Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 54
Текст из файла (страница 54)
граждающве тела (к теории аэроплана). Матем. сб., т. ХХЧШ, 1910. 9 44) пвимвивнив мвтода комплексных пвввмснных 28б будем иметь, как н в предыдущем параграфе, выРажение главного вектоРа: )с = — Х рп сЬ = Я Р ~ 1г ~Я п а~а 2~ и главного момента: ~а = проек. гг Х п)рта = 2 (хлв — ун )! 1г(~~1в. Переходя в этих формулах к комплексным величинам, заметны, по (рис. 91): п = — 1ег", ~й = дг ° е- и, хл„— ул =д. ч. (ил); (д.
ч.— действительная часть) кроме того, на контуре С можно положить -~-~ 1г!рм Тогда предыдущие формулы силы и момента прнведутся к виду: л+ Я 2 Ед — — — — д. ч. ) $'~ве-Я'члс1л, 2 Заменим в этих формулах ) 1г)=='- Ъ'е-м -ь-Тем. тогда получим: (89) Таковы известные формулы Чаллыаина, выражающие сопряженный вектор силы и момент сил давления потока на тело. Вспоминая, что по предыдущему — лх лл ' пеРепишем формулы Чаплыгина еще в таком виде: 190) 286 плоское Безвихвевое дВижение жидкости [гл.
ч — лх Сопряженная скорость 1г= — является голоморфной функцией о» переменного» во внешней по отношению к контуру С части физической плоскости». Следовательно, интегралы (90) можно вычислять по любому контуру, охватывающему контур С, в частности по окружих ности круга С'. Вместе с тем функция 1»(»)= — может быть на л» этом контуре С' и во всей внешней по отношению к нему области разложена в ряд по отрицательным степеням»: Р= —.
= а + — '+ —,'+ их л1 оя — — з»»г (91) в котором свободный член представляет, очевидно, сопряженную скорость на бесконечности: по=Я,= =Г'-. (91') Остальные члены, как известно, могут быть найдены при помощи контурного интегрирования по формулам: аи = — 1»" г с[» = —. — »"-' с[». 2»Т~ 2»1~) Л» Значения этих коэффициентов зависят от вида функции — т. е. оХ и» у от характера обтекания профиля и от его формы. Просто вычисляется коэффициент а,; он оказывается равным а = —.
= г[» = —. с[Х = —, сЬ = —,, (91") 1 РИХ 1 Р 1 Р Г 2~и' ~ о» 2:сю' ~ . 2»1СХ' 2я[ ' / М» [ 2я[, прн о=1, О, при лф1, будем иметь: — + — ~+ ...)гЫ»= — 2яра а, рь рг 2аьаг а,'-[-2аьоя Х~ = — — д. ~.у ( ... +, + ... ~) с[» = 2 = — яр д. ь [г(а~г+2оеаь)[ т. е. зависит только от циркуляции скорости вокруг профиля. Покажем, что сила и момент при обтекании произвольного профиля зависят лишь от первых трех хозффиг[иентов разложения (91); а„, а, и ае. Для этого подставим в выражение (90) разложение (91), причем сохраним под знаком интеграла лишь те слагаемые, которые дают отличные от нуля значения; вспоминая, что 6 44) пвимянение матодь комплексных певямвнных 287 юг= — юр)ю Г, Ую= — 2сср д. ч, (сР иД, (92) В первой из этих формул нетрудно узнать формулу Жуковского.
неличина подъемююой силы равна (1т'~=р! К,,~Г; множитель ( — ю) показывает, что направление комплексного вектора Я можно получить поворотом комплексного вектора Ъ" на 90" в сторону, противоположную „положительному направлению циркуляции". Используя полученное раньше выражение циркуляции (81), будем иметь: юг= 4яэт и~ И ! с'е '"з1п(ео — 0 )= 2. — юю, =2прюи и! Ъ' ! '1е'Ю'е ' — е 'е~. (93) Что касается выражения момента 1, то для его вычисления необходимо знать величину коэффициента ия в разложении сопряженной скорости (91).
Подчеркнем еще раз, что для вычисления силы н момента не нужно знать полностью обтекание крыла, т. е. все коэффициенты разложения (91),— достаточно располагать лишь первыми тремя коэффициентами ие, и, и ия. Рассмотрим для иллюстрации вновь обтекание пластинки (9 40), представленное формулой сопряженной скорости (60'). Составии разложение скорости в ряд по отрицательным степеням юп /~ — с еог 1еюпЮ р(е) = и — юо ~' — = и — юо +— а+с е 2 ею Сравнивая это разложение с рядом (9рй получим: се=и — юо = Г', и,=ссо =ею'! Ь' ~з1па, 1 1 и = — — сэюо = — — сэю! к' ~з1па. 2 2 Находим по (92): юс + ются = — ср (и + юо ) Г = эп à — юри„Г, нлсс по (61): Й = — 2грсо )те= 2ссрси Момент Еа по второй из формул (92) будет равен: Е е=' — 2яр д. ч.
~ — -с юо ° ю'(и — юо )1= ( 1 = — прсяп д. ч. (и — юп )= — яреяи и . Используя выражения (91') и (91") первых двух коэффициентов ао н и„получим: плоское. ввзвихгввое движение жидкости (гл. ч Переходя от проекций скорости и, о к их выражениям через модуль скорости и угол атаки а = 0 , окончательно получим: К = — 2крс) И ~зз1пва, йв — 2прс~ К 1ая1пасояа, Ь~ = — ясс~~ И 1вз!васева. Имея выражение проекций подъемной силы и момента относительно точки О, можем найти уравнение линии действие равнодействующей. Обозначим через х и у текущие координаты точки на линии действия равнодействующей; тогда уравнение этой линии будет у а= или, используя предыдущие выражения и произведя очевьщные сокращения: х а1 и а соя а +у арпа а = — — с зш а сов а.
1 2 Точка Ц (рис. 92) пересечения линии действия подъемной силы с пластинкой называется центром давления. Если привести все силы У давления потока на пластинку к одной силе охй а=ге Й, то эта сила будет Фе приложена в центре давления Ц. Полагая в последнем уравнении еу с с 6 у = О, найдем абсцнсА б су положения центра давления Ц на пла- У„ стинке: Ъ,, с , ч х= — —. а 2 ' Р Центр давлении потока на пластинку находится ни четверРис, 92. ти ее длина от перед- ней кромки причем, как показывает последняя формула, положение центра давления не зависит ни от скорости набегающего потока, ни от угла атаки. Вводя в рассмотрение коэффициент момента со С т ] 2р!Р' гЬ' будем иметь при малых углах атаки (япа='а, сова ='1); е с„, = — а, 2 главный момент сил давления 9 45! Сравнивая с формулой коэффициента псчпемноя силы с„=2ее, видим, что сь .'С„=1:4. Интересно отметить, что это соотношение, обычно выражаемое Ис, лгч ~ерез коэффициенты — „и — „' в анде Лсь йс,„йс, 1 ьгв йь ' йа 4 ' оказывается справедливым не только для косого обтекания пластинки, но довольно хорошо соотвегствует опытным данным и для тонких с снммегричных профилей.
Если принять точку Ц( — —,0) за точку, относигельно которои берется главный момент сил давлений, то момент Т.ц будет равен нулю. 9 45. Выражение главного момента сил давления потока через коэффициенты конформного отображения. Фонус крыла. Независимость от угла атаки момента относительно фокуса. Парабола устойчивости Формулы Жуковского н Чаплыгина позволяют сделать некоторые общие выводы, относящиеся к задаче об обтекании плоскопараллельным потоком крылового профиля произвольной формы.
Особенности формы крылового профи.чя можно охарактеризовать коэффициентами разложения функции 7'('), преобразующей (рис. 87) контур профиля С в круг С' (9 42, формула (74)), в ряд по отрицательным сгепеням комплексной переменной г во вспомогательной плоскости. Как сейчас булет показано, здесь вновь обнаруживается замечательный факт зависимости силы и момента лишь от первых трех коэффициентов Разложения, анзлогичный тому, как это имело место при использовании разложения комплексной скорости. Разложим гочоморфную в области вне круга Сь отображающую функцию з = — у'(Г) в рял Лорана =К)= "-+ о+Ф+Ф+ (94) где щ, то, т,... — некоторые комплексные коэффициенты, Тогда для сопряженной скорости Р будем иметь выражение: и, 2тт м йе га зэк пиь л.
г. льаьяьсеий. 2911 плоское БгзвихР|!Йое дви>!(ение я<аялкос> и )гл. т Недостающее для вычисления лаомента значение коэффициента а можно найти контурным интегрированием в и:пюкосги ': 1 л— а =- — ~ Ъеагг —.ба~Ъ' + —.— + ( — ' Р— -леЪ;„) — е+ ... ~Х 2аа~ е>2 Х(™-Е+то+ — „+ —,", + -..)(т- — —,. — 2 —,е — ")~~Е. Раскрывая в подинтегральном выражении скобки и сохраняя лишь член с Е-а, так как остальные слагаемые после интегрирования обратятся в нулем получим: 2ка $ Е' ', 2к! г е = —.
+ т,аи Р„, — т а Ъ' 2га Э после чего выражение момента (92) примет вид: О~Ъ ' Ео —— — 2ко д. а ( о ' +а>>аат Р„,— ат а Ъ' Р,), 2к или, замечая еще, что и, а и Ъ' Ъг =~ Ъ' 1е действительны, Г>еоЪ 'Г Ео = 2ЯР д ч ( о, а>ааааа- Р Подставим сюда выражение (80) циркуляции Г, соответствующее безотрывному обтеканию задней кромки, тогда вьара>кение момента приведется к виду: Ео= — 2>ар д.
ч. (2ааи. то ~ Ъг, ~ Ъ' з1п(ео — 9 .)+ ааиааи 1~' ), или, производя замену: Ъ' =..~ Ъ;,( ° е з!п(ео — б, ) = — (еай" '1 — е ьч '= >) 2> Таково общее выражение главного момента сил относительно произвольно выбранного начала координат.
Возьмем за центр моментов другую какую-нибудь точку О' >шоскости г с комплексной координатой ео, и посмотрим, как будут сьязапы между собою величины Ео и Е,. По известной формуле статики будем иметь: Ео=Ео +мо ага уо асе н собирая вместе члены, содержшцие е Ео — — — 2>арт, ) Ъ> 1Е д. ч. а''1(та — паааое') е ае' + алане ~'"~.
(95) 291 гллвный момент сил длв,ченив 46» или, испотжуя комплексные вели ганы: 7-е=2,о,-'г . ».(»е»»,В. Подставгпа сюда выражения 1.„по (96) и»тт по (936 по.»у»им, производя простые преооразования: ~о ~е" д ь('ео с) —.— — '2н'»и ) (г ) д. ч. »')(т» — ап»ес ':) е '- + ал»е»" + = — 2е;,и )»' )' д. ч.»'()т,— а(те го)е )в» + ."(те — ео)е ') (96) Быберем за центр моментов таку»о точку О', »тобы выполнялось равенство т — а (и — е,) е " =- 0 » е о. или (97) то»ла момент Ео, относите:п,но этой то ~»»и оудет равен »чн = — 2кр»»»,а) 1/„)е д. ».
»(тв — ео,) е = — 2к».т ) У„, ) д. ч. »'»п»е (96') Ео, =--2и(т ) (г )в д. ч. йп», а выражение подъемной силы (93) приведется к виду »с=2ярн» а) 1» ) (е '* — 1). т. е. окажешься независимыл» от угла набггания потока '», а следо»»ате»»ьно, и от угла атаки е. Связанная с крыловым профилем и характерная для него точка О', обладаюгцая тем свойством, что вычисленный относительно нее главный момент сил давления потока не зависит от угла атаки, называется фо»гусов» ьрылового профиля; координаты фокуса определяются комплексным равенством (97). Повернем ось Ол так, чтобы ее направление совпало с направлепием бесциркуляционного обтекания или, что все равно, с непреве"кием нулевой подав.»»ной силы; тогда угол нулевой подъемной с»ты ее обратится в нуль, угол набегания потока»» станет равным углу :»гаки я и выражение моменга относительно фокуса станет равным плОскОе ВеЗВВКРеВОВ дВЯ>кение >!(идкости 1гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
