Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 55
Текст из файла (страница 55)
ч 292 у~ =~о и - а — о где х, у — координаты текущей точки на линии действия равнодействующей, а Яа, Йв имеют значения: 1с =2ьрт а~ 1гч,~я д. ч.(е ы — 1)= — 4пйт, а~ 1/ 12япеа, А'„= — 2"срт а! 1l ~ и. ч. (е !' — 1).=4пр>п,„и) 1г ('япасова. Уравнение линии действия равнодействующей будет иметь вид: Г 1т>1 х 21 и а сов а + у я п а = — д.
ч. ( — ) . '(, 2а )' При выборе начала координат в фокусе О' и направления оси О'х по бесциркуляционному направлению, будем, согласно (97), иметь: т, г, = О = тв —— о = = о так что уравнение линии действия перепишется окончательно так: 2 х яп а сов а + у я ля а = — — д. ч. (>>Лв) = е. 2 Найдем огибающую линий действия равнодейству>ошей. Лля этого по общему правилу исключим а из совокупности предыдущего равенства и полученного из него дифференцированием по а равенства хсоз2а+уяп22 == О. Тлдем иметь систему равенств: хяп 2а — у сов 2а = 2ь — у, х сов 2а--'уяп 2а =- О, хе+ уя = — (26 — у)2 хе = 43(6 — у).
откуда следует или Огибающая линий действия равнодействующей, соответству>ощих разным углам атаки, представляет параболу, названнук> С. А. Чаплыгиным пириболой устойчивости или параболой метаиеитров. ' > С. А. Чаплыгин, К обшей теории крыла моноплана. Собр. Соч., т. 11, Гостехигдат, 1948, стр. 246 †2. Найдем уравнение линии действия равнодействующей сил давления; для этого, поместив начало координат в фокус О', напишем очевидное соотношение: 293 9 45) главный момвнт сил давления Расположение параболы устойчивости относительно профиля показано на рис. 93. Фокус крыла служит фокусом параболы, директрисса ее проходит параллельно оси О'х на расстоянии у =23 = — д.
ч. (»»по) =и ч п»о На директриссе находится точка О", с комплексной координатой г „= тя; эта хаРактеРнаЯ точка пРофилЯ, называемаа ионй>оР.ины.ч о" центром, имеет наравне с фокусом важное значение в теории крыла, особенно в теории нестационарного дан>кения. >лля построения линии действия равнодействующей нет необходнчости строить параболу устойчивости. Известно, что всякую параболу можно построить как огибающую перпендикуляров, восстановленных Рис. 93. к лу жм, проведенным из фокуса, в точках их пересечения с директриссои. Поэтому, если известно положение фокуса н конформного центра, то построение линии действия равнодействующей производится без труда. Проведем через конформный центр прямую, параллельную бесцкркуляционному направлению, — это будет директрисса параболы ус»ой»изости; затем из фокуса проводим луч, параллельный направлению набегания потока до пересечения с директриссой, и, наконец, перпендикуляр к лучу в точке его пересечения с директриссой.
Этот перпендикуляр и представит линию действия равнодействующей сил давления потока на крыло. Таким образом, полная сила давления потока может быть сведена »: одной силе, равной по величине и направлению подъемной силе. Эту силу можно переносить вдоль линии действия в любую точку крьща, например в точку. пересечения линии действия равнодействующей с линией хорды„ называемую центром давления. Центр давле'»ия крыла при изменении угла атаки перемещается вдоль хорды. 1»рь»ловые профили„ у которых положение центра давления не зависит изменения угла а»аки, †т называемые профили с постоянным пе>прои давления в представля»от ряд конструктивных преимуществ. 1риверами могут служит» рассмотренная ранее пластинка или близкие 294 плос,;оь вязаная:ввцс двцжьнпв жидкости 1гл.
ч к ней сизщегричпые профили, щ1стоянный ценгр дчщщнкя у которых лежит примерно на четверти расстояния от передней кромки. В этом слу;ае фокус совпадает с центром давления, а параоола превращается в точку. Вообще, если момент сил относительно фокуса равен нулю, то фокус совпадает с постоянным центром дзвления. й 46. Частные случаи конформного отобрзжения крылового профиля на круг. Преобразование Жуковского — - Чаплыгина. Теоретические крыловые профили Среди многообразия функций (94), отображающих физическую плоскость течения з на вспомогательную плоскосгь ".. рассмотрим некоторые простейшие, преобразующие в круг О" такие замкнутые контуры С, которые могут по своей форме подойти к требованиям, предъявляемым к крыловым профи.ам.
у) Рпс. 94. Первое такого рода преобразование было указано Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным еще в 1910 г. н имеет вид: =- = —,, ~ . + — „) . (96) Окружность С" рздиуса с в плоскости ". преобразуется в плоскости а в отрезок г'г" (рис. 94) на оси Ом с концами в точках (- — с, 0) и (+ с, О). В самом деле, полагая "=сеп найдем з = — (еп+ е-') = ссозз с 2 3 так что полному обходу окружности (О =-=- з ..—.: 2п) сооч ве гегвует двойной обход отрезка тч'Г', справа налево и слева направо.
Окруж- 9 4б) ЧАстные случАи коняоямного ОУОввАжения 295 ностям С1, С в плоскости ". булут соответствовать в плоскости з софокусные эллипсы С,, Ся с фокусзчи Р и Р'; действительно, полагая, например, в !98) 9 =Ье", (Ь) с), полу 1им е = — — ~Ьеы + — е-1. ) 2 А Ь осьуд! сцдч~ г 1Г ся, У = — 1Ь -- — 1я1п е 2~ Ь/ 1.ос~являя коэффициент конформного отображения ве 1 / сед лг = — =- — 11 Б 21, чя)' видим, чго то пги Ре и Р' с координзтзми с =- - с являются особилги, ~зк как в этих точкзх и.=.= О, и конформность преобразования нарушзется. Б самом деле, углу я в то~хе Р' соответствует угол 21г в точке Р, в чем легко убедитьой нерепиаявзя преобразование 198) в форчс (99) и производя срзвнение аргументов левой и правой частей для з и '., мяло отличающихся от -":.с [см. (79) 9 42). Показатель степени в пр вой ~асти 199) приводит к удвоению углов, имеющих вершины в особых точках.
В то нгзх А; и А', как видно из рис. 94, конформность пе нзрушзется. г!сновная идея построения теоретических профилей Жуковского— Чаплыгина заключается в следующем. Возьмем в плоскости ч круг К*, '1ентр которого несколько смещен влево так, чтобы круг Кв соприкзсался с кругами С и С, в точках нз оси О;. В силу непрерывности вреобрззовзния легко сообразить, что кругу К» в плоскости г, расволежеппоыу з кольце между кругами С и С~, будет соответствовать неко1орый ззмкнутый контур К в плоскости з, расположенный в отвести между эллипсом С, и отрезком РР'. При этом в точке Р конгур К будет имегь острую кромку с нулевым внутренним углом впенппим углом, р шнь я 2я. Симметричный контур К с задней острой кромкой, известный нод нззванием „руля Жуковского", имеет Обтскзсмую форму п предсщвляет первый пример крыловых профилей ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОВ ДВИ>КЕПИГ жИДКОСтИ [ГЛ.
ч! Жуковского — Чаплыгина. Проводя другие окружности со смецгенными относительно начала координат О" центрами, причем такие, чтобы Рвс. 98!. всегда по крайней мере одна нх точка совпала.!а с особой точкой ГВ, получим всевозможные профили Жуковского †Чаплыги. Вместо (98) и (99) иногда рассыатрива!От преобразования: Г! з= + —, (98!) с- -2с / -- с,! гс с -!- 2с ~, ". + ! !! ' (99') 9 46) члстныв сля>ли конеоимного отовилжвння 297 б, — ге!» и, согласно (98), е = — (:+ — />= — (ге!»+ — е-!»).
1 ' сэ ч 1 / . сэ 2, б) 2». Сравнивая в этом равенстве действителы>ые и мнимые части, полу >им: 1/, с>1 1/ еэ' х- — —,1г-- — созч у — — г — )з>п . 2» ' г/ ' 2(, Исключая из этих двух равенств г, найдем, >то хяяпэч — уясозэч =сяяпэчсозз ч. Г другой стороны, соединив точку М с центром /ч>» круга К, радиусом а„, получим МэМ = ОеМ -',- Ояко — 2ОеМ ° ОаМозш илв, как видно из чертежа (р — угол между линией центров Л>з, г>! смещенных окружностей и осьи> О*В), — =гз+ев18вр- — 2сг1~~з1п ч, соээ Р о!куда следует 2у гэ — с' — = 2с 1!» р э!п э1ич г соззч = 1 — —. У с ° 1я 8 Б>печ = —, у с !а8' ' Ем.
К и бел ьч К о ч и и и Ровс, Курс теоретической гилримехзииии, '. 1, 1948, сгр. 278 — 288; „Лэролииэмика", пол ред. Л>о р э ила, т. 1!. ОбиРоягиэ, !933, стр. 92. отличающиеся от предыдущих масштабным коэффициентом ',„так, преобразования (98') и (99') переводят основной круг Ся в отрезок на оси Ох, з дза раза больший чем диаметр круга. Не вдаваясь в детали геометрического построения профилей Жуковского — Чаплыгина, ' приводим на рис. 95 различные типы профилей. Если центр круга К,* находится з точке Л/> оси Ос, то в плоскости х получим „руль Жуковского" К, (показанный на рисунке пунктиром).
Круг С* переходит в отрезок гг"' (круг С"' и отрезок Гг"' показаны пунктиром), служащий „скелетом' руля Жуковского в том смысле, что при уменьшении относительной толщины руля контур его К, будет стягиваться к отрезку )ег'. Поместив центр круга К, в точку Мэ на оси Огь получим в плоскости з круговую лужку Кэ, опирающуюся в концы отрезка гГ', В самом деле, соединяя точку М окружности Кэ отрезком О'И == г с началом координат Оя н обозначая полярный угол через ч, будем иметь: 298 !гл.
т плоское ввзвихвевое движение жидкости 11одсгавгн|я эти величины в равенство !е), после нростых приведений получим уравнение круга: ха+(у+с с!н2'")а = с'-' сзсе23, с иск>рок> в точке (!1, — с с!е 23) и ради>сом ссзс29, по н доказываег ранее сделанное утверждение. Полагая в уравнении круга х .. !>, >падем стрелку нрогнба Ь дужки (рнс. 95, снизу): О ~ ношение с>редки нро! иба 8 к хорд РР' = 2« определяет «огну>лоси>ь дужки !'.=-= —,'- =-- —, Ве !о ! 2« 2 и«н, нри малых !>, ./' — — Г 1 2 Наконсд, круг К': с дснтром в .лобок >очке Лг плоское>и ", нро: одян>ий через особую точку Г:".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
