Адлер Ю.П. - Введение в планирование эксперимента (1062941), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Мы оста:1овимся на трех моментах. ° 1ервыЙ из них — регреосиОН- ~1АЙ ЯиаЛИЗ ДЛЯ ОЛНОИ ИЕЗЯВИ. Нмой псреме1и1ОЙ. Второй— .) ОШИ И СЛУЧай М1Н) ГО МЕР 11ОГО :) ег')есспо11ного анализа. 1'хако" ;1е1ь третиЙ вЂ” регрессио11ны1'1 ,7 Ъ '.1 "13,1 1 4 и пляи1ирОБВ4ние. ~, ю'~ 1.'-:1'111ем с самОгО простого 1е')зОГО случая. Ня рис. 6 схечат11'-1еск)1 11Р111)е,'ю;1а зависи)1ол ь параметра О11тнм11з 3ш1и 1 ,)т О 111ОГО факто )а. Ес ~и бы У,. '1ме.)а мес'ГО ли11еипа)1 зависи- '*1ОГТЬ И ВСЕ ИЗМЕРЕ11ЯЯ ОЫ,"141 ) Ы ГО'1НЬ1М И, ТО ВСЕ ЭКСПЕВИ- 1 ИС 6 32В;!'.1!" 1ОС)'Ь ЯГ~ЯМС1'„)'~ еЪ4! Г"..111133Ц~141 0Т кХНдгд Ф')кто!)д (СХЕМЕ) подтвердила бы принятые гипотезы.
Проведенный эксперимент 11одтвердил все априорные гипотезы. Это позволило Всего по восьми опытам построить интерполяционную формулу для вычисления теплапроводности возгонов, образующихся при хлориров'1нии т~~ановых шлаков в расплаве. Если бы гипотезы ие подтвердились„то пришлось бы построить вторую полуреп1ику, чтООы получить ПОлный факторный план и Оценить неза- И1СИМО ВСЕ ЭффЕКТЫ.
В настоящее Время не су1цествует Общей математическОЙ 1еории синтеза планов с произвольными заданными свойствами. После выбора подходящей реплики проводят эксперимент. 0 требованиях) которые к нему предъявляют, уже гОВорилось Б связи со случайным балансом.
Отличие С~с~о~~ в том, что гал1 экс11ер11мент естественнО рандОмизирОВан, а здесь нсобхоима искусственная рандомизация. у=- Ь„; Ь,х, НО при подстановке в уравнение (21) экспериментальных значений в силу рассеяния рсзультатов равенство нулю соблюдаться не будет. При этом для построчного выполнения тождеств в правые части должны быть записаны величины, которые представляют собой отклонсния от нуля. Тогда постучится следующяя система уравнений: 1 =. 1,2,...,п, у,.— Ь,— Ь,х1( =.
е(, ГдЕ 8 — ОТКЛОНЕНис; ~ — номер опыта; л — число опьгговСформулировянное выше условие наименьших квадратов ментальныс точки легки бы на прямую. Как правило, на практикс этого»никогда не бывает. Всегда существует более или ))енес значительный разброс результатов. Именно зто обстоятсльство приводит к необходимости использования каких-либо м стодов ус рсднОн~л я. и ОзВОл Я юей их и р Овссти л и ни10 так, чтобы она проходила в среднем максимально близко к "Яждой зксп-»- риментальной точке.
Метод наименьших квяд1)ятов является самым распространенным, хотя и не единственным мстодом усреднения. Если бы коэффициенты уравнения прямой были известны и мы ПОдставили бы в это ~ равнение последовательно значения фактора и каждом Опытс, то в силу ошиоое измерения пОлучились бы не зкспсримснтально наблк)дЯсмыс значения парамст1)а оптимизации, а числя, отклопяк)щиеся от них тем оольше, чем дальше дянняя экспсримснтяльная точка расположена от искомои пря мой.
Но в действительности коэффициенты нам неизвсстн ы. поэтому возникяст жслание определить их, решая систему уравнсний, которая получится, если записать прсдыдущсс рассуждение аналитически. Так как число получившихся уравнсний, равнос числу опытов, больше, чем число неизвестных коэффициентов (в данном случае двух), то система оказывается, как правило, алгсбраически несовместной.
Чтобы сделать ее совместной, необходимо ввести одно произвольное- ограничение. Требование минимума суммы квадратов отклонений и представляет собой такое ограничение в методе наименьших квадратов, проследим сказанное в аналитическом виде. Уравнсние искомой прямой в принятых в настоящей работ( обозначсниях имеет вид Рещая снстему (26) В ООЩем Виде, пОлучаем расчетные фОрМулы: и л У1 ~ и — У~ )~а Л'11 и ~ТИМН фОРмУлами н Ре111ЯЕтСя 11ОСТЯнлЕнняя ЯЯДЯча.
ДлЯ подсчета сумм, вхОЛЯщих в уравнение (27), нрн ручных Вычислениях удОбна табл 7 ~68~. Таблица 7 Расчетная таблица метода иаименыиих квадратов 1 т1 и .„~)едняе х~ 7' П Р11 этбм Оч с11ь В Я ж110 т0, '1тО 11 Яс четы м Ож110 еОит РО;111~) О- .13 ГЬ С ПОМОЖЫО СООТИОП10111-1Я ~ ~х,. — — !/,1-' — ~;.1; — . 2 ~ р л, 'Я1 пО 11т1)1'Овым нигерам, та1 и. В ел~ 1ае Оаиб1;11„пОстр011110 4 ЯВЯ ~1ОСЛЕ.',1111Х С ГО ЧОЦЯ ВЕЛ1ОЧЕ!1Ь! Б ТЯО 111Ы С11ЕНИЯ '1ЬЬО Д,.1Л т01 О. 1тОбь1 та 1'3 Я и 1'Оверка стала 1103 мО)1'11011.
ТОждестБО (281 кОЯ1рбл11р~ ет прав;1льнОсть Гссх ОперйЦ1111, прОВОД1:м1,1х В таб)л. 7, ; ~О.;111ХЫ11 1'е '011Тр0. ~11~)" ,еТ 11р ЯВ11ЛЬ110СТ11 3 Я ПИС11 ИСХОДНЫХ ДЯН',1Ь1Х, 110ЭТ1)М ~ П1)ОВЦ)ЯТЬ 11рав11Л1зБОСТЬ ЗЯП11СИ 11СХО.Ц1ЫХ,,'Я11- 11ь)х 11~;)кнО ОсОбе11110 тЖЯтельнО 1..1".! 11рОВ» РЕ11 п1)ЙВ11льнОстп Ж 1)ычис.1ее1ии, проведенных по формулам (27). можно исиоль- ЗоватЬ СООт110шЕнне Метод иаименьших квадратов, как и всякий метод обработ- 1,и результзтов, спрзВедлив при некоторых ОГряничениях, на,-:.д Гяемых ня исхОдпыс данные. При п1)именении метода мы ;10лжны быть уверены в том, что эт11 условия выпо.чняеотся „Еостяточио хорошо.
'.Елл пр11менеиия мютод2 наименьших кБЯЛр2тов иеоохОдимо, чтОбы параметр Оптимизации являлся 1;Ормал1 ио ре1спредсленио11 с,~~ чяй11ОЙ величииой с постояииой дисперсней, я все значения факторов должны быть иеслучай:.."ым11. Кроме ТОГО, Все фЯкторы должны быть е1с коррслирова:1ы. Вс-"1едствнс Огра ничсиий па параметр Оптиыизацин трудности инОГдя вызывает за Висим Ость днсп ц) сии От я бсо, '1отной Величины параметра. ~1то члсто Встреч~1ется В и'-)11ктике аналигицеск011 химии, когда ошибка Б определении конце;1трации кз11ОГО "л и ОО кОм и 011е11те1 может зависеть От а 6сол1от ной Вели';пни этой концеитрации.
Ни)кс мы обсудим способы борьбы с 3 11м явлснисм. 11ско1)1)елыровянность фякт01)оь п1эи Ортого,"1з.гье10м пля11ировя11ии Выполияется ЯВтомзтпчески. Таким Образом, метОд наименьших квадратов Вссьчз полю. зе11 11 широко применим кзк простой матсмятичсскиЙ инстру'1е11т. Метод иаименьших квадратов можно обобщить па слу- .ай произвольного числа факторов'. Неизвестнуео функцию яппроксимируем полиномом. Если степень иолинома не зада'.1а априори, то рясчеты и ридется Вести 11есколько ряз, посте" '1еино увеличивяя степень 11оли11омя ДО тюх пор„пОкя получен- 111111 модель 11е станет адекватной.
Чтобы пол~'ч11ть 0611111Й слу- '1ЗИ„$)зссмот$)нм япироксимяцик) нелине1111ы)'1 110лииОмом. При этом расчетам должна предшествовать операция лииеяризации функцйи. эта операция'состоит в замене квадратов и эффектов 1*'ззимодействия фактОрОВ нОВыми переменными и Вычислении 'ел$1 них соответствук)щнх столбцоВ Б матрице резъ«льтятОВ иаблк)дений. Такал матрица иазывзется Х-матрице11 или мат;)ицей условий экспюримеитов. В линеяризованиом виде она соответствует расчетной матрице пр11 планироваши экс11ери'1ента ~см. Ниже). В общем виде Х-матрица можст быть за- »~1«с 111«~ с-»е-т~»1«11ц16М Об)г»«1«10~1' » В » ' Ч;~тлт~.:ь 1и.
)1и1~ом~" и ';1лгебгои ч:пр-и. мн .ст 1! роя) стлть эт»'»- ЙЛ»."гк' 1)С» Ъ'1Н~~Э0'! Д."«й ЛМ!~1Ч211И$..И."1Ь»16011)И''.) ° Л(,,тй ВЯЖНО '0')Ь»1» чт») ~.~~» 5~11~~п~~" ~~ ~~ног;)ц~'1)н1»1Й с:)~ 1~Й йоз~1'))~~и~~ ГДЕ П вЂ” ЧИСЛО ОПЫТОВ. У вЂ” матрица-столбец наблюденных значений параметра оптимизации. Х-матрица, конечно, прямоугольна (п>й). Но надо, пользуясь принципом наименьших квадратов, свести ее к квадрат- НОЙ матрице порядка А„т. е. получить так называемую систем~~ нормальных уравнений метода няименыцих квадратОВ. В матдичной Записи Эта система имеет Вид где Б — матрица-столбец искомых коэффициентов регрессии.
Для получения системы нормальных уравнениЙ надо Х-матриау умножить слева на матрицу„транспоиированнуто' к ней: '(ОО)(О1) - ~ОЙ) ' Оу (10) (11) - (1И, ~1р) Х Х--=- . - -, ХУ== ' ° 31) ~АО) Й1) йй) . (Йу) Из услов$4я й) =- (ч) следует, что матрица ХФХ симметрична. Если умножить уравнение (ЗО) с,тева на матрицу обратну|о цятрице иор'цал~,ных ~трави"'нии~ то по,т~-'чим (Х":Х' '(Х-Х) Б--= ~Х"Х) '~Х"-'У), (Х"'Х) ' ~Х"'Х) =- 1=, ' ОЗтомъ Это и есть реп~ение. Для искомых козффицнеитав регрессии имеем с, Тряпепопп~оВзнпой лззы26ется мзтр1щВ. В котороЙ ст'нзки и етолбйь1 томенчлись мытР~411 о7носптельяо исходной мдтрицьь Мйтрнцй Л-' пмьгп~ет~п обратной к .идт|~нце А, е~.ы АА-' = Л"'.= Е..
Гм Š— еяпппчпяя мятОицз. Обрйтпий мзтрнпЗ су1цеетзуе7 только ~' 1~ВЗдратиой мазарини, определитель которой пе равен пулю $дие элементы, следоватсльно, 4 '~. ух! Ь,= 4 1~Х~ ~ Ъ Ь.=— $) случае лк)$5о!О числа факторов коэфф$1циенты линейной чодеяи при ортогое1яль!!Ой матриис планирования вье $1$сл)$еот Еезавис$!мо друг от друга по формуле П л Я ~! У! -"',' / / (4О) '.!с д~ — зне!Чен)1е параметра Опт)$ъ)из2$1ии В $-том Опытс. х;.„— 3$1с1чс1!/Ес 1-ТОГО факторе! и $'-то!$ ОЕЕЬ)те.
1Е$К КЯК фЯКТОРЫ ПРИЫИМЯ1ОТ ТОЛЬКО ДВЯ ЗНЯЧСНИЯ вЂ” ПЛЮС Л!$!!!УС ЕЛИ!!!1ЕЯ, ТО СУММЯ КВЯД!)ЯТОВ ЗПЯЧЕ$1ИИ Да!!НОГО фак- и р;. Р$$!)на числу опытов. Из формулы (4О) видно. что сво$)од! 1ь1п ч чсн 1)яВсн с$)Одне)1~ 21)ифметическо)1ъ' всех значений пя- !) '! ~.".СТРЯ ОПТ!ЕМИЗ21ЕИИ. ДЛЯ ВЫ'!ИСЛЕНИ)! 11ЕКОТОРОГО Коафф$!Б11- *ЧЕГ$1 ДОСТЯТОЧНО Пр!1П11СЯТЬ ЗН ЯКИ СООТ!)ЕТСТВЪ/ЕОЩЕГО СТОЛОЕЕЯ .'тол(21Б' 3$12 че1$ и и и 2 ~) 2 ме!'Ра Опти!!!из 2 ции, !$ роиз Вссти 2.!егсбР я п чсс кое сложение и результат подслить па число опь)тов.
''О)К11о доказать/ что ~1)оре!У:!а (401 слсдуст из обшей форму:ы !)1~с;!К)1 коэе~)!1)!!е!1$е1$тов регресси)1 методом )!Янме!1!/ц$!)х квя х!$ятов !1~)и услов!1!1 Орто! Ональ)!Ост$1 матриШэ1 пляне!рова!11!)!. л;"1, Отис !Ялось в главе 1И, Область Опрсделспия факторов .:1!с:»рст113. ПОэтОм ~ урав!!се!ис рс! Рессии Быч11сл)1!от дли ди".КРСТ1!их зна'1еиии арг~'мс-1ТОВ. Од1/$яко далее мо:еель 1$спО.:1ь' ' ю) !1 для $!1!Те!)поля!Еи)1, и лля акстрапол)!!ПЕ!1. ОтсЕО„:Ея с;!с- !1еобход)$мость прслположсн11Я О том* что д11скрс! $12и .а";... ь допускаст р!Ес!!,')Острянсе1!Ее на непре!)ывпцй !!!)те$)вс1л Е!):.'ф!!)!!Й)!Е11ТЫ МО)К110 ЛЕГКО РЯССЧ1!ТЯТЬ, !!С ПРИ!)СГЯ$1 К Л12- !!!! !'.'.:!О пр!! 60.1ыеео)д числс зядяч )то стяиов1$тсее нс".'д0611ым. '..:О-"О)1; Ра.р.бота)ГВЕ !! ~.ЯШ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
