Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 101
Текст из файла (страница 101)
е. по (120) при юч, = гг получим гь = 1 + — (7е — 1) М, 8 (0) (121) 570 динамика вязкой жидкости и газа !гл. ътгг дает распределение температур в пограничном слое на пластинке, обтекаемой несжимаемой жидкостью ври учете линейного закона связи между коэффициентом вязкости и температурой. Возвращаясь к случаю газа, движущегося с большими скоростями, когда влиянием сжимаемости (числа М ) пренебрегать нельзя, будем предполагать, что функция 8 (С) затабулирована для различных Для дальнейшего особенно важно знать величины 6(0); приводим их значения при нескольких о: а = 0,6 0,8 1,0 10 15 8 (О) = 3,08 3,58 4,00 11,86 14,14 Обращаясь теперь к формуле (122), видим, что она представляет для случая и = 1 решение задачи об измерении температуры газового потока Т= Т при помощи непосредственного замера температуры Т = Тм = Т, поверхности продольно обтекаемой этим газом пластинки, при условии, что тепло ог пластинки не отводится (нет теплоотвода через державку и проволочки измерительной термопары).
Как наглядно показывает формула (122), такой пластинчатый термометр будет вместо температуры потока Т показывать тем большую температуру Т„ чем больше число М . Это и естественно, так как пластинка тормозит поток н, вследствие перехода энергии потока в тепло, должна дополнительно нагревггтьсж Конечно, это торможение будет нс нзэнтпопическим, так как связано с переходом механической энергии к тепловую и повышением энтропии. Однако, как это сразу следует из формулы (122), нри а = 1 и д(0) =- 4 термометр будет показывать температуру здиабати ~еского и нзэнтропического торможения /г — 1 з (7г)а 1 = Т ~ 1 М" ~) = 7о1 прн других значениях с это уже не гак: при " < 1 Т, < 7'о, при о ) 1 Тг) То.
Формула (122) может служить для вычислении поправок на указания пластинчатого термометра в газе с ззданным числом с, отличным от единицы. Температуру, определенную по формуле (122), будет также иметь поверхность самолета или снаряда в установившемся их движении. При больших значениях М эти температуры достигали бы катастрофических для металла и материалов значений; для борьбы с этим необходимо применять охлаждение поверхностей изнутри.
Имеющее место при высоких температурах влияние лучеиспускания также способствует понижению поверхностной температуры. ' г И. А. К и б ел ь, Пограничный слой в сжимаемой жидкости с учетом излучения. Дока. АН СССР, т. ХХЧ, 1гт 4, 1ййсй 9 89) ЛАыинАРный слОЙ В сжимАемоы газе (В ~ 1) 571 Для того чтобы определить коэффициент теплоотдачи пластинки, имеющей температуру Т= Т, вычислим размерную производную от дТ температуры по нормали к пластинке — на поверхности пластинки. ду Имеем, переходя к размерным величинам: им ! — дТ 2, / Ъх Р дТ Ж т дч т ~l и Р ду ' откуда следует: Но по (118) ( — '1 = — ' 1ои (О!)', д~)с=.
8 кроме чого, в случае пластинки, по формуле Клапейрона: Т,. Т Используя ранее выведенное значение гг !124) и исключая 1, нли Ти получим: -1 1, 1+. в(о)(л — Имз 1т Т вЂ”; (126! отсюда уже нетрудно в гом илн другом виде рассчитагь геплоотдачу. Обращаясь к вопросу о сопротивлении пластинки, найдем сначала напряжение трения -.. Имеем, переходя к раамерным величинам: ,и(г) д. I 'х~ ! ', ди 1г ~'~ ",ю Р~ь дя ' откуда следует: ' 1,/ —" "(О), 2 Р" причем в" (О) имеет то же значение, что в несжимаемом газе, и равно по предыдущему (и 85) л" (О) = 1,328.
Итак, если при л = — 1 конСтанты р и 2 в формуле коэффициента местного трения определены 572 (гл. тап динлмика вязкой жидкости и газл для набегающего потока, то коэффициент местного трения остается техг же, что и е случае несжимаемой жидкости: 0,664 с,= — '=, ~~к„' /, рз те=0,332 ~/ Как можно заключить из проведенных выкладок, для вычисления коэффициента сопротивления и теплоотдачи нет необходимости иметь явные формулы связи между новым переменным ь и обычным уфх, так как в окончательные выражения входят лишь значения величин при у=-0 или у = сю. Несколько сложнее решается вопрос о распределении скоростей и температур в сечениях пограничного слоя, так как полученные раси 1 пределения скоростей — = — ' ' (г) и температур (118) отнесены $;, 2 к переменному г, выражающемуся через обычные размерные координаты по формуле: з 1 1 // Р 1 т й в свою очередь зависвцей ог распределения температур.
Дифференцируя по у, получим: иу 2 «/ з х г(".)' Связь между ". и у('1/х определится интеграл~ими соотношением: 1(") а" = — а/ . / 1', 2 Р ч 1/х о На рис. 171 и 172 ' приводим графики влияния числа М на профили скоростей и температур при и = 1, з = 0,7 и й = 1,4 для пластинки, теипература которой путем охлаждения поддерживается равной температуре набегающего потока. На обеих кривых обращает на себя внимание факт возрастания с числом М толщины пограничного слоя г Графики заимствуем нз работы хантше н Вената (см. %. %.
н а и тгзсЛ е впй Н. цг епйг, Р)е 1аш)пате Огепгзсй)сй) бег еЬепег Р1апе пэ)г впй ойле %аппейвег(гаяипя ... 1аЛгпвсЛ 1942 бег Ревгзсйеп ЛиЫайгогзсйнпя, $.40 — 51). Отметим, что изложенный выше метод, основанный на преобразовании Дородницыпа, отличен от метода иностранных авторов н превосходит его по простоте н наглядности. 574 (гл. Яш динамикА вязкой жидкости и ГА3А К,0 0,5 40 Д0 30 40 ~0 60 Рпс. 174. ар х источника охлаждения — стенки — сначала возрастает, а затем возвра- Г,о щается к прежнему значению, причем максимум отношения (Т Т )'(ТО Т' )' ОХ где Те — температура адиабатически и изэнтропически заторможенного газа, следуя расширению пограничного слоя, отодвигается от стенки, но 4,0 0;0 сохраняет неизменной — свою величину. Рис.
175. ф — ~ Сравнение этих криву и х вых с кривыми, показанными на рис. 173 и 174, соответствующими случаю сильного охлаждения пластинки ~ Т„, = — Т ), говорит о некотором уменьшении толщин пограничных слоев и естественном снижении максимумов температуры. На рис.
175 демонстрируется факт спрн ления кривых распредеГ~' Й„А ления скоростей в координатах (и1'г', у аг — '" ) по мере роста М ИА,Х в случае отсутствия теплоотдачи с поверхности пластины. 40 (скоростного и температурного). Нрофиль скоростей с ростом числа й1 урезываеглся, становится более пологим. Температура при удалении от У,70 г у„ 90) лАмннАРный слой В сжимаемом ГАза (о= 1) 575 $ 90. Ламинарный пограничный слой на пластинке при любом законе связи между вязкостью и температурой и при числе о=1. Обтекание крылоного профиля потоком больших скоростей .1,.я ! и.~ ..ь г.~,~ й — 1Мг .и г „з или, вычисляя производные и проводя сокращения: Тт" — т — — М' ч =О.
.и и ~ ! т .«З ,! сь ! Возвращаясь и скорости и =- — Ч', перепишем последнее равенство ввиде: 2 Ри" — и'М вЂ” (Ь вЂ” 1) Мз иг' = О и произведем в нем замену: ! = — и'а+ — и, Ф! а си и из а~и — и, аи ли тогда получим: — + (й — 1) М )! и' = О. ли 3" 3 низ СО Отсюда вытекает равенство: из! 3 и'ия — = — (ь — 1) м', ьь' интегрировзние которого приводит к важному соотношению, й — 1 1= — — М и +Си-4-Сь 2 Постоянные интегрирования легко определяются из условий: ! = Ггь г=!, и=О и=1 прн при так что буден иметь: 2 "' )( и+ 2 Ц (127) пли, переходя к размерным температурам и скоростям: Т й — 1 з('и')з (' Т, й — 1 з'! и Т,» — = — — Мз ( — ) +(! — — ~-',- — М" ! — + — ~.
(127') Откажемся теперь от ограничения и = 1 и рассмотрим систему уравнений (1!3) в предположении е = 1, что довольно близко к значению а = 072 для воздуха. О влиянии отклонений а от единицы можно в известной степени судить по результатам предыдущего параграфа при и = 1 и различных с. Исключим при ь = 1 из системы (НВ) величину т, для чего умножим первое равенство на И, второе — нз чм и вычтем одно из другого. Получим: (гл. ун! диг!Амикь Вязкой жидкости и гьзл 576 Последнему равенству можно придать простой н наглядный смысл. Обозначим значком (О) сверху ту температуру, которую газ получил бы, будучи каким-то адиабатическим и нззнтропичегким процессом переведен из данной гочки потока к покою.
Тогда для любой точки аогранн шаго слоя получим: т!о! Т(! .. й 1 Мз) 7,'1 ь Х 2, ' 2 йрсту й — 1 )г Т а й — 1, 7' а = т(1+ . —. —,) = Т(1 + — м„— —,~ и, следоиательно, на внешней границе слоя (и = Р ) н на поверхности пла- стинхи (и = О) будет: т(ю = т (1+ —, — '- м'" ), т!о~ !1грспнсывая (!27г) в форме; т+, ' Мгтго( — ") — т,„ полу шм рзвенстао: (128) служащее обобщением известного узко нам по й 85 соотношения подобия (74') на случай движения сжимаемого газа при больших скоростях. Согласно (!28), можно утверждать, что в любом сечении слоя, при а = 1 и произвольном показателе степени п в законе зависимости вязкости от температуры, поле перепадов тгчпгратрр гизи, адиабатнчегки и иээнтропичегки перес гнгпаннык на покипи(ийггг газ, подобно полго скоростей.
Разыскание профиля скоростей по сечению пограничного слоя, а вместе с тем по (127) и профиля температур, представляет значительные трудности, гак как приаодит к необходимости для каждого значения и численно интегрировать нелинейное уравнение второго порядка. Для составления этого уравнения возьмем первое уравнение системы (1!3), один раз его проднфференцируем по " н из таким образом полученной системы: (Р'-'тн)'+ чан = О, (М-'тп)н -1- уу"'+ - тн = 0 исключим зслнчнн) чн! для этого умножнм первое нз зтнх уравнений па ч", второе па 7п н вычтем одно нз другого.
Получим: (Р' ' н)нун + 'т"тп — (Р' гун)'~н' = 0 9 90[ ллминлнный слой в сжимлнмом глзв (о= 1) 577 Имен в виду, что ! представляет по (127) известную функцию и и что т' =-2и, перепишем последнее уравнение в форме: (и"-ли']"и'+ 2ии' — (!и ли')' и" = О азз 2и бит Рнв ' (130) в котором л' предполагается замененным, согласно (127). Из первого уравне.
ния системы (113) при ". = О, и= 0 и 7 =0 следует граничное условие б!3 при и=Π— =О, би так как и'фО. При и = ! а=О и уравнение (130) имеет особую точку. Исследуем поведение интегральных кривых вблизи особой точки. Для зтого положим в правой части (130) и = 1; будем иметь, согласно (127), уравнение азз з — = — 2, низ которое приводится к квадратуре следующим путем (а — постоянная интегрирования): г!з бтз 1 ае — — = — 2 — — ' гги биз з аи * ~ )= йз тз †) = — 4 1и (ал), г)и ) (и) 1 [' к(з 2,! г' — 1п (из) н (т) Полагая здесь; т — !п(ал) = го аз = е, лаз= — 2ге ' аг, найдем: и = 1 — — сг1 [ )'" — )п (аз)), и' г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
