Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 77
Текст из файла (страница 77)
=О~ В, =В„,=В„,=... =О, АРН =с$г С, т. е. довольствуясь решением, содержащим соз з, я, кроме того, представляя х по формулам, помещенным в начале предыдущего параграфа, как функцию 1ч 11 и з: х = г* соз з = с зп 1 з1н т, соз в =.— с)/),я — 1 у' 1 — 11з соз е, получим следующее выражение потенциала скоростей поперечно набегающего со скоростью 1г вдоль оси Ох потока: р=сЪ' сове ~~Єфф,(А)Р,',(и)+с1г )là — 1 у'1 — васозз, э=1 или, используя определение присоединенных функций Лежандра 160), О =с$' ~ХŠ— 1 )~1 — рай~ С вЂ”" — "+ 1) созе. (61) — — у%ч НОЕ ФРЕ ч — 1 Лля определения постоянных С„, как и ранее, следует составить граничное условие на заданной поверхности обтекаемого тела.
В этом случае не осесизснетричного движения функции тока отсутствует и приходится непосредственно вычислять нормальную скорость 1г„=— дл и приравнивать ее нулю. Несколько облегчая вычисления, выпишем в выбранной системе координат (А, р) условие, что при непроницаемости поверхности обтекаемого тела элемент дуги его мериднонального сечения параллелен составляющей скорости в меридиональной плоскости (условие скольжения жидкости на поверхности тела) пРостРАнстВенпоР еезВихРВВОВ дВижение !ГЛ.
АЧ1 (62) А 1 Заменив входя!дне сюда выражения вторых производных на осно- вании дифференциальных уравнений функций Р„и ~„: (1 — Ая) — л —," = 21 ах" — и (и+ !) 1,1„, дяР„дРаа (1 — !ая) —" = 2р —" — и (и + 1) Р„, дия ИР получим после простых приведений ч 1 5 аа= 1 ГЛ ! ~Ч дд„дР„ скал сова ди Р 1 — вв Л ~ Ч аа! дР 5=1 I 'Л5 — ! ~~ ~Г ! — Р в 1 или, вспоминая выражения элементов дуг координатных линий и проекций градиента потенциала на направления этих линий, 1 ди 1 дт На с!1 ! — — ' = — Н„с!!а 'Надл " ' Н,.ди' Отсюда вытекает искомое граничное условие аде Нздв дь яд!= ад —,',!Р в котором Х является заданной функцией а, согласно уравнению контура обтекаемого тела в меридиональной плоскости.
Составляя частные производные —, — от выражения (61), будем иметь: дт дч дЛ ' дР аа 1 +)/'(1, — 1)(! — ра) в С„" —,"," ',", аа = 1 1 дт I лз — 1/ъа дадаадР„ С!асоСОзадР ' 1 ! — Ря(„й,~ 'а ИЬ Ыл + У(Л — 1)(! — 251 ~' ф— "„~ — "'',Р„". 6 67! ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТРЛ ВРАЩЕНИЯ 429 Подставляя эти выражения производных в (62) и испо:п,зуя ранее выведенные значения коэффициентов Ламе (53'): Ло — 1ло * ло — Но Нл =со —, Н =сов Ло ..-1 ~ Р ! ~о получим после очевидных сокращений ~Ь С„((Л + р — ) —" — „" — и(и+ 1)(Я„-„йд" + — „"Є— )~ = ал =Л+и —, и1л Имея в виду, что А представляет заданную функцию от Р, перепишем граничное условие в окончательной форме так; ~а (1н) д1)„аР и ~ а(лй) ин иЛ ан '5'С ! — ' —." — и — и(и+1) — ф Р )! =- —. (63) йй о В / (Р о=а Рассмотрим иоиеречное аб1иенание эллиисоида вращении Л = Л, продольное осесимметричное обтекание которого было рассмотрено в предыдущеи параграфе.
В этом случае граничное условие (63) можно выполнить, положив Со= О при и ) 1; тогда будем иметь (Р,=й): с'1 ~ "о ( йЛ') 2!Ч1 (Ло)~ = Ло Огкуда, согласно ранее приведенному выражению ф1(Л), следует: Ло (64! 1 Ло 1 Л„+1 2 — — — — Ло !и —" 2 Ло — 1 1 Напомним, что здесь Ло = —, где е — эксцентрнситет эллипса, представляющего меридианальное сечение эллипсоида. Потенциал скоРостей рассматриваемого поперечного обтекания эллипсоида вращения Равен по (61): 1 Л + 1 Л "о(2 !" Л !+ ! Ло) о=сЛл,~/1~ — 1~/ 1 — йясово о + ! (65) 'о '.
Л+ 2 — — ло !и— "о 1 2 Ло — ! скорости определятся простым дифференцированием (65); ! дт 1 дт 1 дт Ь' = — —, Нлдл' и ди' ' Нодо 430 пгоствлнстванноз ьвзвихвевоя движении 1гл. чп Решение задачи о продольном и поперечном обтекании тела вращения приводит, как это видно из содержания настоящего и предыдущего параграфов, к необходимости проведения в каждом отцельном случае трудоемких вычислений.
Эти вычисления могут быть значительно облегчены, если рассматриваемое тело имеет значительное удлинение. $ о8. Продольное и поперечное обтекание тел вращения большого удлинения. Приближенные выражения граничных условий. Применение тригонометрических сумм для определения коэффициентов А„ и С„ В большинстве практических приложений прнхоцится иметь дело с телами вращения, удлинение которых, т.
е. отношение цлины к максимальной толщине, довольно велико (порядка 8 — 12). Так же как и в теории крылового профиля, это объясняется хорошей обтекаемостью такого рода тел реальной жидкостью. Расчет обтекания тел вращения большого уцлинения может быть произвецен приближенным методом, значительно более простым, чем изложенный в предыдущих параграфах. Изложим вкратце основную идею этого приближенного метода, принадлежащего Я. М.
Серебрийскому.' Как уже было упомянуто ранее, основным затруднением в решении задачи является определение коэффициентов А„прн продольном и ф— при поперечном обтеканиях тела. Чем проще будет связь между 1 и у., определяющая форму контура в меридиональной плоскости, тем меньше коэффициентов А„, С„можно брать в разложениях потенциала скоростей. Самая простая связь представляется равенством 1 = сопз1, т. е. разобранным ранее случаем обтекания эллипсоида. Отсюда следует вывод: чем ближе по форме исследуемо тело м эллипсоиду, тем легче может быть разрешена задача. В связи с этим решим прежде всего вопрос о выборе положения начала коорцинат на продольной оси тела.
Совершенно так же, как при решении плоской задачи об обтекании крылового профиля произвольной формы (й 48 гл. ч), заметим, что фокусы уцлиненного эллипсоида вращения находятся посредине отрезка, соединяющего точки пересечения наибольшей оси с поверхностью эллипсоица н центры кривизны поверхности в этих точках. Начало координат следует выбирать совпацающим с серединой отрезка, соединяющего фокусы; при таком выборе начала координат, чем ближе обтекаемое тело к эллипсоиду, тем меньше уравнение контура будет отличаться от простейшего равенства Х=сопзг. Если обтекаемое тело имеет большое удлинение, то поверхность его располагается в области значений 1ч мало превышающих значение Х= сйч= 1 или 1= 0, соответствующее отрезку оси 0», соеди- г Я. М.
Серебри йс ки й, Обтекание тел вращения. Прикледн. матегь и механ., т. УШ, 1944. 2 68) овтяклнив тял втлщвния вольшого тдлннвния 48) пяющему фокусы. Рассматривая значения функций Я„(1) и — „при л, лО лишь немного превышаюп1их единицу, убедимся, что при достаточно малых ч будут иметь место равенства: (~„=1п —.+-7„, — = — —., +В, (66) где 7„и 3„— малые по сравнению с первыми членами поправки. Замечательно, что, согласно равенствам (66), при малых т все функции Я и —" в первом приближении не зависят от индекса и.
лая Основное граничное условие (57) продольного обтекания в первом приближении будет, согласно (66), иметь вид: ЧЧ 2Ач ЛРч ~Ы л(п 1-1) ~1,» ' ('67) — — ч а„соз(а — 1) тй У 2Ач ИР„ ьм л1и+11 чн (67') из которого можно вывести выражения коэффициентов А„через а„. Тзк, например, при т=5 имеем: 3 3 А =-а — — аз+ — аю 5 +35 9 А =а — — а.
7 16 64 А = — а, Аа= — а. 4 7 Ф а 21 5' 8 32 5 и 15 11редставив контур меридионального сечения приближенным тригонометрическим разложением в эллиптических координатах 5Я = ~~У ач соя (л — 1) тЬ ~68) определим тем самым числа а„, а уже после этого, согласно тождеству (67'), и величины коэффициентов А„, что и дает первое приближение к решению задачи об осеснмметричном продольном обтекании удлиненного тела вращения. Если удлинение обтекаемого тела велико, то указанное приближение оказывается для практики достаточным. При желании можно учесть в формулах (66) остаточные члены 7„ " 3я, что приведет ко второму и следующим приближениям.
ЛР„ где производная —" представляет известную функцию величины нй й =спят). Ограничивая сумму некоторым фиксированным числом членов л = т, можно, пользуясь приведенными в 2 66 выражениями полиномов Лежандра, написать тождество: (гл. Рн вРостРлнстввннов ББВВнхРРВОВ дйижвния имеет порядок единицы. Рассматривая граничное условие (63), видим, что стоящая в квадратной скобке слева величина мала но сравнению с величиной —" — ". Действительно, ьь (ХР) л1;) БР„ ЛР Лд — — = — ° те = 1 Даь ах,! ь,( ='!п —. 1 ч Таким образом, в квадратной скобке в левой части равенства (63) 1 1 первый одночлен имеет прн малых '. порядок — „„второй — 1л —,. Из приведенного рассуждения следует, что на поверхности удлиненного тела вращения, где с мало, точное граничное условие поперечного обтекания (63) может быть заменено на приближенное: 1 тЧ ьтРьь !а А или «ь ьь=1 (69) Сравнивая это граничное условие с приближенным граничным условием продольного обтекания (67), видим, что между искомыми коэф- фИЦИЕНтаМИ Ач И С„СУ1ЦЕСтВУЕт ПРОСТОЕ СООТНОШЕНИЕ: и (69') В первом приближении обе задачи — продольного и поперечного обтекания — решаются одновременно и сравнительно легким путем.
Аналогичным путем решается вопрос о поперечном обтекании удлиненного тела вращения. При плавности контура координата 1 1 изменяется вдоль всего контура также плавно в пределах от 1 + — $,„ь, 1 1 до 1+ — 1,,„ь ВРи этом )ь остаетса в пРеделах .-"-1; таким обРазом, л1 можно считать, что производная — имеет порядок ".„,,„, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
