Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 73
Текст из файла (страница 73)
~9™зй~ — г) Х ' (28) г1~ 1 1 г г дгаб( — )= —., ига!! г= — — „° — = —— (,г) ге гз г гз и приводит к гидродинамическому аналогу известной в теории электро- магнетизма формулы Био - Сааара: 1' ! е!гХг 4в ~ ге в (29) Если рассмотреть элементарную скорость Л~, образованную („ индуцнрованную , как принято говорить) в точке Я элементом вихревой нити гуг, то можно вместо (29) написать: Г о'гХ г НУ = —— 4я гз Это решение задачи о построении поля скоростей вокруг заданной вихревой пити А с циркуляцией Г можно еще упростить двумя различными путями.
Первый путь заключается в непосредственном вычислении градиента под знаком ншгеграла % 821 пОле скоростей ВОкРуГ системы Вихрай или, переходя к величине элементарной скорости: 491 Г ~нг'л,г! Г ез ° з1п0 ~ ГГЧ ! =— 4п гэ 4з Гз (29') Ч а затем, пользуясь очевидными равенствами (й — кратчайшее расстояние точки М от отрезка АВ): й -.. г сйп 0, ГЬ = — а'(Ь с1й 0) = й ла Опта' полу|им выражение для ! гуу (: 1' з1п 0 ° э1пта й 00 Г ~ЧЧ! — —,, — з1п'1М. 4Р /Р Моэ 0 4гнэ 1'нс.
188. Интегрирование по 0 от 0 = — х до 0 == -., — 3 даст искомое выражение скорости Ч, индупнронанпой вихревым отрезком АВ: Г 1" . Г Ч = — 1 ~ зйт0 ГГ11 —.= 4 (сова+совр). (30) Формула (30) играет основну1о роль в расчетах поля скоростей вокруг вихревых линий н будет в дальнейшем использована в теории крыла конечного размаха. Полагая в формуле (30) и = р = О, получим вновь известную из теории плоского движения формулу скорости, индудированпой бескон" по длинной прямолинейной вихревой нитью Г 2ва ' В торой путь преобразования формулы (28) полезен в том случае, когда приходится иметь дело с замкнутой вихревой линией конечной длины, огрзннчнва злющей (рнс. !89) некоторую разомкнутую позерхяость з.
3 этом случае Зам ПИЬ Л Г. Лэаезнезчй. По аналогичной формуле Био — Савара определяют магнитное поле от элемента электрического тока. '1тобы проиллюстрировать применение формулы (29), определим скорость, индуцированную в различных точках пространства прямолинейным отрезком АВ вихревой нити с пиркулянией 1' (рис. 138).
Замечая, что все элементы прямолинейного вихря будут в данной точке А4 давать одинаково направленные элементарные скорости гУЧ (по перпендикуляру к плоскости, проведенной через отрезок АВ и точку А4, в сторону вравденин, создаваемого вихрем), найдем сначала по (29'): Г з1о 0 ~ а'Ч ~ = — — з ~Уз, 4л т02 пиострлнстпиннок вьзиихвьное днижьник. !гл.
ч!! а г!г = ~ гог„вг(с У т рассмотрим теперь, вместо циркуляции вектора, представляющей криволинейный интеграл по замкнутому контуру Ь от сколярниго произведения вектора на элемент контура, подобный же иитг~ рзл, ио от векторного произведсиия а Х г!г.
Построив элементарный цилиндр с образующими, параллельными орту нормали и к поверхности т, н с направляющей /.', ограничивающей элементарную площадку г(т, гнож«м )апп- слтто а . кг~. /' 1 — а' (пХн)л й а' !'Ис. 139. где — полн;ш поверхность цилиндра, состоящая пз боковой новерхвостп и двух оснований г(т, а г(г' н Пт' обозначают, соответственно, элементы контура й' и поверхности с' элементарного цнлипдра (на рис. !39 г(с' представлено заштрихованной полоской).
Применив формулу тройного вешорного произведения, получим: .! а ',. 'я'г' = — ! па «!су — — ) п' а лт' == п — б!т а— П / и' и ) н ' !! 1 6' йт д — йгаб (ая — „) = п б!т а г(с — сгаб (ая г(т). Суммируя обе части последнего равенства по всем элементарным контурам Л' слева и по всем элементарным площадкам лт спрзва, получим. а Х г(г = ~ и б(н а ах .
- йгаб ( ~ пи г(с) . я Полагая в этой формуле 1! а = йгаб ( — ), булел~ иметь, вместо (28): (31) второй путь приводит к установлению формулы потенциала поля скоростей, индуцированного замкнутой вихревой нитью. В полной аналогии с приведенным в й 13 гл. 1 выводом формтаы Стокса для циркуляции вектора по замкнутому контуру бй) ЙОЗ Функция ЯОКА. ВектОРный потенциал 1 11о, как уже ранее упомиизлось, функция — прсдстаэляст простейший г случай иьютоиоаа потенциала, удоллетяоряющего ураанеиню тэ~ — )=0 1в чем легко убедиться и непосредстаенным дифференцированием), так ~то Окончательно найдем: 4н " ~ дп ), г ~ (32) Срааниаая эту формул) скорости с определением потенциала скоростей 113), видим, что искомый потенциал скоростей равен д ~1) (ЗЗ) Прежде 1ем перейти и друтим примерам просгрзнственных течений, ннепен и рассмотрение функцию тока.
а) 66И Функция тока и ее связь с векторным потенциалом скоростей. Функции тока простейших течений Согласно 110) 6 60 уравнение песжннаемости экилкосэи булез пясть вид д д д д [НэНВ)лц,)+ д (НВУУ, Ча)+= УРУ,РУВ)УД =- О. )1редположим, цто одпз иэ состанляющих скоростей движения, ешпример $'ап повсюду ранна нулю; тогда предыдущее уравнение сведется к более простому: д <Иру,)л,) ) д <ру,о,)льн)=0. В этом слуцзс можно утверждать существозание такой величины ф, пто будет выполняться система равенств: и, дал' э 1 пэ дц1' ) припоминая выражение потенция.ю двойного слоя 122), ш:ключаем, что т п1гнциал скоростей ламкнутой вихревой нити ь' с ~1иркулпцлгй Г совпадает г потенциалом длойного слоя диполсй, рагпололггнных по поверхношпн и, опирающейся на контур Л, и инеющи.г одинаковую гщ всей поэерхности плотность распределения лоллнта, раэнуэо циркуляции :пхрсвой ниэпи; соэпадают прн этом, конечно, и поля скоростея.
Локаэанная только что гидродннамяцеская теорема представляет аиаэо~ нээестной теоремы элсктролшшмнки об экээяалениюсти кругового электрического тока полю магнитного листка. 1гл. щ! пгосгьлнгл'вгиков вГзвихгевов двия!ание или: 1 дф 1 дй ) ч = Нао, дд,.
(34') Такого рода величина ф!, через которую могут быть выражень! две неизвестные проекции скорости на оси криволинейных координат, называется функцией тока. Потенциал скоростей ~ связан с функцией тока, если опа существует, следую!ними соотношениями: (35) д(гз)ггз1п О), д(г)г), д(г1га а!и О) дг ! дг ' дО и заметив, что, в силу сделанного предположения о меридиональности движения, члены с )г, пропадут, будем иметь следующие выражения проекций скорости через функцию тока: а) в цилиндрической системе координат: г )г дл ! „, 1 д дз (36) которые легко получить, приравняв проекции скорости (г и (г выраженные через ь, согласно (!3) и (9), и через ф!, согласно (34').
Простейшим примером существования функции тока служит плоское движение несжимаемой жидкости. Рассмотрим осегимметричное относительно оси Оз движение несжимаемой жидкости, протекающее в меридиональных плоскостях, проходящих через ось Оз. 11ри таком движении существуют все три декартовы проекции скорости и, о и то и все они зависят от трех координат х, у, з, так что из уравнения пес>кимаеыости ди до, дэ — + —,+ — О 6 дх ду дз пе следует существования функции тока.
Ме!кду тем, если условиться исследовать указанное осесимметричное движение в цилиндрической или сферической системе координат, то, написзв, согласно формулам, помещенным в конце й 60, уравнения несжимаемости в одном из следук!щих видов: ( г) ь ( г) 63) ФУНКЦИЯ ТОКЛ. ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИЛС! 405 б) в сферической системе координат: дф гэ)/,ЫНВ= а~0, ! дф гмпб дг' (37) дф г'Р'в гйп 8 = — —, дг ' Введенная уравнениями (34) или (34') функция тока обладает свойствами, аналогичными функции тока в плоском движении.
Замечая, чтос )з =Н ~' 1Я„=И д аз)! дз)я йг ' "- - йг 'Иэ р' =И вЂ” "э =О з йг з по (34') найдем; д,' дф — фй) + — 'й7,=дф- О. дз)! ! д!)е Функцию тока можно рассматривать как одну из составляющих векторно! о потенциала А скоростей, связанного с вектором скорости равенством(24). )(е!Йствнтельво, согласно этому равенству и формулам (11) имеем: Уд(НЛ ) д(НЛ то1 А= — ~ Н,Н,( дй, дй, 1 Гд(н!Ае) д(НзАе)1 то1 А= — ~ Нхн, Г ддэ дз)! 1 1'д(НА,) д(НА )1 го1 А= — ~ Ез НгН, ~ дд, дз)э Выбирая вектор ным поверхностям з)э А перпендикулярным во всем пространстве координат- = сооэ1, будем иметь; А =А =О, )г =О, т ч ' ез д (Н,Л,) Нэиз дз)э 1 д (Нгл 'л ЙН,) Следовательно, вдоль линии тока ф = сопз1.
В случае ранее рассмотренного осесимметричного движения жидкости по меридианальным плоскостям (е = сопз1) равенства ф = сопз1 представят некоторые поверхности, которые можно было бы образовать вращением линий тока вокруг оси Ог. Эти поверхности называют поверхностнми тока; нз самой оси Ог можно положить ф = О, тогда значения ф будут определять объемный расход жидкости через любое ортогональное к оси Ог сечение трубки тока, ограниченной донной поверхностью тока. 406 пространственное ввзвихвввоз движении (гл.
чп Найдем функцию тока в случае нескольких ранее рассмотренных простейших движений. Для этого используем формулы (36) и (37). 1'. Однородный прямолинейный поток со скоростью Ч, параллельной оси Ол. В цилиндрической системе координат имеем: 1 дфч 1 дфч Ук=О= — — ' У =У= — — —, г* да*' ч гь дг* ' следовательно: ф — — Уг '. ч 1 2 В сферической системе координат: 1 дф Уг= Усозй= зз!па да, 1 дф !и г' гз!па дг ' Простое интегрирование этой системы уравнений в полных дифференциалах дает: ф = — Уг- сйпв 0. 1 2 (38) 2'.
Источник (сток) дает простое выражение для функции тока в сферической системе координат. Имеем: 1 дф мпб да 1 дф У =О=— гз!па дг' откуда нетрудно получить !) Соз 0 — + соп51, 4к или, подбирая константу из условия ф = О при '! = О: ф (1 — соз О). О 4л 3'. Липоль. Используя выражение потенциала скоростей (18'), будем иметь по (37) систему уравнений: ю сох 0 1 дф 2кгз гез!и 0 да " тз!об 1 дф (г = 4ягч гзш0 дг ' (32) положив г)зла = ф(йп дз), а коэффициенты Ляме я величину А, — не зависящими от дз, получим формулы (34'). Так, например, з сферйческой илн цилиндрической системах координат вектор А должен быть направлен по касательной к параллельным кругам, соответствующим изменению одного ю и не зависеть от ю 402 овтвканив саввы. паглдокс длламввгл откуда следует: — = — в1пбсов >, дф т да = 2яг дф т — = — —, мпв0, дг 4кгв Легко найти интеграл этой сисгемы, обращающийся в нуль при 0 =- 0: та!па 6 (40) 4пг 5 64.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
