Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Далее, при стационарном движении, согласно уравнению неразрывности (16): йч(рЧ) = О, следовательно, р дг (с+ 2 ) = д! ~РЧ(с+ — )~. Уравнение баланса энергии (17) в сделанных предположениях отсутствия объемных снл (Г= 0) и стационарности ! — = — 0) примет удоб- гдР дс ный для дальнейших применений нид: ;,~риФ+7) Р„.б('+ ') . - !с го! ЧХЧ+ —,РЧйчЧ1 = О. 2 й ' (18) следовательно, после простых приведений получим такую окончательную форму уравнения баланса энергии: р —,с+ —, = — РЕ Ч+ — + и г. !гг) дР дс(, 27 ' дс + д!ч ~ !сигай (!гг) — ! Ч Х го! Ч -" — РЧ йч Ч+ — ' 8тад с1.
(17) В дальнейшем удовольствуе»ся рассмотрением преимущественно стационарных движений, причем в таких условиях, когда можно пренебречь влиянием объемных сил. В этих предположениях уравнение баланса энергии упростится. Действительно, прн стационарном движении 77) овщив ллвнвпнз движения вязкой жидкости 479 В этом уравнении использовано принятое в й 75 о<юзначение (5) числа а; число а для совершенных газов будем считать постоянным.
Если к выведенной системе уравнений присоединить уравнение Клапейрона ~ =1сТ, Р которое можно переписать в виде л 17 Л вЂ” 1 — = — ° з'с Т= — 1, Р усг Р й и уравнение (3) в форме: (19) 1йй) то в результате пулем иметь обгцуго систему селга уравнений с семью неизвестными: и, и, тв; р, Р, С 1». г См. по этому поводу специальный очерк: „Заметка об условиях на поверхности соприкосновения жидкости с твердым телом", помещенный в конце второго тома монографии „Современное состояние гидроаэродииамикв вязкой 'кнлкости" (под ред. С. Гольдштейна).
Гос. нэд. иностр. л-ры, М„ 1948, стр. 356. Система уравнений движения сжимаемого вязкого газа, таким образом, оказывается замкнутой — число уравнений совпадает с числом неизвестных. Для решения этой, в общем виде весьма сложной нелинейной системы уравнений в частных производных необходимо еще знать на~альные и граничные условия задачи.
Укажем. что в своей общей постановке вопрос об условиях существоззния и единственности решения составленной системы уравнений до снх пор не решен. Соответсгвующие условия обычно указываются в каждом отдельном случае. Отметим лишь одну характерную физическук> особенность движения жидкостей и газов с внутренним трением. !1рн обтекании неподвижного твердого тела вязкой жидкостью обращается в нуль не только нормальная компонента скорости (условие непроницаемости, имеющее место н в идеальной жидкости), но также и касательная компонента (условие „прилипания" жидкости к стенке илн отсутствия скольжения жидкости по стенке).
В число граничных условий рассматриваемой задачи входит, таким образом, равенство нулю скорости жидкости на неподвижной твердой ~ранице илн, при движении тела в жидкости, совпадение с соотяетствующими скоростями точек поверхности тела скорости частиц жидкости, прилегающих к поверхности тела. Это граничное условие долгое время (еще в середине Х1Х в.) оспаривалось некоторыми исследовате:шми, но в настоящее время подтверждено многочисленными прямыми и косвенными опытами. ' Оговоримся, однако, что в разреженных динамика вязкой >кидкос>'и и газа (гл.
юп газах условие „прилипания" газа к твердой стенке, не имеет места; в этих условиях наблюдается „скольжение" газа по стенке, которое можно считать пропорциональным производной по нормали и поверхности обтекаемон> тела от касательной составляющей скорости. Не приходится и >.оворить о том, что условие „прилипания" совершенно теряет свою силу в сильно разреженных газах и, вообще, в тех случаях, когда длина свободного пробега молекулы становится велика по сравнению с размерами тела. В этом случае основное зна'>ение по сравнению с соударением молекул друг о друга приобретают удары молекул о поверхность тела, и предположение о „прилипании" газа к >вердой поверхнос>и теряет всякий смысл.
Впрочем, такого рода ,.движе ия" газа выходят уже за рамки механики в узком смысле слова и составляет скорее предмет изучения кинетической теории газов. ' Заметим, ~го вопросы обтекания тел разреженнычн газами приобретают в последнее время практическое значение в связи с полетами реактивных снарядов па больших высотах, гле разрежение воздуха очень велико'-. ! раничные условия для температуры могу> быть весьма разнообразны. Наиболее часто встречается задание распределения темпера- гуры по поверхности обтекаемых тел или на стенках каналов, по которым происходит течение жидкости (газа), а также температуры набегающей жидкости „на бесконечности".
В других случаях задается распределение теплоотдачи, т. е. секундного количества тепла, проходящего через единицу площади пояерхносги. Согласно закону Фурье (4), последнее эквивалентно заданию производной от те>щературы по направлению нормали к поверхности обтекаемого тела или канала.
В такого рода граничных условиях заложено предположение об огсугс>вин „скачка гемператур" между. обтекаемой стенкой и „прилила>ощими" частицами жидкости. Эти граничные условия хорошо подтверждаются опытными исследованиями в жидкостях и нераареженных газах (точнее, при малой величине длины свободного пробега молекул по сравнению с размерами обтекаемых тел или каналов). В случае же разреженных и, особенно.
сильно разреженных газов изложенные граничные условия тернет свой смысл. В разреженных газах параллельно со „скольжением" газа образуется „скачок" температур, который, так же как н скорость скольжения, можно принять пропорциональным температурному градиенту в жидкости вблизи стенки. В сильно разреженных газах само понятие температуры (так же как и скорости) нуждается в некотором уточнении, что и делзется в кинетической теории газов. В число граничных условий входит епге задание давления в какой- нибудь одной точке, обычно вдалеке от обтекаемого тела, во входном сечении канала или др. > См.
Л. Ландау н Е. Л и ф>пни, Механика сплошных сред. Гостехяздат, 1944, стр. 444. -" По этому поводу сч. две статьи Т зян а в гл. статей „Газовая динамика". Из>, впостр. л-рьь !950, стр. Зц> — 557. 4 781 подавив гидяодиньмичвских явлений 481 Начальные условия фигурирусот лишь в нестационарных задачах и представляют собою аадание пространственных распределений скоростей и температур в некоторый „начальный' момент времени. Прежде чем перейти к иллюстрации характерных особенностей решения уравнений авижения неидеальной жидкости, остановимся на важном для практики вопросе об условиях подобия двух движений реальной жидкости. й 78.
Понятие о подобии гидродинамических явлений. Безразмерные уравнения движения вязкой жидкости и газа. Условия подобия Два физических явления называют подобными, если величины одного явления могут быть получены из соответствусощих величин другого, взятых в сходственных пространственно-временных точках, простым умножением на одинаковые для всех точек множители, называемые козфсссимиснслами подобия.
Пусть у' — некоторая характерная величина для первого явления. с" -- значение той же величины в сходственной пространственно-временной точке второго, сравниваемого с первым и подобного ему, явлешся. Тогда одинаковое для всех пар сходственных точек отношение величин и определиг коэффициент подобия й . Выберем теперь совершешю с~роизвоссьно какую-нибудь одну цару сходственных точек, почемузноо особенно характерную для сравниваемых явлений, например, „бесконечно удаленную" или „критическую" точку в случае обтекания тел, гочку на оси трубы в установившемся протекании жидкости и т.
и. 11усть значения везичиньс в этой характерной паре точек будут, соогяетсгвенно, с", и с",. Тогда по определеннсо подобия имеем: сс со'-~о плн, исклсочая коэффициент подобия, Назовем пару величин с, уо массислабами величин у в сравниваемых о' ссежду собою двух явлениях. Из последнего равенства вытекает, что в любых двух сходственных точках подобных между собои явлессий безразмерные отношения величин к своим .носштабалс одинас;овы.
Иначе говоря, два ссодобных явления различаются лшпь осасслабамсс величин. Выделим в данном явлении характерные для него масштабы; времени, линейных размеров, скоростей, пссотностей, давлений, температур с~ других определяюших явление величин. Маса габон яреиени может 31 зэч ыс.л с.лы; чйй динамик> в>жной жидкости и глзл 1гл. ч>п х па (>', » на (к. и нз 1:,и, и на 1Г,,т', р на й ь, Т на Т,Т, зна(з; те пз 1>,.в >' на».
Исключение сделаем лишь для давления р, приняв вместо отно>некиа р,'р,. известный уже нзм по предыдуп>ечу коэффипиент давления р: Это вырзженпе и примем за безразмерное давление. Тзкич оГ>разом, лля давления произведем замену: р на р + — й 1';,р, Подчеркнем, что эта усгупка общепринятым обозначениям не имеет существенного значения и не стави г давление в какое-то особенное положение. служить.
например, период колеоательного процесса, время прохождения телом какой-нибудь характерной длины (в частности, длины самого гс»а> и др.; масштабом длип. --линейный размер тела, диаметр трубы и др.; мзсп>табами скоростей, давлений, плотности, температуры и др.— соогвегствуквцие их значения в набегающем потоке „на бесконечности" илн те же величины, построенные по заданным объемным, массовым, тепловым расходам, моп>костям и другим харак>-ерным для явления и известным наперед величинам. Разнообразие выбора масштабов явления велико и не может быль заранее ограничено какими-то общими указаниями.
Если выразить все величины„служащие для описания явления, в частях своих „мааптабов", то эти величины станут безразмерными. Такими же безразмерными окажутся н уравнения, характериаующие явление, и граничные и начальные условия, если входящие в них вели>ины заменить произведениями масштабов па со»гветсгв>.книне бечрззчерные величинь>. Еделзеч это в только .го зьп>еденной системс уравнений динамики вязкой жилкосгн, при >ем уловольш куемся лгп> простоты случаем стацио>ирного обтекания гела при отсутс>вии обьемных снл.
В этом случае время явно не вхолит и маантаб времени можно не вводить; точно тзк же не придется вводить масштаб объемных сил. Примем зз масштабы: один из размероз тела ( и величины „на бесконечносги" Ь',, р„й, Т, >'„и т. д. Условимся временно 1'это не приведет здесь к путанице) обозшшать безразмерные вели чины теми же буквами, что и размерные. Тогда замена разменных ве>ошин пз Г>езрззчерные свелстся к чзмене: Замечая, что масштабы являются величинами постоянными, не зависящими от координат, легко проведем указанную замену в системе уравнений динамики вязкого сжимаемого газа; будем иметгп 1:;„ — гйч)рЧ) = О, / 1 / 1 — бгч ) р,. )г .2Ч, '/ /+ — 1/,,)/,' — ' ь Ипн11 — /+ 1' 1:")— 1': 2 — > / го1 Ч ' ' Ч - —, У г) )ч Н ) ~ —.= О, / /г Пч ' /ь рм Разделим обе час/и первых трех равенств па козффициенг при безразмерном копвективном ускорении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
