Адлер Ю.П. - Введение в планирование эксперимента (1062941), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В Отл!1ч!!с От линейнОГО случая знаменятел! в форму;"1ах ~к) )) и (57) различен для разных столбцов. Это приводит к тому, что коэффициенты регрессии оцениваются с разными ошибками, т. с. Зкс11ериме11тятор получет нс Одипяковук) информяцик) ОтноСнтЕЛЬНО КОЗфф11Ц11С11ТОВ МОДЕЛ1ь КРОМЕ ТОГО, ИРЕДСКЯЗЯН111!Е 3ПЯЧЕНИЯ 1111~)ЗМСТРД ОПТИМИЗЯЦИ11 Т11КЖЕ ИМСК)Т Рс13ЛИЧ1!ЫЕ ДИ- спсрсии, сло)к1!Ым образом 1!зменя1оииеся от точки к .точке. Этот 11едостаток привел к отказу от ортагоняльных планов второго порядка в пользу ротатабсльных планов.
Однако прос! О !'я Всех вьР1 ислс1!!1Й Оставляет зд ортогональным и планами право па существование при ручнь1х методах обраб)отки результатов. В качестве пр!!Мера ряссмотрсн ортогоняльный план для четырех Факторов пз раооты 11ОЩ. В зтой ряооте построена математическая модель процесся экстрякциоиноГО раздсле!1ия гаф н11я и ц11ркоиия Т1) 11бу г!1лфосфя'гом. Определял!! зявиси~!ость фактора разделения !» от концентрации металлов х1, исхо.!1!ой концентрации кпслоты х., концентрации ТБФ х) и соотноще;1ия фаз х4.Лине11ная модель Оказал»1с1~ неадсква Г11ОЙ, позтому было 98 црцнятО решение — Перенести цулевую тОчку В условия наилуч ше Опыта и использовать центральный композиционный ортоГО- цальний* план (Использовали ручные Вычцслецця).
Расчетная матрица и результаты Опытов приведены в табл. 11. По данным табл, 11 Получена адекватная модель д = 13„3478 в 0.149бх, - 1,5ОЗбх,:--0,6393хз -',-О.2635х, — . -'- О,1078х — 1,342"х,-', — 0.7798х;-'— О,О2ООх — О,0181х,х.,-- - '- ОЛ75бх х, -,— О,6432х,х, — О. 1431л .х., — О,О506х.,х, -- - - О,1931х,,х„. ,~альнейше».* цссле.»овацие модели (58) прцв» дено в раз ы. и' 2 РОТАТАБЕЛЬНЫЕ ПЛАНЫ Главное своиство ротатябельных планов — независимость дисперсий предсказанного значения у от вращении плаца. 11ри атом сами эти дисперсии равцы ца равных расстояниях от цен'гра плана. Если рассмятриВять различные планы ВтОрОГО порядка с пО- ЗИЦИЙ НХ раЗрси~а!ОщЕЙ СПОСО6НОСтИ, тО ОКЯЗЫВЯСТСя, ЧТО Оптиявляется план типа З", Следовательно, цри наличии априорной информации о виде модели рогятабельний плац ммкцо условиться считать о~и"имяльцым, Но если существует подозрение.
Что поверхность более сложной структуры 1 например третьего порялкя), то оптимальный план окажется иным ~хотя может Остаться ротатабельным). Общая теория оптнмальньл Планов фактически ец~е толькО намечена. Ее скореЙшая разработка — осцовная задача математической теории эксперимента (см. Например, ~101~). Ниже ряд."матрены ротатабельньк цла цы, теория которых 1)азряоотяця довольно полно, «Звездное» плечо а выбирают из условия инварнантности плЯна к вращению. Соответсхвующие значения плеч прогабудиРованы в ряде работ (см.
Например, ~61, 971). Можно доказать, что если план ротатабельцый, то все его точки расположены на концецтрических ГицерсФерах. число которых не меньше двух. Причем одна цз СФер может бить вырожденной — нулевой точкой, Отсюда для Ф = 2 точки лежат на окружности, для Й = 3 — на сфере и т. д. Значение звездного плеча мОжнО Вычислить для ядра, соде1)жяпжго полный Факторцый цлац, цз соотношения ц для ядра. содержащего полуреплцкх.— -цз Пользуясь этими обознзче1111ями, можио записать форм~-лы для ВьГ4есления коэффициентов рег~жссии: — — (2х'(у+ 2) (Оу)--2)с~ (йу1, У? Ь,,- ==- ' с2 ~(Й -;- 2) л — Ц ~иу) -';- г ~1 — ~.) ~ (ду) — 2Хс (Од), Для данного й можно заранее ВЫ1цслить все, кроме соо1-ношений (59), зависящ11х от результатов опытов.
Располагая тзб,(ицзми с тзкимн вычисленными кОнстзнтами, мОжнО легко и бь1стро проводить Вычисле".,Ня. Дис11ерс11и для коэффиц11ентов регрессии теперь Вь1г;.1ядят следу1ощим образом: Для Оценки адекватност11 ЫОдели Ос~'п1~.'ств.'1ягот след~*1О1цие Вычисления. ПО Экспериментам В центре плана Вычислякл' Остато~1н'лО умму квадратов ". ЗтаЙ суммой связано число степеней свободы ~~. =-= ~1, ==-- 1 Деление суммь1 (63) на 1к лает Л11сперси10 опь1та. Теперь остается найти числитель критерия Фишера — дисперию алекВзтиОСТ1.1.
ДЛя ЭТОГО ВЫЧИСля1ОТ Сначала ОСТЗТОЧНЧЮ УММъ' КВЗДРЗТОВ Кроме прямого Вычисления Ь~ по формуле (64), сумму можно вычислить другим спосооом, который обычно использую*1. для проверки правильности вычислений. Можно показать, что 5л = ~ и~ — В. „ (65) и=1 Гле $012 с~' мма квадратов, связанная с козффицие11тами рег россии и равняя 5„„=- ь, (Оч)+ Х ь, у!У)+ Х Х ьщ1 йу). а~1 ~ ам 1 с суммой (66) связано число степеней свободы (й:-~-2) ~А -,— 1) /~дэ -" ,Для Вычисления дисперс1Н1 адеквзтности находят сумму 5, =-Ьр — Ь~ (67) ; числом степеней свободы й+'-~) й --'-11 ЙД (И, — 1). Теперь можно образовать Г-отно1пение: -'~д~ Ьд ЪА: 1ем и Решается задача проверки адекватности. Благодаря тому, что свободный члеи не коррелирован с ко~ф(1)ипие."'1тями при линеиных ч'1е11ах, а линсйныс коэффи11иснгы це коррелированы с квадратичными, можно, В духе лисперсиоиного анализа, разложить сумму 5р12 на составля1о1цис, Зто позволяет о11еиить вклад различных эффектов в дисперсию параметра оптимизации.
Сумма квадратов, связанная со свобол1111м членом, котору1о 111огдя называют корректиру1ощ11м фякгором, равна С~'м ма квс1др Ятов, связа н11ая с л инеи ными членами Ура Вн е11ия, равна При ротятабельнои 11лянировании это условие виполняетсн со- ГЛЯСИО ОПРЕДЕЛЕНИЮ. ВТОРОЕ ГОЛОВНЕ ив 1 л ~~ Х, т. с число Опытов В Олоке должно быть пр011ОРБиона,"1ьно сумме квадратов Всех переиенных. Второе услОвие эквивалентно СООТН01НЕН ИК) Где и~ — число точек Гиперкуба; П ~ — ЧИСЛО ЗВСЗДНЬ!Х ТОЧЕК; п „вЂ” соответствснно число нулевых точек тех же фигур.
Соотношение (78) позволяет вычислить значение а, удовлстВоряюечсс услюви1О (7(): И;(И +л ) 1Ф 2 ('п,.+ а,, ) Оказывается, что дЯлско не ВсеГда можно удовлетвОрить Одновременно требоВаниям ротатабельности и ОртОГОнальности !ГО блокам. Гогда приход11тся идти на компромисс. Считается, что важнее соблк)сти требование артогональности ио блокам, ЧЕМ РОТЯТЯОЕЛЬНОСТИ, ХОТЯ ЭТО НИКЕМ НС ДОКЯЗЫВЯЕТС1!. Ьлагодарй ортогонс1лы1ости блоков коэффи11иенты регресс!!и и их Ошиоки Вычисля!от так же, кяк и В сл~'чяс, когда эксперимент не разоива1от на блоки.
Несколько услОжняется стат11- стическиЙ анализ, так кяк 11риходится подсчить!Вать с7мму кВадратОВ, сВязаннук) с ме)кблокоВОЙ дисперсией, Следус*г подчеркнуть, что разбиение на ортогонадьн1.1е блоки — Важное Открь1тие В экспериментс1ль11011 техникс, Опо поз" Воляет иреОдолевять такие 13стй Бстрсчяк)1циеся трудности, как напримс1) неоднородность парт11Й изучасмого материала.
В ТОМ случае, если времснн1и! д1)ейф нс дискретен, кяк постулировалось В этом разделе, а непрерь1вен, то Возникает задс1ча планировя11ия, ОртОГоняльноГО к полиному. Вне зяВисимости от ТОГО, каким способом получена мятс11атическая модель вто)ого порядка, возникает Вопрос: как се исслсдовать и кяк представить результаты исследования. Это ъ'же не Зкспер11ментял1эн я 11, а чисто м ятем ятичсскяя задача, ряссмотренна1! В следук)щем разделе.
1О6 4. АНАЛИЗ МОДЕЛИ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ Первое, что необходимо сделать, получив адекватную модсль второгО порядка, — эго Опредслпть координаты Оптимчма, если, конечно, он су1цеств~.ет. Кроме того, представляет интерес изучение свойств поверхности отклика в окрестностях оптимума, Д,чя достижсния этих целей использую1 мстол канонических преобразований поверхности второго порядка ~104]. Каноническое преобразование представляет собой переход ат палинома Второго порядка, полученного по результатам опытои„к стапляртному, каноничсскому уряипс11И1О Вида К вЂ” У,.=.—.
Й„Л'-,' -'- В„Л,;+... -',-В Х'„.-'„ где У,. - — значение параметра оптимизации в опти- мйлы1ОЙ точке; Х1, Хр,..., Л.'»,. — кянопическис переменные, являющиеся липейнь1ми функциями факторов; В1ь В р, -, Ви; — коэффициенты канонической формы. Первый этап канонического преобразования — перенос начала координат В особую точку поверхности Отклика. Чтобы Осуществить перенос, нужно прежде Определить координаты ОсобОЙ точки. Это — обычная задача па максимум: надо продифферснцировать функцию отклика по каждой переменной и, прирав- НЯВ К НУЛ10 ЧЯСТН ЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ, РЕШИТЬ 11ОЛУЧИВШ~ЧОСЯ СИ- стеыу урявнеиий. Зтя постановка задачи В некотором смысле прОтивополОжна ТОЙ, котОряя имсет место В методе наимюн1- ших квадратов.
В том случае значения факторов рассматривали как константы и искали значения коэффициентов. В этом же случае константами стали коэффип;иенты и ищут значения факторов, оптимизирующие величину параметра оптим11зацпи. При поверхности о~клика, аппроксимированной квадратичным полиномом, для определения координат центра приходится решать систем~ »~ линейных уравнений. Если глявныи Определитель этой системы раВен нулю, то поверхность не имеет центра. В этом слу 1ае можно либо перенести начало координат в точку с наилучшим значением параметра Оптимизации, л11бо Вовсе не перенОсить центр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
