Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Опыт многочисленных расчетов показал, что для употребительных на практике крыловых профилей изложенное первое приближение оказывается вполне достаточным. Совокупность равенств (100) н (112] дзет преобразование части плоскости л вне крылоного контура К на внешнюю по отношению к окружности круга Е часть плоскости ш, т. е. как раз то основное конформиое преобразование (74), о котором говорилось в 8 42 (всномнить рис.
85). Желая найти распределение скоростей по поверхности крылоного профиля К или вне его, используем комплексный потенниал у(ш) обтекания кругового контура Е с наложенной на него циркуляцией. Будем иметь "Е 8У. )г(а) = — = — ° — ° — ' Из иш !(Е Ил Величину наложенной циркуляции определим, пользуясь постулатом Чаплыгина о плавном обтекании задней кромки крыла, представленным формулой (80). Заметим, что последние два сомножителя в только что составленном выражении комплексной скорости имеют чисто геометрический характер и ие зависят от кииематнческих условий обтекания — скорости и угла атаки. Это делает простым пересчет распределений скоростей с одного угла атаки ((ш г(Е на другой, еслн комплексные величины — и — ' для заданной формы кры- Н".
с(я лового профиля уже определены. Расчет поля скоростей вокруг профиля представляет особые вычислительные трудности, удачно обойденные Я.М. СеРебрийским путем применения специальных приемов. В методе С. Г. Йужина промежуточное отображение на „почти-нруг отсутствует и решение задачи сводится к непосредственному отображению области, внешней по отношению к крыловому контуру К, на область вне круга Е (см. рис. 9?). Лля этого между физической плоскостью течения я и вспомогательной "эоскостью ш устанавливается соответствие в форме ряда Лорана ьс ж, спа» + шп й! (1! 3) с !шнэвсстнымн комнлекснымн коэффициентами гг! = Рс+ ! "и подборе угла т, а следовательно, и э, контур ,почти-круга" Кс будет мало отличаться от контура круга Е, соответствующие точки будут близки друг к другу н.
как показал Я М. Серебрийский, можно с лостаточной для практики точностью пренебречь в первом приближении разницей между полярнымн углами с и З соответствующих точек в плоскостях 1 и ш, При желании метод позволяет получить следующие приближения, учитывающие разницу между углами с н 0. Замечая, что для точек, лежащих на контурах К* и Е, будет: х = 1, р„(с), перепишем в принятом приближении (Ь = с) первое равенство предыдущей системы в виде !и — = а„+ ~л (а„соэ нс -(- Ь„щп лс). Ра (с) а п 1 ПЛОСКОЕ ВЕЗВИХРЕНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ Ггл.
ч З)4 Полагая в (113) м = аен н выделяя в нем действительную и мнимую части, получим систему двух действительных равенств: х(О) = р„+асов О -1- ~~~ (росоз п0+ гьэгп п0), и=! -,-" .й!,.ч. -„;» ( л=! (НЗ) 1 Г х, (В) = — ~х (О) + х (2л — О)1 = рэ+ 2а соэ Π— ~~~~ Ва соэ пз, э ! х (О) = — ~х(0) — х(2л — 0)~ = ~„Аээ!и а'!, ! Г э ! (114) Ут(0) .= 2 ~У(О)+У (2г: — О) = Аэ-! ~~ Аасы нО, 1 Г и =.! ! Г Э Уэ (0) 2 ~У (О) — У (2г — О) ~ = Р Влэ!ало, л=-! Входящие сюда навис коэффициенты Фурье: Аи — э„, Вл —— — !ьо, В! = а — р! (114'! могут быть определены по обычным формулам л л Аэ= — ~ У,(О) с!О, Ао = — ~ Ут(0) соя пВИО 1 /' 2 о о (115 2 Р В„= — ~ ут (О) э!п пВ аа Неизвестные коэффициенты Ао, В„определяются следующим процессом последовательных приближений. За нулевое приближение принимается: х!з)= — соя 0, у(о)=-0, А!о)= В(Л=- Р)=0, а = что соответствует отображению на нруг пчастинки.
Затем, задаваясь последовательными значениями В и соответствующими значениями х!'э, определяют по чертежукрылового профилв величины ординату!!) (01,а также у!г)(В) иуэ!О (О) проведенных через выбранные абсциссы. Пользуясь интегральными выражениями коэффициентов Фурье (! 15), по найденным значениям у!!г! ГВ) н у!Ог! (О) представляющих параметрическое уравнение крылоного контура, выраженное через параметр 0 — угол в плоскости и между радиусами-векторами точек на круге й, соответствующих точкаи иа контуре К, и действительной осью. Разобьем коордннаты х(0) и у(0) иа полусуммы и полуразности их значений на круге 5 в точках с угловыми координатами 0 и 2л — О, поло!низ х(О) = - (О) — , 'х,(0) у(О)=у (0)+тт(О); 48! овтв«апик произвольного кгылового пгофиля 815 определяют новые значения коэффициентов Ао, А» и В„ в первом прибли- П) гй (Ц »<енин.
Эти значения коэффициентов позволяю~ найти новые функции х!ц(0), сэц(0). а это в свою очеред~ по предыдущему приведет к уточненным значениям ординат и т. д. Не останавливаясь на весьма интересных деталях метода С. Г. Нужина, облегчающих проведение выкладок и делающих их наглядными, заметим, что автору метода удалось провести доказательство сходижости процесса последовательных приближений, что выгодно характеризует метод с теоретической стороны. Можно заметить, что наибольшие вычислительные трудности в обоих только что рассмотренных методах связаны с необходимостью определения коэффициентов ряда Фурье, выражающего логарифм отнокгения радиуса-вектора точек „почти-круга' к радиусу круга через угол в промежуточной плоскости в методе Серебрийского, или координаты крылового профиля в физической плоскости в функции от полярного угла в вспомогательной плоскости в методе Нужина.
В первом нз указанных методов для этой цели с успехом используется способ, горок", во втором приходится непосредственно вычислять квадратуры (115). В методе Л. А. Симонова основную роль играет преобразование внешней по о~ношению к контуру крыла К части плоскости л на часть плоскости и вие кругз А, аналогичное (1!3), с той лишь разницей, что прн м в первой степени сохраняется комплексный коэффициент.
Замечая, что из первых членов разложения (1!3) можно выделить группу, предстанляющую отображение некоторой „эквивалентной" пластинки, имеющей одинаковую с рассматриваемым крыловым контуром подъемную силу, Л. А. Симонов пнтерпрегирует указанный комплексный коэффициент, как одну четверть комплексного вектора, совпадающего по величине и направлению с эквивалентной пластинкой. Ряд (НЗ) может быть представлен при этом в виде (! и 1„— проекции эквивалентной пластинки) 4 м в э ~ ~ш (1! 6) ч--! Отделение действительной и мнимой частей приводит к рядам, аналогичным (113'), которые, пользуясь известными формулами теории функции комплексного переменного, удается представить в интегральной форме: эч л (0) = — — ~ у (О') с!д — бО'+ — 1л соз 0 — — Х юп О .+ сопя!, ) 2к~ 2 2л 2 зч 1 Р, 0' — О, ! .
1 У (О) = — к(0') с!д пО'+ — Е э!и О+ — Е соя О+сонм. о 4х г(к Определенные в точках крылоного контура производные 1„= —, 1., = = кО к= лб удовлетворяют системе равенств; зч ! хж(О) = — — Л, (")с!и — Н' — — ( шип 0 — — !эссэ О, ~ о (117) зч 1 л (О) = — 2! ) (О') шй кО , ! э 0 — — ( з!п О, Я 2к~ х 2 2 х И ' ) э 316 ПЛОСКОЕ БЕЭВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [гл.
эг аналогичной (116'). Расчет фушсиий: л(В), у(В), Л (В), ), (В) может быть произведен путем последовательных приближений в сестемах (116') н (117), причем входящие в правые части этих уравнений интегралы могут быть сведены к суммам, аналогичным применяемым в всеханичсских квадратурах. Основной особенностью метода Л. А. Симонова является установленная им тесная связь между параметрическими выражениями коорцийат крылоного профиля х(В), у(В) и величинами Лт(В) и Ло(В), входящими в основную формулу распределения скоростей.
Это позволяет при пользовании методом р -2,б иоитичесние точни ноитичеснан точна Рис. 98. разрешать как ноямую зздачу разыскания распределения скоростей на поверхности заданного профиля, так и обратную задачу определения формы крылоного профиля по заданному распределению скоростся или давлений по его поверхности.
Расчет по методу Симонова становится особенно простым, если исследуемый произвольный профиль сравнивать с близким емч профилем, обтекание которого уже известно, В этом случае дело сводится лишь к определению малых поправок. В оригинальной статье Л. А. Симонова можно найти интересные материалы, иллюстрирующие применение метода к конкретным крыловым профилям. Весьма существенен указанный автором прием составления нового 8 49) ТЕОРЕМА ИГУКОВСКОГО ДЛЯ ПЛОСКОЙ РЕШЕТКИ профиля путем сложения комплексных координат или пропорциональных им величин двух известных профилей, и определения скоростей по поверхности такого составного профиля.
На рис. 98 сплошными кривыми представлены рассчитанные по методу Серебрийского распределения давления по верхней и нижней поверхностям некоторого симметричного профиля, имеющего сравнительно с профилем Жуковского смещенное назад миделево сечение (место максимальной толщины . о оси ординат отложена уаге знакомая нам безразмерная величина разности давлений в данной точке поверхности профиля н на бесконечности, отнесенная к скоростному напору набегающего потока Р яаь р= 1 2 '"' по оси абсцисс — безразмерная координата, равная отношению абсциссы точки иа профиле, отсчитываемой по оси симметрии профиля от носика, к длине профиля.
Как видно из графика, смещение назад места максимальной толщины симметричного профиля приводит при нулевом угле атаки к более плавномт распределению давлений по поверхности профиля, чем у симметричного профиля Жуковского (на рис. 98 — пунктир) той же относительной толщины. 8 дальнейшем будет поназано, что при прочих равных условиях, в частности, при том же коэффициенте подъемной силы, плавность распределения является положительным признаком крылового профиля с точки зрения его сопротивления и поведения при больших скоростях. Далее из графиков видно, как меняется распределение давления при возрастании угла атаки, как возникает ник разрежения р ; на верхней поверхности и насколько он быстро развивеется (на рис. 98 пик разрежения, при а = !О' равный р,м„ = 4,5, ие помеспыся на чсртеасе).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
