Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 76
Текст из файла (страница 76)
1 2 х — ! ' 1 . з А+! 3 !3з(х) = — (Зхз — !1! —— 4 х — 1 2'' ге (х) == — !'Зхз — Зх) !и — — хз-+— А+1 5, 2 4 ' .к — 1 2 3 и, вообще, ГЗ„(х) — !Г 1п + Г1 х+1 (2 х — 1 7х '"' (2п — 1)х! — 1 Р„(х), 1 1е 2е х Зх 5х При желании можно пользоваться реккурентным соотношением (и+ 1) С;Гп, ! (х) = (2п+ 1) х~г„(х) — п41„, (х), совершенно аналогичным реккурентному соотношению для полиномов Лежандра. Функция Р„, как папином л-ой степени, обращается в бесконечность нри бесконечно возрастающем аргументе, функция же Я„ при этом стремится к нулю, но зато обращается з логарифмическую ' Гх Унтт оке р н Г.
Ватсон. Курс современного анализа, ч. И. Госгехнзаат, 1934, стр. 91 н сз. в силу независимости А И р будет следовать, что каждая нз частей равенства лолжна быть постоянной, которую можно выбирать совершенно произвольно. Полагая эту постоянную равной и (и + 1), где и— целое положительное число, получим для определения Г. и М два обыкновенных линейных уравнения второго порядка лгжандрова типа: 422 пвостванстввнное вззвнхеввое движение (гл. тп ФО е(Л, й) =с%/ ~~~~,АЯ„(Л)Р„(у)+ЛАЗ; (55) здесь А„— неопределенные коэффициенты, значение которых зависит от формы обтекаемого тела.
Для определения коэффициентов А„найдем прежде всего выражение функции тока ф. По обшим формулам (35) Э 63 и (53') будем иметь: дф Н~Н, дт дт — — — — — с (1 — ра) аЛ = Н„ан д," дф Н.Н, дэ дт — = — ' — = с(1Я вЂ” 1) —, дн Нь дЛ ' дЛ ' или, после подстановки разложения (55): дэ — ' = — саУ [(1 — у.а) ~~ А,߄— "+ Л (1 — ра)~, в=а Еы — =с ( [(Лв — 1) ~~,'А„—,Р„-г-н(Лв — 1)~.
я=о Переписывая второе равенство в виде дй ~д=с'р' (Л' — 1)[Ао ~'Ро+,5',Аэ — „," Р +р~ ч=г и полагая коэффициент Аз=О, подставим под знак суммы выражение для Ра из основного дифференциального уравнения функций Лежандра (54'): 1Л1яйР1 Р (л+1) Лн! я !' '(1 йа) =", бесконечность при х= -1. В случае внешнего обтекания тела координата Л = ей Е может достигать бесконечных значений, а координата р ограничена. Принимая во внимание, что потенциал скоростей возмущенного движения (т. е.
полного обтекания за вычетом однородного потока со скоростью, равной скорости на бесконечности) должен стремиться к нулю при удалении от поверхности тела, можно вне отрезка оси Ол ( — с ( в с. с) представить полный потенциал скоростей в виде суммы потенциалов скоростей возмущенного движения и однородного потока, набегающего на тело со скоростью, на бесконечности равной $' и направленной вдоль Оан $66) пзодо!!ьнос оьтзкьник тсл в! лщзння Тогда будем иметь: ч=! Интегрируя по р, получим окончательное выражение для функции тока: ф= — — сз)г (Лв — 1)(! — рв)~ У " —." — "+1 ~.
(66) з в Г ъ-~ 2А„лс7„ОР„! 2 1.2зл(л+1) ДЛ ДЗ ч Уравнение „нулевой" поверхности тока будет: —." — ч+ ! = О. Х 2А„ЛС1„арч л(в+1) лЛ ф. в=! !57) Сравнивая его с заданным уравнением профиля тела вращения в эллиптических координатах, можно определить величины коэффициентов А„, что и решает задачу. Конечно, именно этот пункт и является наиболее сложным с вычислительной стороны.' Имея выражение потенциала скоростей, найдем и саму скорость по формуле: '= '+ "= — ','( — ".)'+ — ',( — ")'= Нз д), Н* дз = —.,~(Л~ — 1) ~ !1 А„— „." Р. ()з)+)ь1 + з ! , !1,,)~ "~~АД„~Л) "„~" +.Л~ ~. Полагая в уравнении (57) А„= 0 при и) 1 и Л = Ле, получим: Аз=— (Ъ„, ! Ло.+ 1 Лз — !и — — —, 2 Л вЂ” 1 Ле — 1 ' См, С. К а р1ап, Ро!еп!!а! Е!оы звоп! Е!опяа!еб Вод!ез о1 речо1ицоп. КАСА Кер.
№ 516, 1935 г:, в втой статье вопрос об определении коэффициентов А„сводится к решению линейной системы алгебраических уравнений; более простой приближенный метод, применимый к удлиненным телам, будет изложен далее в 6 68. Проиллюстрируем метод простейшим примером. Рассмотрим обтекание эллипсоида вращения, меридиональное сечение которого имеет уравнением ЛО' пяостелнствьннов ввзвихгевое движение )гл.
чп Потенциал скоростей будет равен по !55): !56) ее г* с Ле с~!л- — 1) откуда следует; сЛ„=а, с3 Л",— ! =Ь !ее — Ье с или, введя эксцентриситет е =— а а' Л, = —, ')г Лз — 1 = —,. Ь е е с В этих обозначениях получим: 1, к+1 — л!и — — ! 2 Л вЂ” 1 — 'Л ! 1!е ! 2е 1 — е 1 — ее а (Л, 1л) = — 1/ а (56') Лля проверки можно, пользуясь этим выражением, получить потенпиал обтекания сферы радиуса а, если заметить, что по определению эллиптических координат: при с- О е-+ О, сЛ-+ г, )л-+ сов!), где г и 0 — сферические координаты.
Проиаводя разложениям 1 л+1 Л г1, ! !п — = 1п — = 2 !л — + — + ...) Л ) 1, Л 1 1 Л Л 3)з 1 —— Л !п) — --= 2(е+ — еа+ ...) е<1, с и заменяя е на †, убедимся, что 1 сал"1 при с -~ 0 -+ )с г~ ! + — ( — ) ~ т. е. к известному уже по $ 64 выражения> !43). Этому выражению можно придать несколько иной вид, если ввести явно полуоси эллипсоида а и Ь( а, расположенные, соответственно, по осям Ое и Ог'", Будем иметь, согласно !53), уравнение эллипса Л=Л„в виде: 425 8 57) попьввчное озтекание тал вващвния Проекции скорости на осн эллиптических координат будут )Г 1 Л+! — х!и — — 1 ;=.ж=--~;;=, „: — . -) Н,„дм — 1п — —— 2 1 — е 1 — ез 1 Г1олагая здесь 1=1„= — —, убедимся, что на поверхности эллине е' соида Гг,=О; это и естественно, так как координатные линии (Х) перпендикулярны к поверхности эллипсоида и условие !г„ = 0 эквивалентно условию равенства нулю нормальной к поверхности составляющей скорости.
Распределение скоростей по поверхности эллипсоида определится равенством: Г'== Гг Еа!'сч аг 1 — н' — ! ! .4- е г~ 1 — езнг ' г — — (! — ез) 1и— 2 ! — е Полученное только гго репзенне относится к обтеканию эллипсоида вращения, удлиненного вдоль по течению. Подобным же образом ыоа!но было бы исследовать и менее ннгересный с практической стороны случай обтекания сплюснутого эллипсоида, фокусы мерндионального сечения которого лежат не на оси Оз, а в меридиональных плоскостях.' В только что цитированных курсах приводится также решение более общей задачи об обтекании эллипсоида, у которого все оси различны.
В 67. Поперечное обтекание тел вращения. Пример эллипсоида вращения Наряду с продольным обтеканием тела вращения, параллельным его оси (рис. 147 а), представляет интерес и поперечное обтекание, перпендикулярное (рис. 147 б) к оси симметрии тела. Из сложении этих двух потоков можно получить обтекание тела вращения под любым углом атаки, что весьма существенно. Выясним идею решения задачи о ггонеречнолг обтенинии тела вращения. В этом случае уже не получается осесимметричного движения.
уравнение Лапласа, определяющее потенциал скоростей, будет в ' См., например, Н. А. Кябель, Н. Е, Кочин и Н. В. Розе, Теоре'рческая гидромехавика, ч. !. Гостехиздат, 1948, стр. 358 — 350, а также ! ° Л а м б, Гидродияамика. Гостехиздат, 1947, стр. !75 — 181, пвостглнстванноз ввзвих~ гвоз движение рз, чп ортогональной системе криволинейных координат, согласно (12) 6 60, иметь вид: Сохраняя ту же систему координат (1,, р, а), что и в случае осесимметричного обтекания тела вращения, и припоминая выражения коэффициентов Ляме (53'), перепишем предыдущее уравнение в форме: ~ ~(л — 1ф]+ д ~(1 —,,у) „"'~+(,1, +, ~,,) ф= о.
(59) Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух функций Ф = ДГ(Л, р) Е (з); ааŠ— + йаЕ = О, Ла — ~Р -~(л — П вЂ” ~~-+-~~(1 —;) — ~~-" — и=о дл. ( ЕЛ ) дэ ~ ' дн ~ (Лз 11(1 ре) Первое уравнение имеет решение Е= АсозГее+ Вз1пГге, второе, если положить И=Е(Л)М(й) и разделить переменные ана- логично тому, как это ранее было сделано в уравнении (54), может быть приведено к системе уравнений: йл'(( ') йл )+~" ("+ ') 1 — Лэ~ иял г аэ — ~(1 — ) — ~+!. ( +1) — — 1м=о, «,! ~ 1 —.Ч имеющей в качестве частных решений так называемые присоединенные фунниии Лежандра:' Рь Ы =(1 — рз)"' "'2('), ' — иэв , , ) „.
„ и' ~.( ) 3 алв (60) г См., например, Е. унттекер и Г, Ватсон, Курс современного анализа, ч. 11. Гостехнздат, 1934, стр. 1!9. тогда, подставляя последнее выражение в уравнение (59) и разделяя функции независимых переменных, получим систему уравнений (и — произвольное число, которое будем считать положительным и целым): э 67) ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 427 Комбинируя эти функции так, чтобы выражение потенциала скоростей воамущенного движения было ограниченным при Х -ь со, получим общее выражение потенциала скоростей: в= чзч .У~ ьг„(1)Р„(й)(А„ьсозйз+Вивз1пвз)+ 1/„л; ч ва ю здесь последнее слагаемое представляет собою потенциал скоростей набегающего на тело однородного потока со скоростью на бесконечности У , направленной параллельно оси Ох (рис. 147б). Полагая в только что выведенной общей формуле потенциала: Аво=б Ачз=Ачз= .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
