Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 64
Текст из файла (страница 64)
108. Как видно из графика и таблицы, )7 К при не слишком близких к единице значениях 1, и М мало отличается от единицы; так, например, при 1, = 0,65, М = 0,61 величина )7 К только на бо('„ Ф отличается от единицы. Заменим в системе (51) )7 К постоянной величиной ко- Х орую включим в состав функ- ВВВ- пии с!7. В частности, можно положить К = 1 или К = К >. йм Тогда вмес го точной сис гемы уравнений (51) получим в плоскости (г, 6) приближенную а2 систему уравнений ВВ а7В ай7 йд7 ВВ — У = — ', — т = — — т, (53) а(В ад7 ' ВВВ 377' (ан дя дг' дг да' (а х ничем не отличающуюся от условий Коши — Риманна, связывающих э и ф в плоском' движ нии несжимаемой жидкости. Равенства (53) естественно сравнить с аналогичной системой уравнений в плоскости годографа (г, О) для несжг:маемой жидкости (1=0) (,змейка" над буквой показывает, что соотв.гстгуюп(ая величина относится к потоку несжимаемой жидкости): (53') д'! дг дг дб ~ 54) метод хгнстилновичл.
пгивлижяннык эотмтлы 347 ям!екающим из !50) при л = О. Предположим теперь, что в физической плоскости течения несжимаемой жидкости л определено обтекание заданного крылового профиля Г' с циркуляцией, отвечающей плавному сходу струй с задней кромки профиля. Вычисляя ю, Л, О, з, й и ф в функции от х, у, можем определить и все элементы в плоскости годографа !О, з), в часгности граничные условия задачи в этой плоскости. Переходя к приближенному решению задачи обтекания контура сзмижаежыя газом, потребуем, чтобы: О='1, з=з. !55) .'Лг!я этого, согласно !'50) и (54), достаточно связать скорости те и ю или, что все равно, безразмерные скорости Л и ), соотношением: ! ье «Л Г«Л вЂ” ~ — + сопя!, $Г 1 1"- ' ° Л Ф -1- ! !55') в котором констант можно определить из условия, жобы о!но!не- Л пие — стремилось к единице, кот!а Л стремится к пульс Соответсгвую!цая связь Л !Л) и.!и Л !Я), ввиду некоторой громоздкости ее аналитического выражения, приводится в табл.
8 н в виде графика— на рис. 108. Таблица 8 И" И л". аэ М ,'/ == —,„ь — — — — М лч и" 0 0,35 0,0500 ' 0,40 0,0998, :0,45 0,1493 ~ 0,50 0,1983 ! 0,55 0,2467 0,60 0,2943 0,65 0,34!О ! 0,70 0,3862 ! 0,75 0,4307 !! 0,80 0,4734 ' 0,85 0,5144 !~~ 0,90 0,5535 !, 0,95 0,5904 ! 1,00 о !!.05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,6668 0,7192 0,7727 0,8274 0,8834 0,9409 1, 0000 0,625 ! 0,6568 0,6857 0,7!1О 0,7324 0,7483 0,7577 0 0,0457 0,0913 0,1372 0,1832 0,22 94 0,2759 0,3228 0,3701 0,4179 0,4663 0,5152 0,5649 0,6154 Здесь под '! понимается угол вектора скорости несжимаемого потока с осью абсцисс, а под з — величина, определяемая равенством «м «Л г- гет «з = — = — ~ Л= —.~ !е Л 348 плоское ьззвнхневоз движение сжимаемого газа (гл.
чп Рнч чч~- 1 "ч ... 1 ! (55) 2 ГчооР'чо со М и для сжимаемого: Рчм — Рчч, 2Р а П' з Рок ,, а — 1Мз ~Л ) Мз' Замечая, что по (52) Мз = 21з а+ 1 — (а — 11 1з' полу~им: 2 ФЧ-! "(а — 1)хе ФМз а)у 1 Г.'— 1, 1 2 а — 1.. — хз а-г1 3аметим, чго при рассчатриваемом допущении К=сопз1 соотношение (55') могло бы быть заменено более простым приближенным.
При выполнении требования (55) система равенств (53) позволяет обычными приемами теории плоского несжимаемого потока найти в плоскости годографа (з, 0) поток сжимаемого газа, отвечающий тем же граничным условиям, что несжимаемый поток в плоскости (з, 6). Однако отсюда еще не следует, что и в физической плоскости тече. пия з контур С совпадет по форме с изученным в плоскости .з несжимаемого потока контуром С Как показывает основное равенство (41), элементы дуг контуров, а следовательно, и сами контуры С и С не будут одинаковы. Можно было бы доказать, что при не слишком больших дозвуковых скоро.
стах разница в форме профилей невелика. В ранее цитированных работах С. А. Хрнстиановича вопрос об указанном различии между профилями, о возникающих при этом изменениях в потребной для плавного обтекания задней кромки профиля циркуляции и другие относящиеся сюда вопросы подробно исследованы.
В дальнейшем, в порядке простейшего приближения, будем пренебрегать указанной разницей между формой профилей в физических плоскостях сзкимаемого и несжимаемого потоков. Чтобы получить интересующее нас соотношение между распределенияии давлений по поверхности профиля при сжимаемом и несжимаемом обтекании, составим выражения для соответствующих коэффициентов давления Р„, и р,, Имеем по теореме Бернулли для несжимаемого газа: 54) метод хРкстиАНОВичА. пРнялижонныз ФОРмУлы 819 н следовательно, 1 — 1 а+1 а+1 — (а — 1) л РАЛ ал'1 2/ Ла алз ~Л1- — л / ФО О а 4- 1 нлн, после простых привелений: 1 а 112 а+1 а+1 со (57) Задаваясь скоростью на бесконечности в сжимаемом обтекании ил или величиной Л, найдем по табл. 8 соответствующее значение Л; затем, придавая различные значения Л и определяя по той ОО Ож оо О.Г О,О О1 о пп йг ао до а.о оо от пп по Оп 11 о„„(О Рнс.
109. же таблице Л., определим связь между р, н р при помощи параметрических формул (56) и (57), что и дает искомое решение. На рнс. 109 и 110 представлены рассчитанные по первому при- ближению Христнановича (формулы (56) и (57)) номограммы связи И й~ Ю й СУ с сз о" !Ф 'а '»" у с к сЮ ст Т ы' М ч й Р :Ъ 54( метод хРистилновьчА. прквлижвнные Фопьгулге между р,е и р, для различных значений числа М, набегающего потока.
' Пунктиром на рис. 110 указана граница применимости первого приближения; вправо от этой линии й ) 0,85 и первое приближение уже недостаточно для учета влияния сжимаемости. На рис. 109 дана номограмма пересчета положительных давлений (разрежений), на рис. 110 в отрицательных давлений.
Пересчет по этим номограммам ггие в рве при заданном М не составляет труда. Как показывают номограммы, влияние сжимаемости газа на распределение коэффициента давления в первом приближении сказывается е увеличении абеолготнод величины нозффиииента давления. С ростом числа М картина распределения давлений как бы обостряется: растуг Рпс. 111. Разрежения и давления, кривые распределения давления по верхней и нижней поверхностям раздвигаются, ограничивая нее большую площадь; так что, естественно, возрастает циркуляция Г и коэффициент 'подъемной силы е, Существенно отметить, что при этом становятся более высокими и крутыми пики разрежения.
Рассмотренное приближение не позволяет обнаружить замеченного на опьпе добавочного смещения пиков разрез<ения вниз по потоку, аналогичного тому, которое имеет место в потоке несжимаемой жилкости при увеличении относительной толщины профиля 1рис. 111). ' В. С. П о л адский. Расчет распределения давления прн больших скоРостях полета. Издательство Бюро новой техники НКАП, 1943; там же см, таблицы пересчета и указание поправок по второму приближению. 352 ш!псков Бвзвихгкяое дви)кение сжимаемо!'о газа (гл. Примером влияния числа М на распределение коэффициента давления могут служить кривые„показанные на рис.
112, относящиеся к верхней поверхности некоторого крылоного профиля. м !уз р -!.у гас Ряс, 113. Можно разыскать и непосредственную, явную связь ме!кду р, и ря,, если воспользоваться указанным Чаплыгиным врибднлггнныл! лрпкио.!г .тажгны дгйсжвите.гьной изэнтролы касс!лгльяой к ней прямой, ! у Возьмем точку (рж — ! нззнтропы (рис.
!13) Рь ' =йй- (58) и проведем касательную к иззнтропе в атой точке; вычисляя угловой козф- ~ (~) ~,!. получим уравнение касательной в виде Г! 1у р — р =я а о=- ь о~ ус Используя приближенную иззнтропу (58') и вводя вместо !. новую переменную (А — — — — I тв l 2 (59) "о й+! — й — + "а полу.чим; тв — а" = — а — = —" = у 1 -'- !!т а р„ о = = т — — г' 1 — Мз=, —, М.= 1 и !+ и' )г +и ! !!. И, Л е в н н со и, Азродинзмика болыппх скоростей. Оборокгиз, 1948, ст9. 266 — 277.
54) ист»ьс христи»иоппии иг'ивликгянньн: Фор»»улы 35»11 ио»лг чего сште»~а»рляиспий (45) 6 53 примет впдт дв --- дф — =И йг1+рз — '. 66 д(» ' дф 1 дф 69 р1+Ёз 60 и, после замены переменных, 6,~. = ага ."Т 1 йит гишыдст с системой уравнений (53)1 при »то»г К= 1. Соотпошсгшс бсзрлз»и риыл гкг~рос~сй (5»р) заменится простым прибяи;кгшиям равенством ;, ы»рос лсшг ~ иитсгрирустся и даст Р 1и 9 —: Ш .— — — — = ' 1и Гй 1+Т1-, 1е 1й лчиГшч ш~»о шикуя~ иитш рн1ин»лГии Г) ус.иишк .
при и-» Π— ' -» 1, о изилсм, чзо Г: = 2 и, следовательно, окончатеаьиая форма ириблшкеипой связи мг ьяу скоростями обтекания крычового профиля иссзсимас пям и сжимаемым газом будет имсть вил: 29 (Г)О) 1-- У); — .-' и ш, рсзрсишя относительно;», 4 р =- (6»О') 4 —. Грз Выведеииые только что приближеппые соотиошсипл вы»сна~от из прслылущих зочиыл, если поло кить в иих Ф= — 1, предварительно, где это »ыдо, заменив й иа р по (59). Такой формальный прием полезен для сокРощспия выклзлок и б)дет далее испояьзоваи.
Выразим ря, и рчч через зги позыв пер< меиныс. 11удем иметь нспосрелсгвсипо по (56) и (59): (61) !ч ~с»ч пг»и зу»ки опредеасиисм (59), иолтчпи при а =-- — 1 вместо (52) (62) з»,ыи.лг.пяма. плоског ннзиихРВВОВ днижнни!' Ожнмннмо!'О !'лза (гл. ч! Но, согласно (9!'): 1+;=1+ )А г' +~ '!з (4 — Рт)т ~! 4 — Рг) " =("-,":.) так что 2 )г'1+Р. 4тро 4+К, Ро.с =— ,Ф'~ -б ~(а- -о) г н (4 — Рт) (4 — н ) Из (61) сразу след)с~: кроме того, при Д = — 1: Р!,= - '(1+ ~ ' МЯ) 1 — М"' 1 — М' Подставляя зтн выралсения в равенство (62'), получим 16 г— '(Г ! Мн Рсорно Мо 14 — (1 — р„,) !сн 1 (4 — р ) Наконец, заменяя еще в последней формуле, по (60), 2Р 2М Рсо 1+ )г'1+ и'-„' 1+ )/ ~ — М-„' Рно Рон г 1 М со+ 2 " )но 2 1+у) Ма но (63) ! !". В.
Лним а н н А. Е. П а кет. Введение в азродинзмнку сжимаемой жидкости. Изд. нностр. лит., 1949, стр. 226 — 243. после простых приведений, окончательно получим искомую приближенную формулу:" Г14! метод хгисрианоиичк. ИРньлижяпн1яс ФОРмулы Если при малых значениях р„,, что соответствует теории тонко~о крыла, пренебречь вторым слагаемым в знаменателе, то формула эта переидет в раисе ;казанное соотношение Прандтля: рнк У1 — Мт ' (63') 1чц111ула Жуковского подъемной си.пр крылоного профиля )3=- г,И,)' (64) Осшется справедливой и в случае дозвукового обтекания профиля сжимаемым газом, ИРичем циРкУлапиир соответствУкиЦав этомУ обтеканию, может быть получена из циркуляции, соответствующей несжи- 40 зшемому обтеканикр, и> фориуле' Рв зс нр 1. рнч = — —, (651 чра )Р 1 — И йг оа оа йв ги 1 См.
ранее цитированную работу С. А. Х р исти а но вича 1940, а ракже М. В, Келдыш и Ф. И. Ф ран кл ь, Внешняя задача Неймана Лля пелинейньш эллиптических уравнений с приложением к теории крыла в слримаеиом газе. Изв. АН СССР, отд, матем. и естеств. наук, 1934. ' В. С. П о л в д с к и й, Влияние сжимземости на аэродинамические характеристики профиля крыла при больших скоростях полета. Издательство Бюро новой техники НКАП, вып. 21, 1943. Аналогичные формулы имеют места и для коэффициентов под.ьеиной силы и момента.
я На рис. 114 приведено сравнение с опыгом результатов расчета коэффициента дзвления р, в одной точке верхнеи поверхности крылового -йг профиля )к)АСА 4412, находящейся на расстоянии 30") хорды от носика„ прн )тле атаки а = — 2' и при различных значениях числа М Как видно из рисунка, примерно до М =0,2 все методы, включая Рис. 114.
и приближенную формулу Прзндтля (63'), совпадают. Профиль МАСА 4412 имеет дзенадцатипроценгную относительную толщину и сравнительно большую (4",'о) вогнутость; этим объясняется, почему приближенная формула Прандтлв, пригодная лишь для тонких, мало изогнутых профилей при малых Углах атаки, оказывается неприменимой даже при сравнительно нег..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
