Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 87
Текст из файла (страница 87)
В четвертом равенстве насппабный множитель пропадет. 1)бе части пятого равенства разде- Ч !. лим на выражение — . В шестом равенстве произведем привеление к одному знаменателю и простые сокращения. В седьмом воспользуемся произволом в выборе ре, /е и положим р..=р, /„=/„. Тогда будем иметь в безразмерных величинах: ди, 1 д/г и,„Г д / дгг) ра — +... = — — — + /Г2 — ~ )г — /+, .. 1.
дх 1 ''' 2 дх р Р / Г дх ' дх/ д (егг), д (рч), д рич) ~!)т (рЧ) = — '-,— — ' — -х- — ''- = — О дх ' д! ' дх 1 )/~ \г „ — — )г го1Ч)(Ч- — — Ч д)чЧ)~ = О, 2 /г — 1 р 1.'-'„' )г =- /ч. 31ь ь' 7к) подовиг гиа одинамичвских явлении 4нн 484 динАмикА вязкой жидкости и ГАВА [гл. чллл Величина: рОУОГ УОГ К= НО НО где УО, ро, ро, 1 — некоторые характерные для данного движения величины, называется по имени известного гидродинамллка Х!Х в., который впервые ввел и рассмотрел эту величину, числом Рейнольдса (кратко, „число к"). Входящее в предыдущие уравнения число р У! У! У„., 1'", — — — =- (й --1) —., = (й — 11 М., Г Л У, Згр — Р ° й1ТТ Ю !грл ро 1 р 1 а,' 1 р, У, Н 1'е й 1' йМ" Заметив это, получим окончательно следующук> систем> безразмерных уравнений егиипионирного движении внзного газа: ди ди ди' 1др . 1 ! д Г ди', ) дх ' ду ' д л 2 дх ' й [ дх (,'' дхл д ~ (ди до)), д ~ (ди дыл1 2 д ( .~1,)~ до до до 1 др Р ' и — +Π— -1-го — гл = — — — + дх+ ду ' де/ 2 ду 1 ! д ! 'ди до 1 д ' до' (21) обозначим через К и будем называть „числом Й на бесконечности" или „числом К набегающего потока".
Далее, заметим„что в бесконечном удалении от тела скоростное поле однородно, скорости деформаций отсутсгвуют и движение вязкой жидкости совпадает с аналогичным движением идеальной жидкости. Следовательно, „на бесконечности" можно применять газодинамические формулы, изложенные ранее в гл.
1Ч и АГ! Для идеального газа. Будем, в частности, иметь (здесь в промежуточных выкладках временно появляется газовая постоянная ег', обозначение которой не должно быть спутано с числом Рейнольдса): 7И( подоьне |игы одинлмичяских яялвннН 43б ды дю дги~ 1 дд 21и — +и — +те — ) = — —,—.+ дх ду даат 2 дг д ' дя', 2 д -)- 2 — (,з, — 1 — -; — (и д1 ч Ч) (~, дх,1 дв( 3 дх д(ри) + д(ря), д(рю) 1) дх д» ' дг з з д)ч ~ рЧ (~1 - ~- — М" $' "~) — — р.
кгас1 ( — + (/г — 1) М" 1' ~— (21) /~ — 1 з 2 К вЂ” — М,л! Г01 Ч )С Ч вЂ” — Ч д)ч Ч) 1 = О, 3 2 р — —.(Ф вЂ” 1), й=п' И1 1( этой системе уравнениИ присоединшогся безразмерные граничные условия, о которых было в общих чертах сказано раньше. Лля кон«ретпого слччзя обтекания тела эти грани шые условия привелутся к заданию и безразмерном виде уравнения поверхности, равенства пу:по на неп величины скорости,. заданию распределения безразмерной гемпературы (теплосодержания) или нормальной ее производной, а также безразмерных значений скорости и температуры на бесконечности, равных при ранее выбранных масштабах единицам, и коэффициента давления, равного на бесконечности нулю. Безразмерная система уравнений и граничных условий движения жидкости или газа представляет некоторый самостоятельный интерес, так как позволяет изучать не ~олько отдельное единичное движение, но одновременно весь класс движений, отличающихся от данного масштабами линейных размеров тел, скоростей, температур и т.
д. Вместе с тем безразмерная система уравнений позволяег просто н наглядно установить условия подобия двух движений жидкости или газа, что полезно для моделирования натурных явлений в лабораторных условиях, для обобщения результатов эксперимента и др. Предположим, например, что рассматриваются два подобных стационарных обтекания вязким газом тела или системы тел, причем влиянием объемных сил можно пренебречь. Границы обтекаемых тел в обоих движениях будут геометрически подобны и подобно расположены по отношению к набегающим потокам, что входит в определение геометрического подобия, представляющего часть условий общего подобия явлений. При наличии геометрического подобия безразмерные 1т.
е. отнесенные к масштабам длин в сравниваемых явлениях) кгюрдинаты в сходственных точках будут выражаться одинаковыми огвлеченнымн числами. Безразмерные граничные условия будут также дипАмикА вязкой жидкости и >'Азл 1гл. тпн одинаковы; одинаковыми окажутся и безразмерные величины скоро- стей, давлений н другие в сходственных точках потока, представляю- щие решения безразмерной системы уравнений (21). Следовательно, одинаковы должны быть и сами безразмерные системы уравнений. Как видно из структуры системы 121), при этом в двух подобных системах должны иметь одно и то же значение величины К, М д и гб если задана температура на поверхности обтекаемого тела, то из безразмерных граничных условий для температуры будет еше выте- кать одинаковость отношения размерных температур на стенке в ка- ких-нибудь сходственных точках к температуре на бесконечности. Это отношение Т„: Т температуры на стенке обтекаемого тела Тя, к температуре набегающего потока Т, называют >лезглературным фаилгором.
Отсюда следует прямая те оремз подобия: если два стацио- нарных движения вязкой жидкости или газа при отсугствии объемных сил и лучеиспускания подобны между собой, то соответствующие этим движениям числа К, М„, л, я и — ' одинаковы для обоих Т„, Т рассмагриваемых дан>некий. Есгественно возникает вопрос об обраще- нии этой теоремы, т. е.
об установлении необходимых и достаточных условий подобия двух гидроаэродинамических явлений. Однако реше- ние этого вопроса упирается в необходимосп, сгрогого доказагельства теоремы о существовании и единственносги решений уравнений. что и насгояшее время сделано липп, в ряде простейших случаев.
Кроме того, разнообразие постановок задач о движении з~идкосги и газз гакже вызывает некоторые трудности. В слу >ас изотермпческого ста- пионарного обтекания тел несжимаемой вязкой жидкосгюо необходи- мыми и достаточными условиями подобия обтекания двух тел яв>шюгсш 1) геометрическое подобие тел и их расположения по отношению к набегающему погоку и 2) одинаковость числа К . При обтекании тел сжимаемым гааом, при отсутствии теплоотдачи на ~дТ поверхности тел,— =0', к предыдущим условиям присоединяюгся ',дп еще условия одинаковосги в обоих движениях чисел М „и 1з.
Число ч при этом можно считать одинаковьш, согласно рзвепсгву (6), или включать одинаковость з отдельным условием в тех случаях, когда это равенство не справедливо, например, в случае жидкостей. При задании температуры на стенке Т,„ к числу условий присоединяется еше условие одинаковости „температурного фактора". Аналогичное рассуждение, проведенное.
в более общем случае наличия объемных сил, например, сил веса, привело бы еще к необ- Ъ',, ходимости введения числа Фруда Р = — (д — ускорение силы тя= АИ '>г Т жести), а при нестационарносги движения — числа Струхала 8=— лдмнньннов движвннв по тРуБе ( ) иногда — ), где 7' — характерный для нестационарного движения, лг) заданный наперед промежуток времени 1например, время полного оборота винта и др.), и — число оборотов, или угловая скорость, Указанные только что величины: К, М, 1т, о, — ", г, 8 входят в число необходимых и досгз~очных условий подобия двух движений жидкости или газа.
Наряду с этими, как иногда говорят, „определвющими критериями" подобна имеются н другие также характерные для явления безразмерные величины, одинаковость которых в двух подобных явлениях является следствием подобия. Примером таких величин могут служить коэффициенты подъемной силы, волнового и индуктивного сопротивления крыла, коэффициент сопротивления трубь> 1см.
далее) и др. Для двух подобных обтеканий тел эти коэффициенты имеют одинаковое значение, однако они являя>тся лишь косвенными, „неопределяющими" критериями подобию В пеподобных обтеканиях геометрически подобных н подобно расположенных тел „неопределяющие" критерии являются функциямн „определяющих". Вспомним, например, формулы зависимости коэффнциен>ов подъемной силы и волнового сопротивления пластинки от числа М.
Ус>ановлением условий подобия. как строгих, ~ак н прнолиженных 1не все условия подобия па самом деле одинаково важны), занимается специальная о>ворья по>>й>бия, которая в пос:шдпее прсмя, и связи с развитием экспсрн>ннпшп,пых исследований, получила большое распросгранснне.' ч 79. Ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости по цилиндрической трубе Одним из наиболее простых случаев дни>кения вязкоЙ несжимаемой жидкости является так называемое ла,винарное (слоистое) движение по цилиндрической трубе произвольно~о сечения, при котором линии тока — прямые линии, парал:>ельныс оси трубы. Как показыва>от опыты, такое движение осуществш>ется и цилиндрических трубах с различными формами сечений, если только число Рейнольдса не превосходит некоторого определенно~о „критического" своего значения, после чего движение перестает быть ламинарным, >астицы жидкости приобретают сложные траектории, и приводимое в настовщем параграфе решение теряет свою силу.
Практически излагаемые сейчас результаты имев>т значение лишь при движениях с очень т Литература по >еоряп подобия и моделирования в разны.> областях механики весьма обширна. Удовольствуемся рекомендацией кпнгп Л. И. С ел о в а, ,Методы теории размерностей> и теории подобия в механике', Гостехнздат, 1944. Изложение гндроззродннамяческой теории подобия можно найти в нашей монография, дтподннзмина пограничного слоя", Гостехяздзт. 1Ч41, стр. 37.
(гл. еш динамика вязкой жидкосги и глзл малыми а<оростями, или в тонких капиллярах, или, наконец, при движении очень вязких жидкостей. Подробнее об условиях существования ламинарного режима течения и явлений перехода его в более сложный, турбулентный режим будет сказано далее. Направим (рис. 1бб) и ш ось О» по оси трубы и 1 будем предполагать тру! О' г бу бесконечно длинной. 1 а поток — направленным 1 вдоль оси труоы, так что I г из трех компонент скорости (и, и, те) остается лишь одна ю, а остальРис. !бб.
ные две равны нулю. Отвлекаясь от температурных вличний, т. е. считая поток ичотермическим, а следовательно, плотность р и коэффициент вязкости 1с — постоянными, будем имегь, согласно 1141 и уравнепик1 черазрывпосгп, сисгсму уравнений 1 др 0 =-- —— дх ' 1 др О= — —— а дг дш 1 др деа „дтп' дек' д» й д» ' 'д.ге ' ду» ' д»»,' — = — О. дш д» Из этой системы сразу следуег, что тв представляет функцию только х и у, а р — функци~о только».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
