Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Простейшая схема безвнлревого описания такого рода движений приводит к необходимости отказа от основной гипотезы непрерывности поля скоростей н введения в рассмотрение линий разрыва скоростеи, которыми слух;ат сорвавшиеся с острых кромок линии тока. Иден втой схемы, предложенной впервые 1 ельмгольцем в кзасснческой монографин ,О разрывных течениях жидкости", относящейся к 1868 г., закл»очастс»» з допущении, что сорвавшиеся с острых кромок линии тока— так называемые саибодкые линии тока — уходят на бесконечность, .." „ап" р=р К=~ " ...; бесконечную мертвую !! ' л -- гиоодк я л»:» ..
зону покоящейся жидко. ==- стн. Если отвлечься от ф ===д †'-- влияния объемных сил,то , == — ":Р»1: —:: —. - одинаковым. как легко ® = -=!р= сообРазнтть оно бУдеТ " "...РЯ .аах д - Саайадкалз-,= †-„ Одинаковым и на грани'""гииы '-ш к , -щ :к)»»»л цах зоны,на „свободных' теореме Бернулли, примененной к свободным Рис. 81. линиям тока со стороны движущейся !инакости, следует, что вдоль свободных линий тока скорость сохраняет лостоямкую аеличииу. Нулевая линия тока (рис.
81) приходит в критическую точку О» где разветвляется на две линии тока, располозкениые на поверхностк обте. каемого тела. В точках А и В, соответствующих острым кромкам, линии тока (4=0) сходят с тела и образуют две свободные линии тока АК' н ВК", вдоль ко»орых давление равно давлению в ,мертвой зоне, а скорости постоянны. В »том отличие свободной линии тока от твердой стенки, которая также может рассматриваться как линия тока, но с переменными, как прзвило, давлением и скоростью.
963 ПЛОСКОВ ДВИЖН!ИГ С ОТРЫВОМ СТРУЙ 8 41) 1'ельмгольц указал па простой класс примеров построения таких отрыв«ых обтеканий со,свободными" линиями тока и „мертвыми зонами'. рассмотрим следующую дифференциальную связь между комплексной координатой г и комплексным потенциалом 76 = Гс(Х) ~ )' Рз(д) 1 (67) Ну откуда На свободной линии тока, где скорость постоянна, должно выполняться условие ®) +® = сонэ<, (69) Предположим теперь, что функция г<(у) при некоторых значениях 9=сопл<, иными словами на некоторых линиях тока, принимает только действительныс значения.
Тогда в области значений ГН при которых )<ч(ч))1. правая часть равенства (68) будет иметь действительное значение, так что уравнение (68) приведется к системе: дх ду — = Р (9) = Г'Уз(9) — 1, — =О, ду (70) Из второго уравнения этой системы следует, что рассматриваемый участок линии тока состоит из отрезков, параллельных оси Ох(у =солж). Часть линий тока, представленная системой равенств (70), не удовлетворяет условию (69), следовательно, эти отрезки линий тока не являются „свободными . Возьмем теперь ту часть линий тока, на которой 7<э(7) (1. По (68) будем иметь: дх ) да= — = Р(9) — = — )<! — Гм(В) ) ду дч (71) Эта часть линий тона удовлетворяет условию (69) и, следовательно, <а<жется свободной линией тока.
различные функции Г(й), удовлетворяющие только что указанным условиям, будут давать примеры отрывных обтеканий. Среди них могкно выделить некоторые, представляющие практический интерес. Конечно, такой метод решения задач нельзя назвать „прямым", так как он не дает возможности где К(у) — пока произвольная функция комплексного потенциала у. Пользуясь независимостью производной от направления дифференцирования, мох<ел< написать дифференциальное уравнение линий тока (ф = сопл!) в виде: — +< — =У(7) -Р У'Г~(,) д, ду= дх, ду (68) Г!о предыдущему (равенство (39) % 37): <Гз дх .ду 1 — = — +1 — ==, йХ дт д<! Ъ' плоское везникггвое двнжгииг.
жидкости (гл. тг непосредственного получения обтекания наперед заданных контуров. Прямой метод требует применения метода коиформпык преобразований.~ Положим, например, 1 /'(7) ==- = 1' 7. сма функция действительна только при ф = () и т.зо; кроме того рэ(Ч! ад 1 прн 0":-т -с! и рэ(т):.=,: ! при т~-!. При В(0 функция /ь(т) принимает чисто мнимые значения, Имеем по (68) прн г = 0 и у (О: дх ду 1 / — =О, — =- — у — +1, ду ду 1 — ч --т что дает х =- сонэ!, нли, в силу проазвольности выбора начала отсчета, х =- О, это — положительная часть оси Оу, в чсм легко убедиться, проннтегрировая второе уравнение прн — оз( в (О. Далее, на той же линии тона при О ( т 1, согласно (68), будем иметь: Ох 1 / ! ду — ==+ аг — — 1, — =О.
де 1/т в дч Из этой системы равенств следует: х=2 р~т-1-агсз!п()/Ч)+ )'В ) 1 — т, у=о, (72') где константы интегрирования выбраны так, чтобы в начале координат было: х=О,у=О, в=О. Равенство (72') показывает, что участок линии тока 0 ( Ч =1, ф= о представляет отрезок АВ (рис. 82а) оси Ох между точками А и В с абсциссами, соответствующими двум зяаченням корня )/Ч при Ч = 1; х= -~-(2+агсз!и1) ==+= 2+ — ~. 2/' Наконец, в области значений 7 ~1 будем иметь дифференциальные уравнения свободных линий тока АК' и ВК": дх 1 ду „1 — 1 —— ду )гт дт которые интегрируются в конечном виде и дают х = 2 1' ч у = ~ ~/ 1 — — г(т = — агсп )ге+ )/у )'т Уравнение свободной линии тока будет х х /хт у = — аг св — + — 1г/ — — 1. 2 2 г/ 4 т По этому поводу см..
например, Н Гь Кочин, И. А. Кибель и Н. В. Р о з е, Теоретическая гидромсханнка, ч. 1. Гостехиздат, 1948, стр. 312 — 345, а также монографию Л. И. Псков а,Плоские задачи гидро- динамики н аэродинамики'. Гостехиздат, 1080, стр. 200 — 230, где приводятся Н схемы отрывного обтекания, отличные от изложенных, нлосков двнжгнив с отгывом стгтй 265 При 7. + ж, тая же как и при Ч -ь — со, имеем Подчеркнем, что скорости на острых кромках, где происходит сход с пластинки свободных линий тока, равны единице, а не бесконечности, как зто имело место при безотрывном обтекании.
Полученное решение определяет разрывное обтекание пластинки шириной 4-~-и набегающим на нее нормальным потояолп имеющим снорость иа а> Рис. 82. бесконечности, равную единице (рис. 82а). Легко найти полную силу давлений жидкости на пластинку. Со стороны набегающей жидкости на участке пластинки АВ действует давление Р, которое по теореме Бернулли равно (примем р = 1): л 1 )г )з 1 ! )г(т Р = сопзг — — =Р + 2 ' 2 2 со стоРоны „меРтвой зоны* давление Равно Ра, пРичем 1 ) )гР~ Рз —, Р + — ) — Рьг ~~ 71 Разность давлений, дейстаующих на злемент Нх с обеих сторон пластинки, будет, согласно (72), ()г(а 1 1 1 Р Р 2 2( 1 /1 ) 1)' 1 Г~ р 1 2 2 1")'т Ф Элемснт длины пластинки агх по (72) равен /1 у $41) плоское дниженис с от1ывом стткй 267 давлений, рсзко отличающееся от экспериментального.
Простое сравнение картин обтекания (рис. 82 а и б) со схемой действительного обтекания (рнс. 82 а) показывает, что применение теории разрывного потенциала дает более правильную форму течения, чем теория непрерывного потенциала. Следует подчеркнуть, что разрывные картины обтекания с хииелгатичсской стороны ближе подходят к опыту, чем с динамической. Общий вид лпний тока и распределение скоростей зне .мертвой зоны" обычно полу~аются весьма схожими с реальным обтеканием, силовые кге характеристики, зависящие от структуры потока з мертвой зоне и наличия сил трспия, получаются, как правило, резко заниженными. Подтвердим это закшочснне ещс одвим характерным примером, Рассмотрим функцию Р(у) =е т = а (ч+~й) =е' ч(соз ф — (з(пф), сохраняющую дсйствнтельиос значение при ф = О и ф = г.
и пмсющую чисто мппмос значение при ф =— Составляя вновь осиовнос дифференциальное уравнение (68) г(з дх . ду,, — зь дч ду — = — +1 — = с ч (соэ ф — )кйп ф) + )' а ' (соз 2ф — 1 зш 2ф), г будем пясть для линни тока ф = — : 2 ' д. д — =О, — = -е ч-) ) е зч+1; дч ' ду э~о — линия х = сопзг, которую выбором положения осей координат мо'кно припять за ось Оу(х = 0). Вдоль втой линии скорость не остается постоянной: при ч = — оз скорость равна нулю, при у = + со†единице; следовательно, линяя тока ф = -л — не .свободная .
Линии тока ф = О соответствует дифференциальное уравнение — +г — =е ч+ е "— 1. дх, ду дч ду Если з †.О, то подкоренное выражение не отрицательно и уравнеиис (73) приводится к системе двух уравнений: — =е в+3~а зч — 1, д, ду — = О. ду Интегрируя, найдем: *к- — ° — ' — Ь' " — ' — «а Г " — ' у= сопз1 =О, где и неопределенная константа интегрирования, а линия тока у = сопз1 выбрана за ось х. Определим, какая часть Ох совпадает с рассматриваемым участком линии тока ф = О.
для этого заметим, что: при Ч = — со, х = — со' при я=О, х= — а — 1 268 плоское ввзвивнввои движвниг. жидкости (гл. ч Это означает, что отрезок линии тока ф =О, соответствующий у~О, представляется отрицательной стороной В'В оси Ох (рис. 83 а), причем пока можно только утверждать, что — (а+1) ч. О, так яак в противном случае я линна тока ф = О пересеклась бы с линией тока ф = — . 2' Ю !т Рис. 83. При е= О уравнение (73) дает систеиу дифференциальных уравнений сеободнои струи: дх — ду у" — з дч ' дч Интегрируя и определяя константы из условия непрерывного перехода предыдущего участка линии тока в свободную линию, найдем; х= — а — е 'г, у= 1 — е ет+ — !ой 2 1( 1 — е ет Кривая ВК' выходит нз точки В [в=О, х = — (а-(-1)) по касательной к оси Ох н опускается вниз, стремясь при ч =-+со к аснмптоте х= — а, прнчеи по условию непересекаемости линий тока а) О.
Аналогично ведет себя н свободная линия тока ф= я, являющаяся зеркальным отображением линни ф = О в оси Оу (рис. 83 а). $42) пгямья задача тзогии плоского движвни» 2йй чтобы найти положительн)чо постоянную а, заметим, что расход через полное сечение струн, по определению функции тока [формула [28), $27), будЕт раВЕН тл С дРУГОй СТОРОНЫ, Прн УдаЛЕНИИ От ВЫХОДНОГО ОтВЕретИя в сечениях струи асимптотически устанавливается однородный поток со скоростью, равной единице; отсюда следует я я=— 2 Полученная картина течения представляет, таким образом, вытекание жидкости из безграничного горизонтального резервуара сквозь отверстие АВ ширины 2 (а + 1) = 2 ~ — + 1) . Как видно из рисунка, струя при выходе яз ~2 отверстия сжимается, причем коэффициент сжатия струн равен 2[а+1) я-1-2 = — = 0,611.
Эта цифра с большой точностью совпадает с действительно наблюдаемым значением коэффициента сжатия при плоских истечениях воданой струн в воз- дух. На рис. 83 б приведена для сравнения другая теоретическая картина вытекания жидкости, рассчитанная при помощи непрерывного комплексного потенциала„который легко получить из [57), если поменять местами ливии тока и изопотенциальиые линии; для этого, как известно, достаточно заме- нить у на 1т, Будем иметь для отверстия с полушнриной, равной единице, Х = 1агс з1п г.
Линиями тока являются гиперболы, причем в точках отверстия А и В, в отличие от разрывного вытекаиия, скорости обращаются в бесконечность а давление — в отрицательную бесконечность, что физически невозможно. 11ри одном взгляде на обе картины течения сразу видно преимущество разрывного течения, почти точно отражающего действятельную картину истечения. $42. Прямая задача в теории плоского движения идеальной несжимаемой жидкости. Применение метода конформных отображений. Гипотеза Чаплыгина о безотрывном обтекании задней кромки профиля. Формула циркуляции В предыдущих параграфах рассматривалась простейшая задача плоского движения.
По заданному комплексному потенциалу определялась форма линий тока, часть которых принималась за контуры обтекаемых тел, часть — за обыкновенные жидкие линии тока и, наконец, в случае разрывных обтеканий некоторые линии тока играли особую роль „свободных' линий тока, сорвавшихся с острых кромок обтекаемых тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
