции чф, Нф и Гф определятся для польгаузеновского приближения. Имея в виду, что это приближение недостаточно для описания кормовых течений в пограничном слое вблизи отрыва, примем вместо (92) в качестве апроксимирующих функций следующее семейство: $88) спосовы опгвдвлвния ынкций ~, Н и гч 557 причем входящие в правую часть равенства три коэффициента а„аз, ав определим из условия подчинения у( —; Л) граничным условиям на /у стенке: дви (!и дви при у=О и=Π— = — —, — и=о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
