Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Точно так ~ке, как и в случае одиночного профиля, большие услуги в деле определения потенциала обтекания и распределения скоростей и давлений по поверхности профиля в решетке оказываег метод электро-гидродинамнческнх аналогий (ЭГЛА).э ~ Н. Е. Кочин, Гидродинамическая теория решеток. Серия,Современные проблемы механики", Гостехиздат, 1949. з Н. Е. Кочин, Влияние шага решетки на ее гидродинамические хара. ктсристики. Прикл. матем. и механ., т.
Ч, вып. 2, !941; Л. А. С и м о и о в, Построение профилей по годографу скоростей. Приял, матем. и механ., т. Ч, вып. 2, 1941; Э. Л. Блох, Исследование птоской решетки, составленной из теоретических профилей конечной толщины. Труды ПАГЙ, вып. 611, 1947; з Желающим углубить свои знания в области теории плоского движения рекомендуем монографию Л. И. Седов а, Плоские задачи гидродинамики, Гостетиздат, 1950. 214 !ЛАВА Ч! ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА Общие уравнения нзэнтропического плоского стационарного безвихревого движения идеального сжимаемого газа при отсутствии объемных сил н отвода тепла.
согласно наложенному в гл. !!1, можно свести ь ин гегралу Бернулли: 1/2 1 2 ф р ~/2 л2 — + Ю =- — + — — = —,+ — = сопэ1, 2 2 к — 1 р 2 Д вЂ” ! (1) уравнению неразрывности: †! †'к) -~- д !'") = О дх ду !2) н уравнению изэнтропьп — = сопи; Р р 2 к этим уравнениям присоединяется еще уравнение отсутствия вихря: ди до — — — = О. 44) де дх Перепишем уравнение неразрывности (2) в виде: р — + и — '+ о — +р — =О да др, др де 12', дх дх ду ' ду н произведем в этои равенстве замену; др др др р 1 др рду дх др дк аэ р дх аэдх' др Лр др р 1 др рдф' ду др ду а2 р ду 3ду' или по 11): ду а21, ду ду)' ф 50.
Основные уравнения плоского стационарного безвихревого движения сжимаемого газа. Линеаризнроваиные уравнения ~ 50) ОСНОВНЫЕ ГРЛВНЕНИЯ БЕЗВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЯ 325 Тогда уравнение (2') после простых преобразований сведется к такому: (а- — и-) — — ип ( — + — ) + (а — ОЕ) — = О. е 2 ди /дв дит э дв дх 1, дх ду,) ду (5) В этом уравнении две неизвестных функции и и О могут быть сведены к одной — потенциалу скоростей ° (х, у), так как, согласно (4), будем, очевидно, иметь: д; дт и= — ', Ф= —, дх' ду' (6) Что касается величины аэ, то связь ее со скоростью газа Ъ' в данном весте определяется интегралом Бернулли 1/2 а2 — -$- — = сопз1, 2 ' Л вЂ” 1 (7) так что аэ= — сопз1 — — (иэ+еэ) = сопи — р — ) +1х — )2 ~.
в — 1 2 2 ~(дх1 'хду7 ~' Уравнение (5) представляет сложное нелинейное дифференпиальное уравнение второго порядка в частных производных относительно неизвестной функции э(х, у), вопрос об ннтегрируемости которого при заданных граничных условиях представляет непреодолимые трудности. Бак это уже было сделано в гл.
1Ч прн рассмотрении одномерного нестацнонарного движения, попытаемся лилгаризировать уравнение (5). сделав предположение, что в рассматриваемом движении поле скоростей, плотностей, давлений и др. мало отличается от некоторого однородного движения со скоростью Г , плотностью р , давлением р и т. д. Выбирая ось х параллельной этому однородному потоку, будем нметьс и=Ь' +и, О=О, О=р,+й, р= — р, +р, а=а +а', ди' 2 ди' (а — Ч ) — +аз — = О, дх 'ду когорое, после введения числа М = —, перепишется так: а (1 — М'„') — + = О, ди' ди' дх ду где величины и', О', р', р' н а', так же как и их проиаводные по координатам, считаются настолько малыми, что можно пренебрегать вх квадратами н произведениями. В этом предположении оудем иметь вместо (5) следующее линейное уравнение: 326 плоское ввзвихрквоя движение сжимаемого газа (гл. ч! р- (г- +р' др', дт' ду ' (9) после чего уравнение (8) приведется к виду: дг,~ дгег (! — М„) — + — — О.
дхе дуг (10) Из уравнения неразрывности (2) следует, что существует такая функция ф(х, у), по аналогии с несжимаемым потоком называемая Функцией тока, что р ду' р дх' (11) В условиях принимаемой линеаризации уравнений движения сжимаемого газа рааобьем функцию тока ф, аналогично (9), на функцию тока однородного потока и функцию тока ы возмущений, соответствующую отклонению действительного потока от однородного, по- ложив У= ~'-У+) ' (12) тогда, согласно (11), будем иметь: р +р', дФ' — (1' +и') = И +-3-, р~ ' у' р +р', д!' р дх' или, откидывая малые второго порядка р' дф' и'+ — ~' ду (13) о'= —— де' дх Освободимся в первом из этих равенств от р', выразив его через добавочную скорость и', согласно формуле Бернулли, переписанной, в силу уравнения изэнтропы, в виде: !/г г, а-г а ( = — + — — ') .= сопя!, к — ! !р Разбивая потенциал скоростей 9 на потенциал однородного потока и малый потенциал 9' возмущений, будем иметь: й 511 линьАРВЗИРОВАнный ГАзОВый пОтОк Будем иметь, задавая константу на бесконечности, или !г и'+ — р' =О.
Рс~ РГ Исключая из этого равенства — и подставляя в (13), найдем: Ра 1 д(Р 1 — М' ду ! (14) Если последние выражения и' и О' подставить в условие отсутствия завихренностн (4), то получим уравнение относительно О1'. дгь 1 д~с~ длг 1 !ь1г дуг = 0 (15) аналогичное уравнению (10) Относительно добавочного потенциача е'. Уравнения (10) и (15) представля~от линелризированные уравнения плоеного безеихрееого движения сжимаемого газа; их следует решать при обычных граничных условиях для скорости на бесконечности и на поверхности обтекаемого тела (условие непроницаемости).
Покажем ход решения линеарнзированных уравнений на простейших примерах. 61. Линеаризировинный до- и сверхзвуковой газовый поток вдоль волнистой стенки 2и у = е з! и — х. А (16) Определим возмущения и', О', р', р', вноСИмыЕ тВердОй Стенкой з однородный поток со скоростью !г, направленный вдоль оси Ох. Начнем с рассмотрения дозвукового потока, при котором М (1. Обозначим через мв величину: ма= 1 — М,.„; В качестве первого примера решений линеаризированных уравнений рассмотрим поток вдоль безграничной волнистой стенки (рис. 102) в виде синусоиды с амплитудой е, весьма малой по сравнению с длиной волны 1. Уравнение такой стенки будет (1 7) 11опытаемся составить искомое решение, удовлетворявшее граничным д=е)(п ух Рис. 1()2, условиям (17), в форме произведения двух функций о.г отдельных аргументов Х(х) и У(у): ф' = Х(х) ° 1'(у); (18) Х" (х) )(у)+ —, Х(х) 1'"(у) = (), или Х"(х) ул(у) Л (х) == шек(у) = Г ~ 1 тх, (сов "(Х, (е'( У, у(у) = ~ из которых можно сосгавить комбинацию, удовлетворяющую граничным условиям (17), л' = А яп 7х е - ("')), (19) 2г если положить 7= — —.
1 йял '; Действительно, на стенке (у=езш — ") должно по (17) вьполняться равенство гу= Аз(пух ° е ' "'" '' =Аяп7х(1 — 7меяп7х+.. Е)= — (г ез1п 7х. 328 плоское Безвихю(вое движение си(имАех(Ого ГАзл будем искать решение уравнения (15) при следующих условиях: ) = (), 2ех прн у=ежив 1 или, согласно (12): 2хх 2г.х при у = ев1п— ), и при у-+ го л'= — )г еяп--:-- ), ф' -+ к конечной величине.
подставив его выражение в (15), полу)им где 7е — некоторая постоянная. Отсюда находим систему частных решений (гл. ш граничных 9 51! линеАРизнРОВАнный ГАВОВИЙ поток 329 :-)то граничное условие будет выполнено приближенно, если положить А= — ГГ, е (20) я оторосить в предыдущем равенстве, согласно принятой линеаризацнн, члены с ев и высшими степенями г.
Можно еще поступить иначе: выполнить первое граничное условие (17) Гиочно, но не на поверхности стенки, а на оси Ох, положив при У=О, б'= — Ь' ез)п(х. -т$ Г-М е 6' = — ГГ е ейп тх ° е (19') а используя (14), находим искомые проекции скорости: .Ое Г дУ ~' 1 — М" (21) д ' ' —;.
~' à — з~ "' х О'.= — — „' = !Г ЗГ соя тх е дл !Гак видно из этих решений, при удалении от волнистой СтЕнкИ (у- со) дополнительные скорости а' и О' быстро, по показательному закону, убывают до нуля, т. е. движение вдалеке от стенки переходит в невозмущенный однороднГчй поток со скоростью ГГ (рис.
103). СравГГнвая полученное дозвуковое движение газа с соответствующим движением несжимаемой жидкости со скоростью около той же волнистой стенки (М > = 0) 'злю Гл ВГВ!и Гх ° е — и =йй — М Ю и Гл е(соз'Гх рн.. 1ОЗ. коГОрое можно получить из (21), полагая в нем М =- О, заметим существенный для дальнейшего физический факт: в дозвуковом потоке с ростом числа м область возмущающего влияния стенки уве- личивается Г!одобный прием, характерный для всех методов рассмотрения движеьшй, мало уклоняющихся от некоторого прямолинейного, применялся Уже В ПРедыдущей главе при рассмотРении задачи об обтекании тонкой мало вогнутой дужки потоком несжимаемой жидкости, набегающей на дужку под малым углом атаки.
Второе граничное условие, очевидно, также выполняется. Итак, по (19) и (20), имеем решение поставленной задачи: 330 плоское вязвнх»ввов движение сжимлвмого глзл 1гл. хч Отношения добавочных скоростей в сжимаемом и несжимаемом газе равны: г 0 — Уа — и'1к важ Е ааж паж 11г — 1' а-мв 1и .,— =е Рнаж Таким образом, линии тока при М = 0 выпрямляются скорее, чем при больших М (рис. 103).
Определим распределение давления дозвукового потока на волнистую стенку. Для этого введем, как обычно, коэффициент давления Р Р,а 2 а" который в случае лннеаричированной теории равен (22) ! 2 аса '*' 11о теореме Бернулли Рв Л Р А — 1р2'Л вЂ” 1р, исключая плотность при помощи изэнтропы, получим или, вводя малые отклонения и', о' и р'. К,л'+ — = О, гаа р'= — р У и', линеьуизиРОВАнный ГАВОВый пОтОк ЗЗ! Подставляя это значение р' в формулу (22), найдем общее выражение коэффициента давления р в линеаризированной теории — 2и' р= (23) В частном случае волнистой стенки будем, согласно первой из формул (21), иметь 2ст .
— т )/!-м~ в р = — з1П 1х ° е У ! — М'„' Давление на волнистую стенку получим, если, следуя принятому приближению, положим в последней формуле у = О; будем иметь 21 (Р)в-о = — З1П ух. У ! — М'„ Сравнивая коэффициент давлений на стенке в сжимаемом газе при данном М и несжимаемом (М = О), получим — важное соотношение, показывающее, что в принятом приближении коэффициент давления ло поверхности обтекаемой стенки растет с числом М по закону Раса У ! — М'„' Это соотношение в дальнейшем будет обобщено и уточнено. Перейдем к рассмотрению сверхзвукового потока (М ) 1). Вводя в этом случае обозначение а =М вЂ” 1, перепишем уравнение (15) в виде: дед' 1 дЦ' О (15') дхт ас дут Это волновое уравнение имеет, как известно, общее решение и,~я в симВОлы пРОизвольных фУнкций) Ф' = Гг (х — аУ) +ге (х+ аУ), з чеи легко убедиться простой подстановкой.
Рассмотрим решение, соответствующее первому слагаемому Ф! =У! (х ау) 332 плоское везвихвавое движение сжимаемого газа [гл. чг Полагая х--ау = С„ убедимся, что вдоль прямых этого семейства (С,) величины б', и', о', р' и т. д. принимают постоянные значения Ф'(С,), и'(С1) и т. д. Вспоминая сказанное в й 28 гл.!Ч, видим, что семейство прямых (С,) представляет одно из двух семейств харакгиериппик волнового уравнения (15'). Аналогично, семейство прямых (С~ х+ау = Ся представляет второе семейство характеристик того же волнового уравнения.
Уравнение (1б') — линейное уравнение с постоянными коэффициентами; в силу этого характеристики (С,) и (Ся), в отличие от рассмотренной в й 28 гл. !Ч нелинейной системы (27), определяются в простой конечной форме. Вспоминая ранее изложенные свойства характеристик, убеждаемся, что и в настоящем частном случае, зная распределение характеристик в плоскости х, у, можно по заданным значениям ф', и', о', р' и т.
д. вдоль некоторой линии, не принадлежащей к семействам характеристик, найти значения этих величин во всей плоскости: и'(х — ау) = и'(С,), о'(х — ау) =о'(С,). и'(х+ ау) =- и' (Ся), о' (х —, ау) = о'(Се) и т. д. Принимая во внимание необходимость выполнения граничных условий: 2ят прн у=О у = — )г ез!птх, !т= — ') х при у -+ со 6' -ь к конечной величине, будем искать функцию ',' в виде ф' = А а!п [т (х — ау)[, Тогда из первого граничного условия будет вытекать А= — )г, е, что приведет 4 =- и-- (2б) к следующим окончательным результатам: — )г,о ев!и!.! (х — ау)[, 1 дт' ~/ — — соа [; !х — ау)[, Ме 1зу т,Г е, Дз 1 — — = 1гае"1соа [7 (х — ау)[, 2чт соя [т (х — ау)[. [УМ'„— 1 51) г!инаАРизиРОВАниый ГАВОВый поток 333 Проанализируем полученные результаты тим следующее специфическое свойство сверхзвуковых потоков: вазжуигаюигее влияние стенки на поток не исчезает при удалении от стенки, как это имело место в дозвуковых потоках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
