Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Теория сверхзвуковых течений представляет в настоящее время наиболее хорошо разработанный отдел газовой динамики. Существуют графические и аналитические методы приближенного решения задач сверхзвукового обтекания, опубликованы также и некоторые случаи точных решений простейших задач. Изложению этих вопросов посвящены специальные курсы гззовои динамики. я Основное значение для понимания сверхзвуковых процессов движения сжимаемого газа имеют „линии возмущения', представление о которых уже было дано в б 28 гл.
1Лг при изложении нестационарного одномерного движения газа и в б 51 настоящей главы при исследовании линеаризированного движения. Рассмотрим некоторые общие свойства линий вОзмущения в плоском безвихревом сверхзвуковолг потоке. Вернемся к основноИ системе дифференциальных уравнениИ плоского потока сжимаемого газа (4) и (5). Обобщая прием, изложенный в 9 28 гл. 1Лг при решении задачи Римапна о распространении „конечных возмупгений", составим линейную комбинацию уравнений (4) и (5); умножим соответственно первое из этих уравнений на Л„ второе — на )з и сложим их между собой.
Тогда получим: 807 "с7[ пелипссавизивованнсай свавхзваковой поток Попытаемся теперь найти в каждой точке плоскости (х, у) такое направление с угловым коэффициентом ду си =— дх !сабы выражения в квадратных скобках равенства (77) представили производные по этому направлению соответственно от и н гщ (78) ду дх Для выполнения этих условий необходимо подчинилсь величины )ч н Ля очевидной пропорции: ! (аа — ссс) ис с! — с,сии (79) Лс (ае — ссс> — (Л! -Р лаио[ нлн, сто все равно, удовлетворить системе равенств: Л! — Л ив = тЛ (ав — иэ), Ла (ае — оз) = — т (Л, + Ляио). Собирая здесь члены с )ч и Ла, получим однородную систему уравнений: Л, — Ля [си(аз — иа)+ !со) = О, тЛ, + Ля [ав — ов+ ио[ = О, нмесощую отличные от нуля решения только при равенстве нулю определителя системы, т.
е. при выполнении следующего квадратного уравнения относительно т: (ия — ая) тя — 2ссот -[- (оя — ая) = О. (80) Составляя дискриминант уравнения (80) ияоя — (ия — ав) (оя — а') = ая (ив + оя — ая) = ая ( (гя — а'), убедимся, что уравнение (80) будет иметь действительные решения только в сверхзвуковом потоке при выполнении условия (г~- а или М~ 1. В каждой точке сверхзвукового потока можно указать два соответствующих сопряженным корням квадратного уравнения (80) с(ут ии -! а)с Г' — аа ис,л = — „! 2 а=~..),..= (81) дсс [ Л! — Лассо дх Ла (ае — сст) ссо Лс (ае — оа) с1х Л! -[- Лаии ди ди ду дх до до ди ду ди , ди ди ду ах дх ' ду ах' ди с!у ди ди ди + — ° — = — + —.т = —.
ду ах дх ду Йх' 368 плоское гкзввхюлвок двнлкяния сжимлемого глзь (гл. ш направления (будем их в дальнейшем называть „характериспличв. скими"), вдоль каждого из которых функции и и о должны, согласно (77) и (78), удовлетворять соотношению ),я (а — и ) „— — ()и + ) яио) „— = О. а йи ао (82) Заметив, что произведение корней квадратного уравнения (80) равно ое — ае пллтя = и- — а" перепишем уравнение (82) в виде: йо 1 (ал — ил) Х (ал — ол) йи 'Ат+ Ллио т,т 11л -г- Л ио) нли, согласно (79), так: ао и ио се а )Г ь'е а" (83) йи т,тл ое — ае ау ио+ а у 'ч'л — ал ах ил — ал хглракнгеригтиками первого семейства, интегральные кривые уравнения йу ио — а )/1/л — ал л л характеристиками второго семейства.
Точно так же равенство (83) определяет в каждой точке плоскости годографа скоростей (и, о) два семейства Н, и Ня кривых, опреде- Уравнение (83) может быть проинтегрирована в конечном виде (что и будет сделано в дальнейшем), так как местная скорость звука представ.тяет известную функцило скорости движения )'= )'ияя-ь-оя. Таким образом, совершенно аналогично случаю нелинеаризированного распространения конечных возмущении в задаче Риманна, вдоль кривых, представленных дифференциальным уравнением (81), неизвестные функции и и о оказываются связанными известным наперед соотношением (83) или его интегралом. Семейства (С,) и (Ся) интегральных кривых уравнения (81), соответствующие наличию разных знаков перед радикалом, образуют характеристшси в плоскости (х, у), а величины т, и тя, определяемые тем же уравнением (81), предсгавляют угловые коэффициенты касательных к характернсгикам или характеристические направления в плоскости (х, у). Будем называть для определенности кривые, соответствующие дифференциальному уравнению (81) с положительным знаком перед радикалом Зб9 йа 57! НЕЛИНЕЛ!аИЗИРОВЫ!НЫЙ СВЕ РХЗВХКОВОй ПО!'ОК ляемых дифференциальным уравнением (83) с тем или другим знаком перед радикалом в правой части.
Каждое ич этих семейств также представляет „характеристики", но уже в плоскости годографа (и, и). 3наку пл!ос перед радикалом соответствуют характеристики первого семейства, знаку минус — вспорого семейства. Обозначая через и углоВОй КОЭффнцИЕНт „ХараКтЕрИСтИЧЕСКИХ Нанразпспнй" В тпчКак Пзоскости (и, О1, будем иметь по !83)1 т ., ""=- )с !ск — ак Характеристические направления в плоскостях (х, у) н (и, и), как это сразу следует из !83'), связаны между собой очевидными соотношениями: т! ! л = — — = —.— —, или пт +1=0; и!тз те' тк ! л .= — =- — —, или пса +1= — О. я'= ,та = т, ' г Отсюда следует, что прн выборе осей х и у параллельными осям и и и, характеристические направления первого семейства в некоторой точке плоскости !х, у) оудут перпендикулярны характеристическим направлениям второго семейства в соответствующей точке плоскости !и, О) и, наоборот, характеристические направления второго семейства в плоскости !х, у) окажутся перпендикулярными характеристическим направлениям первого семейства плоскости !и, О).
Это важное свойство характеристик позволяет, если наперед известно семейство характеристик в одной плоскости, указывать характеристические направления в соответствующей точке другой плоскости. При пользовании графическими методами интегрирования основных уравнений лввжения, известными уже нсм по гл. !Ч, такое свойство характеристик значительно облегчает построение решения.
Обобщим на случай проиавольного нелинеаризированного сверхзвукового потока понятие о линиях возмущения. Будем по аналогии с линеаризированным потоком называть „линиями возмущения такие линии в физической плоскости !х, у), касательные к которым образуют с направлением скорости угол а а, синус которого обратен числу М в данной точке !Вспомнить формулу !21) В 27 гл.
1Ч, а также Ц 51 и 52 настоюцей главы): ейпа= ~ М' 1 Докажем, что характеристики нелинеаризированных уравнений оаеиженин а плоскости !х, у) образуют „линии возлсущенил" сверх1ВУкового потока. Для этого составим выражение тапгенса угла между Вектором скорости и касательной к характеристике в плоскости !х,у); яп Зак, !Зс!. Л Г. Ло1яя акай, 370 плОскОе Безвихаезое ЛВижьние сжимаю!ОГО ГАВА (Гл.
211 тогда по известной формуле аналитической геометрии будем иметь. о ио ге а Г' 1~2 — аг Ш вЂ”вЂ” и и2 а2 и 1и а =- — ..=.1 Ра .2. и и' — аа и аао='аи УР2 — а' и(1'2 — а2) се ао 1 Р2 — а2 11 Ра — а2 т Ма — 1 или 51ПО= ! М (84) Определим теперь азкон изменения скорости вдоль характеристик С, и Са плоскоРнс. 120. сти (х, у) или, что все равно, уравнения характеристик Н, и На в плоскости (и, о). Как уже ранее было указано, уравнение (83) может быть проинтегрировано в общем случае. Для упрощения интегрирования уравнения (83) перейдем от проекпий скорости и н и к величине скорости И и углу 8, образованному вектором скорости с осью Ох, положив: и = Исоа 11, о== Игйп Ц.
Имеем, согласно (83') н рис. 120: ио 1 — 1 .= — — = — С1п(8 — 2), ви 1 та (~ — ) = — — = . - С1ц'(8+а), Из этой формулы вытекает, что: 1) характеристики уравнений сверхзвукового движения являются „линиями возмущения" в потоке и 2) вектор скорости образует с характеристиками в плдскости(х, у) одинаковые по величине и разные по знаку углы, т. е.
вектор скорости направлен ло бисектриссе угла между характеристиками обоих семейств в данной точке (рис. 120), и, наконец 3) проекция 12„ скорости на нормаль к харак1перистике равна местной скорости звука: 17и= ИСОВ(90' — и) = 1 =- 1' Гбп а =- 1Г ° — = а. й 57[ нелинРАРНВНРОВАнный сВВРхавуковой поток 371 т. е. (ЙР аи — = — с1д (О:, а). Произведем в этом урзвнении замену: Ии = — г1 [г ° соз Π— И Вйп 0 Ф, аго = г( Ь' ° а[п О [- [г соз О дО; тогда получим: [з[п О+с18(0:, а) сов О] г1$'-[- [сов 0 — сгд(0 —.а) з[пО] [lс[0 — 11 откуда после простых приведений найдем: И ~ с1яа ° — =О. (8о) Вводя, по (84), число М, перепишем уравнение (85) в виде: [11 = -- У'Мв — 1 сИ' (85') окончательно получим простое дифференциальное соотношение: (85") Интегрируя, найдем: 0 =- о(А)+ сопз1, (86) где введено обозначение а(А)= ~ 1 а+1 а-1-! а — 1 =ОР— агсге ( Аь — 1 — агс 1я — 1 К' а+1 (86') И И или совершая переход от числа М = — к числу й= — по ранее а ач выведенной формуле (52), которую можно еше переписать так: 872 плоское вязвихгявов движение сжимаемого гззл !гл.
тг! Переходя по обычным формулам обратных тригонометрических функций от арктангенсов к арксинусам, приведем выражение з(Л) к несколько более простому виду: / гг-1-1 . г' / з — ! з(Л) = 1/ — агсгйп! ~г — $/Ля — 1)— г/ Л вЂ” 1, 2 — агс мп ( ~/ г /ь( ! У1г (86") заметим, что з(Л) при Л = 1 обращается в нуль. Функция ч(Л) является сверхзвуковым аналогом функции з(Л), определявшей основное преобразование (60) в методе Христиановича.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
