Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Серебрийского, ' С. Г. Нужина э и Л. А. Симонова.з За границей принят метод Теодорсена и его модификации.а Отсылая за деталями отдельных методов к цитируемым работам, остановимся здесь на основной идее применения метода конформных отображений н общем характере вычислительного анализа, приводящего к решению поставленной задачи. Начнем с метода Я. М. Серебрийского. Как уже было выяснено в 646, формула конфармного отображения Жуковского — Чаплыгина (98) преобразует систему софокусных эллипсов, стягивающихся к отрезку ттгт' (рис.
94) физической плоскости г, в систему кругов с общим центром в начале координат ва вспомогательной плоскости С Далее было показано, что в плоскости г существуют такие крыловые профили с нулевым углом иа задней кромке (профили Жуковского — Чаплыгина), которые прн выполнении того же конформного отображения (98) преобразуются в плоскости 6 в круги са смещенными относительно начала координат центрами (рис. 95).
Если вместо отображения (98) взять обобщенное отображение (100), то аналогичному преобразованию в круг будут подвергаться и крыловые профиля в обобщенные профили Жуковского — Чаплыгина, — заканчивающиеся острым углом, отличным от нуля (рнс. 96).
Возьмем теперь крыловой профиль „произвольной" формы. Наметим среднюю линию (.скелет') этого профиля и определим его относительную вогнутость и толщину; после этого совместим, насколько это окажется возможным, профиль произвольной формы с подходящим к нему по вогнутости и толщине обычным или обобщенным профилем Жуковского — Чаплыгина. Из непрерывности отображающей функции (98) или (100) следует, что профили, близкие друг к другу в физической плоскости а, окажутся близкими и во вспомогательной плоскости С Но один из этвх профилей— профиль Жуковского — Чаплыгина — отображается на круг со смещенным центром, следовательно, второй — профиль произвольной формы — отобразится на некоторый близкий к кругу контур, который в дальнейшем изложении будем называть яочти-кругом.
Для того чтобы .почти-круг' был по возможности близок к точному кругу, следует особо внимательно отнестись к вопросу о расположении передней н задней кромок относительно фокусов Г и Р' эллипсов в плоскости я. Так, при пользовании обобщенным преобразованием (100), если эа взят угол на задней кромке исследуемого профиля, то заднюю кромку профиля следует помещать точно в один из фокусов.
При использовании обычного преобразования (98) это можно делать только в том случае, когда угол на ' Я. М. Се ребр и й с к и й, Обтекание крыловых профилей произвольной формы. Инженерный сб., т. П1, вып. 1, 1946, стр. 105. э Г. Г. Н уж ни, Построение потенциального потока несжимаемой жид~~сти около крыловых профилей произвольной формы.
Прикл. матем. и механ., т. Х1, вып. 1, 1947, стр. 55. э Л. А. С и моно в, Расчет обтекания крыловых профилей и построение профиля по распределению скоростей на его поверхности. Прикл. матем. и и'хан., т. Х1, вып. 1, 1947, стр. 69. ' Тп ео догз ей Т. Оепега1 Рогепг(а! ТЬеогу о1 АгЫ1гагу %)пй 5сс!10~э, )(ЛСА Дероы № 452 (1933). плоскоц ввзвихннвов движинив жидкости [гл.
тг задней крол~хе очень близок к нутю; в противном случае следует угол на задней кромке исследуемого профиля закруглить и помещать фокус на половине расстояния от закругленной кромки до центра ее кривизны. Что касается рзсположения передней закругленной кромки (иоска профиля), то прн пользовании преобразованием (98! можно сохранить ту же рекомендацию, что и для задней кромки. Основанием для этой рекомендации служит известное геометрическое свойство носка достаточно тонкого эллипса; грокус такого эллипса близок к середине радиуса кривизны носка.
При использовании обобщенного преобразования (100) фокус рекомендуется размещать между только что указанной точкой и носком профиля. При выполнении этих требований .почти-круг" будет представлять кривую, весьма близкую к кругу. Произведв указанное размещение исследуемого профиля по отношению к точкам г" и Р' — особым точкам преобразований 98) и (100), перейдем к самим преобразованиям. Будем для общности пользоваться преобразованием (100) « — ее lь — е Ч' (100) «+ вс (ь+ с) ' имея в виду, что при т = 0 преобразование (100) переходит в обычнос преобразование Жуковского — Чаплыгина (99'!. Я.
М. Серебрнйскнй использует более простое преобразование (99'), однако с точки зрение выгодного лля дальнейших расчетов максимального приближения „почти-круга' к кругу можно рекомендовать для профилей с конечным углом на задней кромке применение преобразования (100), учитывающего наличие этого углз. Обозначим (рис. 97) через хэ, ув декартовы координаты точек Мэ гга профите К в плоскости «, черсз се, цэ — декартовы и через рэ, в — полярные Рнс. 97. кооРдннаты соответствУющих точек гИоэ .почти-кРУга' К в плоскости „" и через а — радиус близкого к „почти-кругу" точного круга Е в плоскости м, на рнс. 97, совмещенной с плоскостью "-.
Наиболее трудоемкими в смысле вычислений операциями являются: определение уравнения ,почти-круга" в полярных координатах и представление логарифма отиошсния радиуса-вектора рэ~в) к радиусу круга а в виде ряда фурье )п — = ар + ~~' (ап соэ пв + Ьпэ(п пв) Ро и — 1 9 48) овткканик произвольного крылоного прочная 311 (л+ ае)» а+ (т — ас)» а (ае ) г (»ае ) (л+ ае)»" — (е — ае)»!а ~ л, )' ' ( г )Ьь и будем считать, что координаты заданного профиля х, у выражены в часщх дапшы ас, а радиус-вектор р — в частвх длины е.
Сохраыяи обозначение ч, р, е, х, у для этих безразмерных вел»»чив, будем иметь: 1)»/а ! ( 1)»а (е+ 1)' ' — (е — 1)"' положим: (е , '1) '=-1п;.'+»»', (е — 1)"ь= !и;а л — 1 = г"е' е 1-!=г»е~, »ш,ш будем иметь расчетпыс форл»улы; (!и !.'+)п !")т ! (»' 1- »")т ()п р' — 1п р")'+ (»' — гч)т ' » -1-Е а — - » -ч „— аж 1и )п;,'+ )пра ~ !яр' — !яр" ' 1п р =- — 1п 1 2 » = агс(н где: а; (г")Ч'соэ( — ~, (ге) ' 5»п ( — )' l 1и ' = (»') Ч' соз ( — ), е »' = (г') Пп ~ — р», г 1;а /1'1 '» а,l' г' = р' (х+!)э+ ух, т'= агс 18 —, У к+ 1' 1п р" = »е =-..
рг(л — 1)'+ у' агс !8— У л — 1' ' С. Л. Г ерш горин, Механизм для построения функции комплексного 1 переменного б= — (е+ — ). Изв, Ленингр. технолог, ии-та, т. П (ХХЧ!), 2 (» 'обнлейный, 1928; О механическом построении профилей аэропланных крыльев тяпа проф. Мизеса. Вести. механ. и прнкл. матея., т. 1, 1929. Л.
Г. Л о йця не к и й, О некоторых общих типах конформных трансформаторов двих»ения. Изв. Ленингр. политехн. ин-та, !925; Приближенное конформное преобразование и его применение в теории мехзнизмов. Журнал прикладн. физики, т. Ч, вып. 3 — 4, 1928; Осиовзния синтетической теории коиформпых трансформаторов движения.Журнал прикладн. физики, т. Ч, 1928, Для этой цели следовало бы применять математические механизмы: конформиый трансформатор длв преобразования заданного профиля в .почти- круг" и гармонический анализатор для определении коэффициентов Фурье а„, Ь„. Механизмы, осуществляющие коиформные преобразования (99') и (100), уже давно изобретены советскнмн учеиымн,' но еще ие внедрены в аэродинамическую практику.
Аналитическое установление связи (11О) между рэ н » нс представляет каких-либо трудностей, но требует кропотливых вычислений. Перепишем соотношение (100) в виде (опускаем индекс нуль) плоское вззвихндвоя движкник жидкости (гл. т Задаваясь парами значений координат профиля (к, у), последовательно вычисляем г', г", т', Т", а затеи Р', Р", т', а" и Р, э. Ггри а = 2, т. е. в случае обычного преобразования Жуковского — Чаплыгина, формулы упрощаются.
По вычисленным значениям !и Р, э строим график 1п †'. Для обработки Рэ (э). а полученной кривой к виду (110) можно применять любые известные приемы гармонического анализа. В ранее цитированной работе Я. М. Серебрийского излагаются остроумные приемы, позволяющие легко получать тригонометрические представления резких местных отклонений иа кривой вблизи точки т = Ч при помощи комплексов вида 1 + соз (э — я,) ')я ) > названных автором „горками".
Применение широко затабулированных автором .горок" сильно сокращает объем вычислений, необходимых для определения коэффициентов а„ и Ья. Опуская изложение практических деталей вычислительного характера— их можно найти в ранее цитированной работе Я.М. Серебрийского, — будем считать, что рял (!10) уже составлсн и коэффгщиепты его а„, Ь„ опредетсны. Обратимся к установлению приближенных формул конформйого отображения области вне „почти-круга" К* в плоскости комплексного переменного ь нз область вне круга Е в плоскости м. Введем обозначения; с =-- Реь, м = ),ае'э, (111) где р, т являются полярными координатами точек плоскости ", а величины Ла и б соответственно полярными координатами точек плоскости ы! з последнем случае радиус-вектор выражен как произведение радиуса круга а на переменный коэффшшент Л, причем окружности Е соответствует значение Л = 1.
Следуя Я. М. Серебрийскому. будем искать функцию, отображающую внешнюю по отношению к „почти-кругу К* часть плоскости ". на внешнюю по отношению к кругу Е часть плоскости м, в виде ОЗ С = м елр ~~~ Ся <о-», (П2) э где при я) 0 коэффициенты С„являются колшлексными величинами, а Сэ представляет действительную величину. Тогда, согласно (111), найдем !и !гИ = йт!г Р ')+ ! (ч — б) ья " С„а— (112') или, полагая Сяа —" =а„+ !Ья, Сэ= аэ, (112Я) и сравнивая в (112') действительные и мйимые части, будем иметь: СО 1и ! Р ) = аз+ (а„соэ яз+ ь„з1п яб) Л, ~Ля/ я»1  — е ~~.
(а„э!и пз — Ь„соэ пй) Л я ! Кзк уже ранее указывалось, при достаточно тщательном расположении преобразуемого крылового контура К относительно точек К и К' и удачном 9 48) овтнклнин пноизволш!ого кгылоного г!говиля 313 Это равенство полностью совпадает с ранее установленным разложением (110). Таким образом, искомые коэффициенты ап и Ьп, входящие в преобразование (112) через комплексные коэффициентй С„, оказываются уже известными. После этого не трудно по (112") вычислить комплексные коэффициенты С, тем самым полностью определить основное преобразование П12) и решить поставленную задачу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
