Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 52
Текст из файла (страница 52)
87. Легко составить аналитическое выражение функции, совершаюшей такое отображение, в областях, близких к Особым точкам В и Ве в плоскостях и и 1. Покажем, что это будет функция зн Л' ( ~вл) где ип и," „ — комплексные координаты точек В и В'", Лг †некоторое действительное число. Для этого проведем вокруг точек В и В" окружности произвольных малых радиусов г и гл и обозначим через Р и Ри углы, образованные этими радиусами с осями х и 2. Тогда предыдущее равенство перейдет в такое: 22 — 2 ел — 2 — 2 —— геа = — Лги ' с Приравнивая аргументы левой и правой частей, убедимся что, действительно, изменению Рл на -.
соответствует изменение Р на 2к — о. й 421 пгямля злдлчь геояии плоского движения 278 Имея преобразующую функцию (79), можем теперь установить связь между скоростями в точках В и В*. По ранее выведенным формулам получим: с=с в в ~ аг 'в:: с=..с я" нли, вычисляя производную по (79), — — 2е — а Уве = Ун л4 ("- — 1в~)е я "я~ Согаасно гипотезе Чаплыгина, скорость Ув должна быть конечна, последний же сомножитель, поскольку е(п, обращается в нуль; следовательно, все произведение равно нулю. Отсюда вытекает важное заключение: если задняя острая кромка является точкой плавного стекания струй с конечной скоросгпью, то соответствуюисая задней кромке точка >груза во вспомогательной плоскости должна омеге критической.
Из этого условия найдем циркуляцию Г, если, используя (77), напишем, что скорость в точке Ве равна нулю: — гйхе1 — т Уач с 1 йлг. 2тй 1л 'я~ Полагая здесь: ьв*= аееь У„=~ У,,! ° ем, где ее — полярный угол точки Ве, а — радиус круга С", 0 — угол, образованный скоростью на бесконечности с осями Ох или О.":$, получим откуда найдем 4 й — 'е1 — ~ и — 'в1 Г= — 4пат ~ У нли, переходя от показательных функций к тригонометрическим, Г=4яат ! У ~з!п(ео — 0 ). (80) Легко сообразить, что при обтекании, показанном на рис. 87, 0 ) ве, так как направление скорости на бесконечности параллельно линии, соединяющей критические точки А" и В*; в этом случае С и, т.
е. наложенная ци1 куляция должна соответствовать вихрю, 276 плоское БезвихРБВОВ дВижение жидкОсти ~гл. т вращающему жидкость по часовой стрелке для наблюдателя, смотря. щего на чертеж. Введем обозначение — вв = и и перепишем формулу (80) в виде: К Г= — 4яат ~ Ъ' ~з1па. (81) Повернем по отношению к заданному потоку профиль так, чтобы и без наложения циркуляции (Г=О) задняя кромка Оказалась точкой плавного схода Струй. Отметим на самом профиле в виде некоторой прямой КК (рис. 88а) направление скорости на бесконечности, соответствующее этому беслирнуляаионному безотрывному обтеканию.
Жестко связанную с профилем прямую КК булем называть на- К правлением беслирнуляиионного обтекания, а соответствующее А значение угла 0 = ев — углом ю в виирввввииввнвв сравнение беспирнУлЯлионного обтенаниЯ профиля. Повернув профиль на угол а (рис. 88 б), получим вновь безотрывное, но уже циркуляционное Я обтекание с циркуляцией, опре- — деляемой равенством (81). вв иирвтвввивввве вввтввие ОстРый угол и между напра- влением скорости набегающего порно. 88. тока и направлением бесцнркуля- ционного обтекания КК будем в дальнейшем называть теоретическим углом атаки, в отличие от других общепринятых практическая углов атаки, определяемых как углы межлу направлением скорости на бесконечности и „хордами' крыла, задаваемыми разнообразнымн способами.
Сравним между собою формулу (81) и формулу (61), которая давала значение циркуляции, накладываемой на пластинку для того, чтобы задняя ее кромка была точкой плавного схода струй. Формулы эти станут тождественными, если заметить, что направление бесциркуляционного обтекания пластинки совпадает с направлением самой пластинки, а теоретический угол атаки а равен углу 0 скорости на бесконечности с осью Ок. В этом случае, производя отображение пластинки длины 2с на круг радиуса а, убелимся, что произведе- 1 ние ат, равно — с. 2 Прежде чем перейти к иллюстрации метода конформных отображений, выведем общие выражения главного вектора и момента сил давления, приложенных к обтекаемому контуру со стороны потока.
в 43~ таовамл жтковского о подъамной сила квылл 2УУ й 43. Теорема Жуковского о подъемной силе крыла. Зависимость подъемной силы от угла атаки. Коэффициент подъемной силы Создание общей теории воздействия плоского потока идеальной жидкости на помещенный в него крыловой профиль является заслугой великого русского ученого Н.
Е. Жуковского, опубликовавшего свою известную теорему о подьемной силе крыла в 1906 г. в классическом мемуаре „О присоединенных вихрях'. ' Н. Е. Жуковский первый установил вихревую природу сил, действующих со стороны потока на крыло, и указал на наличие простой пропорциональности между этой силой и интенсивностью вихря, „присоединенного" к обтекаемому телу. В предыдущем параграфе уже указывалось, что решение задачи об обтекании любого профиля содержит некоторый произвол: один и тот же профиль, при заданной по величине и направлению скорости набегающего на него потока, может обтекаться бесчисленным множеством образов.
Все зависит от величины циркуляции скорости, вычисленной по замкнутому контуру, охватывающему обтекаемый профиль. Величина этой циркуляции, так же как и природа возникновения в идеальной жидкости вихрей, сумма интенсивностей которых должна быть ранна этой циркуляции, представляла долгое время неразрешимую задачу. Физическая причина возникновения циркуляции связана с наличием трении (вязкости) в жидкости.
Как уже неоднократно упоминалось ранее, в реальной жидкости, обладающей внутренним трением, частицы, проходящие в непосредственной близости к поверхности профиля, образуют тонкий пограничный слой. В этой области резко проявляется неидеальность жидкости, движение жидкости будет вихревылг, причем интенсивность вихрей может достигать больших значений, так как скорость частиц в пограничном слое резко меняется от нуля на поверхности обтекаемого тела до величины порядка скорости на бесконечности на внешней границе слоя.
Так, например, на крыле самолета максимальная толщина пограничного слоя не превосходит нескольких сантиметров, в то время как разность скоростей на поверхности крыла и на внешней границе пограничного слоя достигает величины 100 — 200 лс в секунду. При таких значительных неоднородностях скоростного поля суммарная интенсивность вихрей по всему крылу, а следовательно, и циркуляция скорости по замкнутому контуру, охватывающему крыло, может достигать больших значений.
Теория идеальной жидкости, не учитывающая наличия трения, естественно, не могла объяснить возникновения вихрей в набегающем на 'е.то безвихревом потоке. Лля того чтобы, оставаясь в рамках теории идеального безвихревого потока, определить величину воздействия ' бм. Избр. соч., т. 11, стр. 9?. 278 плОское Безнихвеное дВижение жидкости [гл. зг потока на помещенное в него тело, заменим, следуя Жуковскому, контур тела замкнутой линией тока и предположим, что внутри нее происходит движение жидкости с „особенностью" — вихрем, имеющим ту же интенсивность, что и сумма интенсивностей вихрей, которые образовались бы на самом деле в тонком слое на поверхности тела при обтекании его реальной жидкостью.
Такой вихрь Н. Е. Жуковский назвал присоединенным к рассматриваемому тввр. дому телу. Интенсивность „присоединенного вихря", или, что то же, циркуляция скорости по контуру, окружающему крыловой профиль, могла бы быть принципиально вычислена только при помощи расчета движения реальной жидкости в пограничном слое или при помощи некоторого дополнительного допущения об общем характере обтекания тела. По последнему пути пошел, как было указано в предыдущем параграфе, С. А. Чаплыгин, предложивший свой замечательный постулат конечности скорости на задней острой кромке крыла, позволивший определить величину „наложенной" циркуляции, или, что то же, интенсивность „присоединенного вихря". Эти две глубокие идеи великих русских аэродинзмнков Н.
Е. Жуковского и С. А. Чзплыгина: присоединенный вихрь н постулат конечкосгпи скорости на задней кромке кры- У ла — легли в основу всей современной теоиз з рии крыла. 5 Начнем с доказан тельства теоремы Жуг С ковского о подъемной 0 силе крыла в пло- в' В г скопараллельном по. А токе. Предлагаемое ниже векторное доказательство теоремы ЖуС ковского только по Г форме отличается от классического доказаРнс. 89. тельства этой теоремы, данной ее автором.' Применим теорему количеств движения в форме Эйлера Я 23, формула (38)1 к объему жидкости, заключенному между поверхностью обтекаемого контура С (рис. 89) и проведенной в удалении от контура С окружностью круга С„ с центром в точке О н радиусом г.
Пренебрегая объемными силами, будем иметь, заменяя в формуле (38) 3 23, з См. предыдущую сноску, в так'ке стзы,ю Н. Е. Ж у к о в с к о г о „О кои. зурах поддерзивающнх поверхностей аэропланов". Избр. соч., т. 1з~ стр. И7. а 43) таовама жаковского о подъемной сила квыла 279 в силу плоского характера течения, 0ч на ~1з ° 1: ~ рп чз ~ рипа ) РЧ ьгвпз=б. с с„ д„ В этом равенстве опущен, как равный нулю, перенос количества движения сквозь твердую поверхность профиля С. Первый интеграл представляет главный вектор снл давления со стороны обтекаемого тела на жидкость.
Та же величина с обратным знаком определит искомый главный вектор сил давления жидкости на тело Й = ) рп'г1з, и й = — ~ рпдг — ~ РЧР'„Ж. в ь (82) По теореме Бернулли рь я р = сопя1 —— 2 ' причем, как мы уже знаем, постоянная, стоящая справа, имеет в слу- чае бсзвихревого движения одинаковое значение во всей области тече- ния, а следовательно, н на круге С„, так что 11 =- 2 ( 1 п Уз — ~ РЧРв Уа (82') и„ г„ Разанким вектор скорости Ч на два слагаемых, положив Ч=Ч +Ч', где Ч=,— скорость в бесконечном удалении от профиля, а Ч' — скоРость воз.яукчвния, вносимого профилем в однородный плоскопараллельный поток. Относительно этой убывающей до нуля с удалением "г обтекаемого тела скорости возмущений будем предполагать, что ее модуль 1г' убывает с ростом расстояния г от начала координат, вб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
