Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Такая задача определения формы обтекаемого тела по ззданному комплексному потенциалу течения могла бы быть названа »обратной" задачей. Гораздо большее значение имеет прижал задача разыскания плоского обтекания тел заданной формы. Для решения этой основной задачи существуют два пути: 1) непосредственное решение уравнений Лапласа, которым удовлетворяют потенциал скоростей н функция тока, 270 плоское явзвихлевов движение жидкости (гл.
1~ или заменяьощнх зти уравнения интегральных уравнения и 2) применение методов конформных отображений. Второй метод, как практически наиболее простой, получил в последнее время широкое распространение. Основная идея метода заключается в следующем. Желая определить обтекание тела заданной, подчас очень сложной формы в физической плоскости комплексного переменного г, производят конформное отображение течения на вспомогательную плоскость комплексного переменного ь при помощи некоторой аналитической функции =У(С), (74) причем предполагается, что преобразованное течение в плоскости ь проще, чем в плоскости с, и комплексный его потенциал Хп(1) уже известен.
Искомый комплексный потенциал у (г) течения в физической плоскости г находится как результат исключения вспомогательного переменного ь из системы равенств: у=у У~))=х" (~), = У(~) (75) причем в некоторых случаях это исключение не представляет труда и приводит к равенству у. =Х(г) в других случаях оказывается проще пользоваться параметрическим определением у(г) при помощи системы аь Еипапееи ппьфипь (75). В последнем случае сопряженная скорость Р определится в результате исключения ч из системы равенств: — в'х Ф, в"- 'х*'(~1 ипиь (76) 2 = й (' ). Наконец, в некоторых особо слож- 9 Нсеи ьпыи Спиппъспьпй паппьпь ных случаях приходится для упрощения решетки прибегать к нескольким вспомогательным плоскостям.
г1пееиппььй аппьиеиый ппптпьь Остановимся подробнее на наиболее у й важной для дальнейшего задаче внешнего обтекания замкнутого гладкого контура с одной или двумя угловыми точками. Такого типа контуры (рис. 84) используются как профили винта а я крыла б самолета, лопаток рабочих колес в, г и направляющих аппаратов турбомашин и др. Набегающий поток зададим вектором скорости на бесконечности. т прыппппи ппптипь Ряс.
84 $42) ИРИИАИ зАЛАИА теОРии плоского движения 271 В этом конкретновг случае будем предполагать, что аналитическая функция (74) дает конформное отображение внешней по отношению к контуру С (рис. 85) части плоскости з, включая и,бесконечно удаленную точку" з = со, на внешнюю, по отношению к контуру Сь круга радиуса а, часть плоскости с, также со включением точки ь = Оо. для того чтобы такое отображение было взаимно-однозначным, необходимо, как известно, потребовать, чтобы бесконечно удаленная точка с вслльаглмсльлав ллвжвссь шлю чсслал ллжлвслм Рис. 85.
з = ОО переходила в бесконечно удаленную точку ь =- Оо и чтобы в этой точке сохранялось направление некоторой прямой, например, направление скорости на бесконечности гс ; при г -+ ОО, з — + со, аги Г = агд Г . Замечая, что по первому равенству (7б) где под комплексной величиной си здесь и в дальнейшем будем понимать коэффициент конформного преобразования си = — „, Гс(С), заключим, что условие 0 = агд ~с = 9 =агд К эквивалентно требованию, чтобы коэффициент конформного преобразования в бесконечно удаленной точке т, был действисилльной и Сголожитвзвной вЕличиной си =7' (ОО) ) О, и, следовательно, ~ 1с (=Си. ° ~ ГС 'Р Си =~ Р '272 плоское Везвихгевое движеииВ жидкости !Ел* р Комплексный потенциал обтекания кругл в плоскости ч известен и будет равен, по (46) и (48): Х* (С) =- 1l С + Ь' — + — 1и С = = „(1„~+1г„— „)+~.Ы, (77) Х=ХВ(.)= ~1«+1 "— „')+„— „.1ВС,1 (78) з =У(~).
Докажем, что циркуляция скорости Г по любому аамкнутому контуру С, (на рис. 85 показанному пунктиром), один раз опоясывающему крыловой контур С, будет равна наложенной на обтекание круга в плоскости ч циркуляции Г~. Для этого заметим, что по определению циркуляции и по (78) можно написать (д. ч. †симв действительной части): г=~р ш ч- чч-у~р= г ЛХ* г =д . ~ — Г;=д . буи=ге.
'галс Эта общая для обеих плоскостей постоянная Г является характерной для данного течения з двусвязной области и может (см. $35) рассматриваться как „циклическая постоянная" двусвязной области плоскости е вне контура С. При конформном отображении этой двусзязиой области на плоскость ч циклическая постоянная сохраняет свое значение. Из системы равенств (78) следует, что задача об обтекании профиля С потоком заданной по величине и направлению скорости на бесконечности имеет бесчисленное множество решений, зависящих от выбора величины циркуляции Г. С точки зрения математической теории идеальной жидкости такой произвол отвечает сущности вопроса Как уже было показано раньше для случая обтекания окружности> налагая ту или другую циркуляцию, можно получить бесчисленное множество форм обтекания кругового цилиндра с различным расположением критических точек (типичные обтекания показаны на рис.
68). Точно так же для одного и того же крылового профиля с угловой где Г* — произвольная, наложенная на круговой цилиндр циркуляция; одну из постоянных (коэффициент преобразования т или радиус круга а) можно задавать совершенно произвольно, например, полагать равной единице. Таким образом, решение задачи внешнего обтекания контура С свелось к исключению параметра ч нз системы уравнений: пеямья зьдьчь теоеии плоского движения 273 гочкой на задней кромке н при той же по величине и направлении скорости на бесконечности теоретически возможны три указанные на рис. 86 типа обтекания, В случае а, так же как и в случае в, жидкость должна перетекать с одной стороны поверхности крыла на другую; с верхней на нижнюю в случае в и с нижней на верхнюю в случае а.
При этом на острой кромке должны образовываться либо бесконечно большие скорости, что приводит к физичес)ги невозможным бесконечно большим отрицательным давлениям, либо происходить срывы потока с поверхности профиля и внхреобразования. Среди трех указанных возможных форм обтекания только одна форма „б" приводит к плавному стекинию струй жидкости с задней острой ю кромки крыла с конечной скорое>пью в этой угловои точке В.
Естественно, встают вопросы: осуществляется ли такая форма обтекания в действительности, А устойчива лн она и сохраняется ли при б) достаточно широком диапазоне углов атаки. На эти важные вопросы впервые в конце 1909 г. в дискуссии по докладу Н. Е. Жуковского новый постулат, полу- 4 чившнй широкое применение под именем постулата Жуковского — Чаплыгина. Согласно этому, в настоящее время хо- Ркс. 86. рошо проверенному на опыте постулату, для каждого крылоного профиля с острой задней кромкой суще. ствует более нли менее широкий диапазон углов атаки, при которои профиль обтекается без отрыва струй, с конечной скоростью на задней кромке. Крыловые, так же как и винтовые,.лопаточные и другие профили, отвечающие постулату Чаплыгина, будем в дальнейшем называть хорста обтекаемыми, остальные — „плохо обтекаемыми'.
Само собой разумеется, что обтекаемость не есть чисто геометрическое свойство профилей. В дальнейшем будет показано, что на самом деле обтекаемость зависит не только от формы профиля, но н от угла атаки, скорости потока, присутствия вблизи профиля других тел и т. п. Профиль „хорошо обтекаемый" при одних условиях может стать „плохо обтекаемым' — при других. В дальнейшем, говоря об обтекании тел идеальной жидкостью, будем предполагать, что это обтекание происходит с конечными скоростями во всех точках поверх- ности тела.
Принятие постулата Жуковского †Чаплыги позволяет однозначно определить величину циркуляции 1', наложение которой приводит к безотрывной форме обтекания с конечной скоростью на задней острой кромке. 18 зац. )ы[. л. г. лайцццсццй. плоское еезвихРееОР. движение жидкости ~гл. лг Для определения этой циркуляции, вернемся к рассмотрению кон формного отображения внешней по отношению к профилю С (рис. 87) области физической плоскости е на внешнюю по отношению к кругу Си часть вспомогательной плоскости ". Пусть угловой точке В на профиле С соответствует некоторая точка В' на окружности круга С*.
Эти точки являются особыми точками преобразования, так как в них нарушается основное свойство конформного преобразования — сохранение углов. Действительно, внешний угол с вершиной в точке В на задней кромке, равный 2а — о, где 6 — острый угол задней кромки, переходит в плоскости ' е неравный ему угол -, с вершиной в точке Ви. Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
