Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Иными словами, если провести нормальные к оси трубы сечении, то во всех таких сечениях распреде,чении скоростей одинаковы, а поля давлений однородны; давление меняется только от сечения к сечению, сохраняя повсюду в данном сечении одинаковое значение. Предыдущая система равенств сводится к одному: (22) Левая часть итого равенства представляет функцию только от х и у, правая — только от; при независимости координат друг от друга это может быть лнпп, в случае посгоянсгва левой н правой частей равенства, ч 79) льмннлвнов движвнив по твуБк Введем удобное для дальнейшего обозначение: — = сопя = — —, др . Др г 122') !!оставленная задача с математической с~проны совершенно зпа,югнчна известной задаче теории упругости о кручении призматического стержня и легко решается для простейших контуров сечения трубы.
Если сечение трубы представляет эяпгилс с полуосями а и К уравнение которого в плоскости хОу будет — + — =1, аз аз то решение уравнения 123) можно представить в форме: 124) причем постоянная Л определяется из условия удовлетворения этого выражения уравнению 123): — 2А(-',+ а,) = — ' — „; и будет равна ар ааьв где Лр — падение давления на участке трубы длины 7. При равномерном движении вязкой жидкости по цилиндрической трубе перепад давления Лр играет роль движущего перепада, уравновешиваемого силами сопротивлений трения, направленными против движения жидкости.
Отсюда непосредственно вытекает, что давление в цилиндрической трубе должно падать вниз по течению, а следовательно, Ьр ) О. Для трубы переменного сечения, где движение может быть как ускоренным, так и замедленным, такое заключение наперед сделать нельзя. В конкретных расчетах перепад давления Ьр на участке трубы длины 1 либо задается непосредственно, либо, как далее будет показано, может быть легко выражен через другие заданные величины; секундный расход жидкости сквозь трубу, среднюю по сечению или максимальную скорость.
Уравнение 122) сводится к линейному уравнению в шстных произвогппчх вгорого порядка н плоскости мОрп даю дам Лр '7ятэ =- — + — „=: — —, 123) длз дуа Нг' ко~орос должно оыгь решено при сзгедуюпгем гршпгшоч условии па ьопггрс С нормального и оси сечения цилиндра: тэ=О на С. 490 динлмикл вязкой жидкости и глзл [гл. шп Таким образом, получим энюру скоростей в любом сечении эллиптической трубы: ар азаз г ха уел 124') — 2, г -4-ая 'Г, аз аз,)' ! раничное условие (23') при этом, очевидно, удовлетворяется.
Заметим, что изотахами служат подобные контуру Гу (не софокусные) эллипсы. В случае круглой цилиндрической трубы радиуса а будем вместо 124') иметь, полагая б †. — а и г =- 1/хз +уз: то = — — (а- — хэ — уь) = — (ая — - гзз). д' 4эг 4иг (24а) Ь р алая 2я) аз+ ь'"' ' после чего распределение скоростей 124') перепишется в зиле: ая Ьз,) ' РУ) Аналогично для круглой' трубы аз Ьр чд 4,м 12б) причем 120') Определим теперь объел~иый расход сквозь сечения рассматриваемых труб и связь между расходом и перепадом давления на единицу длины трубы. Совсем просто вычисляется расход сквозь сечение круглой трубы.
Для этого достаточно проинтегрировать элементарные расхолы по кольцевым участкам, написав вар (,') = ~ то ° 2кг' агл = — — Р ~ (аз — г"'12ге йг':, 4я1 14ак показывают формулы (24') и (24"), скорости по сечению эллиптической трубы распределяются по закону эллиптического параболоида, а по сечению круглой трубы — по параболоиду врагцения.
Последнее распределение иногда называют „параболой Пуазейля" по фамилии французского ученого, известного своими исследованиями движения жидкости сквозь капиллярные трубки П840 г.). Из распределения скоростей (24') определим максимальную по сечению скорость на оси эллиптической грубы: ьч 79) и получить 491 ллминлгчюв дввжвнив по геэьь ангар 8и1 (27) 1;1 чагагг ааау с 8И1 чва 8И1 (27') сравнив с (26), получим важное соотнонгеиие ме'кду средней по сече- нию и максимальной на оси скоростями: 1 чь 2 пгал (27 и) Определение расхода сквозь эллиптическую трубу сведем к определению расхода сквозь круглуго трубу, если в интегральном вьгражении расхода тогт.сг)гг- и ~ ~ (! .
-' — „— —,1гг(л г1гг у'-д а" Ьа1 пг:южим: х-=-ггх', у — Ьу', г' —.. )1х' +у'; гогда интеграл по площади эллипса сведется и интегралу по плогпзди о' единичного круга и легко вычислится: С) =--Нг„л„. ад ~ ( 1'1 — Х'а — гг'З) ггн'Сгб'="- г — ') -' о Буделг иметь по (25): 1 чааьаар Сс 2 " твлгла ЧИ1 (на+ Ьь) (28) 1 РеанЯЯ скоРость тоеч, согласно (28), окажетса Раиной: 1 теоР 2 сошьем' (28') Таким образом, как в случае круглой, так и з случае эллиптической тРУоы сРеднЯЯ ело)госгггь Ровна гголовггне еналсгг.гтльной, Это приводит к известному закону !!уазейля: при ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь круглую цилиндрическую трубу секунднын объемный расход пропорционален перепаду славления на еДинИЦУ Длины тРубы и четвертой степени ее радиуса и обратно пропорционален коэффициенту вязкости. Зная расход 0 и площадь сечения трубы а=-яав, найдем среднгокг скорость: 492 динАыикл вязкой л(идкости и ГлзА )г>>.
Тш Из выведенных формул заключаем, что по заданным геометрическим параметрам трубы, коэффициенту вязкости и одной из характерных для потока в трубе величин: расхода, средней или максимальной скорости, можем определить потребный для создания движения перепад давления Ьр на некотором участке длины 1. Этот перепад давления Ьр уравновешивает сопротивление движению жидкости, создаваемое силами вязкости на стенках трубы, благодаря чему и получается равномерное и прямолинейное движение жидких частиц.
Величину перепада давления бр можно рассматривать как количественное выражение сопротивления участка трубы длины б Оощеприняты следующие два выражения величины сопротивления круглой трубы через скоростной напор, составленный по средней нли максимальной скорости: а~ар 2 ('29) Р~аьааа .1р= 29 — —, а 2 где (4=-2а — диамегр трубы, а й и ф — так называемые „коэффипиенты сопротивления". "!тобы определить коэффициенты сопротивления >. илн ф в рассматриваемом конкретном слу ше ламинарного движения в круглой трубе, заменим в (29) лр его выра>копнами через среднюю или максимальпу>о скорости по (27') изи (27"). Пос.(с простых сокращений будем иметь: б4р, >. = —, р(аа,(( ' 6= 4р рм„,„а Введем в рассмотрение следующие два „числа Рейнольдса": Рмщааа а — "'ааааа ~а ар Тогда окончательно получим формулы сопротивления: 64, 4 (30) Из этих формул следует, что коэффициенты сопротивлений или (р, представляющие по ~29) не что иное, как особым образом составленные безразмерные сопротивления или перепады давлений в трубе, являются функциями соответствующего числа Рейнольдса К.
Если два ламинарнь>х течения в цилиндрических круглых трубах 493 ~ч 79) льминягнов движвнив по твувв (31) В силу равномерности и осесимметричности движения можно составить простое условие равновесия столба жидкости (рис. 157) в трубе под действием движущего перепада давления Ьр, приложенного к сечению трубы с площадью паа, и сопротивления трения на т„,.тла 1 стенке, равного пронзведе- ПИЮ НаПРЯжЕНИЯ ТРЕНИЯ тм (Р-аР1Ла' ', М Я.Ла' па боковую поверхносгь 2па ° 1 участка 1 трубы: Ьр яаа = 2яа1. т„г г)тсюда следует, гго между Рнс. 157. движущим перепадом и напряжением трения существует простое соотношение а тя= 1ор Я 21 (31') которое можно сформулировать так: напряжение трения на поверхности круглой цилиндрической трубы равно перепаду давления на участке длиной в половину радиуса.
формулы (29) на основании (31') дают следующие выражения напряжения трения: я =- 3 Ртоьэп ;„. = — Ртваа:. (32) Для дальнейшего важно отметить, ~то формулы (29) и (32), так 'ке как н соотношение (31'). янляются общими формулаии движения подобны между сооою, то соответствующие им числа К равны друг другу.
Если же эти числа не равны, а следовательно, движения не подобны, то, в полном соответствии с тем, что было сказано в конце предыдущего параграфа, коэффициенты сопротивлений представятся некоторой функцией (30) числа К, по которой может быть вычислено сопротивление при любом ламинарном движении. Зная диаметр трубы и среднюю илн максимальную скорость, по формулам (29) н (30) можем определить сопротивление Ьр движению жидкости с заданными коэффициентами вязкости р и плотности Р на любом участке длины Л Наиболее употребительны первые формулы равенств (29) и (30), заключающие коэффициент Л и среднюю скорость тв я. Введем теперь в рассмотрение напряжение трения на стенке круглой трубы, раяное по закону Ньютона 1гл.
чш аинампкл вязкой жидкости и глзь в круглой цилиндрической трубе, справедливыми не только для ламинарного, но и для так называемого „турбулентного" движения, о котором будет речь впереди; формулы же сопротивления (ЗО) верны только для таминарного режима. Подставляя значения й и у из (30) в (32), получим: 4вшср (32') 2М'мв,. 'м л Эти же результаты гюлучин, вычисляя -.„, по формулам (31), (24"), 127') и (27"). В случае трубы э:шиптического сечения напряжение трения на стенке меняется по периметру сечения, так как поток не симметричен. Интересно отметить, что среднее значение напряжения трения по периметру эллипса меньше, чем напряжение трения в круглой ~рубе той же плоп1ади сечения. Аналогичный результат имеет место и по отношению к объемному расходу: при том же перепаде давления расход сквозь трубу эллиптического сечения меньше, чем через равновеликое ему по площади сечение круглой трубы. Распределение скоростей по сечению круглой цнлинлрической трубы (24") можно получить и иначе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
