Адлер Ю.П. - Введение в планирование эксперимента (1062941), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Можно доказать„что аналитическая функция яппроксимируется плоскостью в дбстатОчнб малой Окрест11ости л10бои не зкстрсмальнои точки, Гак кЯк кривизна поВсрхности В Окрестностях нулеВОй тОчки зяра11ее не извест11я, то выбор «достаточно малой окрестности» должен быть интуитивным, Правда, после провсдсния первой серии опытов становится ясным, насколько он Оказался удачным.
Это позволяет Ввсст11 соответствующие коррективы. Кроме того. необходимо принимать Во внимание то обстоятельство, что дальнйсшее движение к оптимуму по градиснт', линейной модели будет тем зффективнее, чем более симметрична МОдель относительно козффициентов регрессии. Это зна. чит, что чем боль1це ОжидасмОс Влияние фактора, тем ~'-же следует выбирать его интервал варьирования.
Данные сл~'чайного баланса, если его проводили. Лают некоторые ориентиры дл» такого Выбора. Н зтом случае. как уже отмечалось, предполагается, что поВерхность отклика имеет один (или два близко рясположснных ) экстремум„тяк кяк В случае многоэкстремяльной зядячи резул1" тат будет зависеть От координат нулевой ~~~ки. Выбор матрицы планирования Основой для Выбора матрицы планирования служат факторные планы типа 2'". Кяк и в приводившихся выше примерах, используется кодирование факторов, определяемое соотноше- 70 (14) г.1С Х; — КОДИРОВаННОЕ тСКУЩЕЕ ЗНЯЧЕНИЕ фаКтаРЯ; х;О в натуральное значение нулевого уровня; х; — натуральное текущее значение фактора; У.; — натуральное значение интервала варьирования (волной над обозначением фактора будем обозначать нятуряльное значение) .
Кодирование представляет собой линейное преобразование координат факторного пространства: перенос начала координат и пулевую точку плана и вь1бор масштабов по осям в единицах п11тервалов ВярьироВания. Отождествление Вер~не~~ уровня со 1някам пл1О~ и нижнего са 3112кОм мин7с приводит к ста11дярт1ои' форме матрицы планирования, 11с1п:1ьзу1ащей только И1аки. Чтобы вь1брать подходящий план, нсобходимо сформулировать кричерии ега Оптимальности ~которые не счедуст, как мы 1'же отмечали рянее, 11утять с иарямстрямн Оптимизяции ирО- ц":сса). Формулировка критериев зависит от поставленной цели.
Иажио„чтобы критерии соответствовали интуитивным представлениям экспериментатора. Если, например, экспсримснтятор ожидает сложного поведения функции отклика и хочст гярянтирОВать себе максимум информЯции в наихудшей ВОзмажной ситуации, то Он, сстестВсннО, придет к минимякснОму критерию. Планы, построенные для этого критерия при одном факторс, — так называемые фибоначчиевые планы„— приведеиы в работе ~250~. Возможно обобщение этого подхода на случай нескольких факторов. Поскольку линейную модель создают прежде всего для оцснки направления градиента, которое заранее неизвестно, та 11 ажно использовать критерий мини мук дисперсии предсказан ного значения параметра оптимизации в любой точке фактор- ного пространства при равенстве этих дисперсий на равном расстоянии от нулевой точки в любом направлении. Это эквивале11тна требоВанию инвариантности плана при вращении системы координат относительна ц~н~ра.
Отсюда Возни~л~ название пла11ов, удовлстворяющих этому критерию — ротатабельяыс планы. Принцип рататабсльности является важнейшим при выборе !1лана. Одняко дчя слнчяя линеинОи модели план можно сде" лять оптимальным в более широком смысле. Для этого вводят второй критерий — требование ортогональности плана. Ортогональность позволяет получить для коэффициентов уравнения оценки, независимые друг ат друга, что очень важно при интер11ретации. Ортогональной можно назвать такую матрицу, для которОй матрица нормальных уравнений мстода наименьших 71 квадратов диагональна. Условие ортогональнасти плана имеет ВИД О при ~+~; п при с=-~; ( 15') где А — число факторов.' л — число опытов.
Как следствис Выполнения этих требовйнии дисиер( ии для коэффициентов нс только минимальны, но и равны друг другу. Все это создает идеальные условия для статистического анализа. К сожалению, требования ортогональности и ротатабель. ности выполняются одновременно только в линейном случае, Так как нсабходимо получить не только кОэффицненты модели, на и ее статистиче4 кис Оценки, то план Должен быть нен зсыщснны м. Фактарныс планы удовлетворяют всем этим критериям, на тзк кзк полный фзкторпый эксперимент содержит (при числ~: факторов больше трех) слишком мнОГО опытов, то используют драбныс рспЛИКи. Реплики также должны удовлетворять Всем критериЯм.
Такими являются регулярные дробные реплики. Реплика нс Определяется одиозна гна всеми этими требованиями. После того как они выполнены, остается еще свобода выбора. Чтобы сделать выбор однозначным. Вводят оценку качества реплики. Эта оценка называется ~ззреша~ощей способностью. Для Определения этого понятия удобно рассматривать связь между моделью и матрицсй планирования. Ортоганальнасть плана гарантирует отсутствие корреляции между факторами, поэтому кажется, что все оцснки коэффициентов регрессии независимы и свободны от посторонних влияний. Однако это справедливо, если описываемая область фактарнОГО пространства действительна линейнз (при дзннОЙ ошибке опыта) и, следовательно, все члены уравнения, отражающие кривизну, имеют нулевые коэффициенты.
В действительности кривизна может существовать, например, если интервалы варьирования велики и хотя бы некоторые коэффициенты при эффектах Взаимодействия окажутся Отличными От нуля Тогда может получиться, чта столбцы этих взаимодействий в л1зтрице пчанировзния будут ззкоррелирОВзны с нскОтОрыми столбцами линсйных эффектов. В дробном факторном эксисрименте, В отличие от полного. вссгда существует такая корреляция хотя бы для Некоторых столбцов. Это приводит к тому, чта по результатам данного эксперимента о аз Взется невозможна раздс., ить коэффиц ент регрессии между линейным эффектом и вааимодсйствием. Такие Оценки нззываютсЯ смешанными (совместными), 3 сзч фЗКТ КОРРЕЛЯЦИИ вЂ” СМЕШИВЗНИЕМ, СМСШЗННОСТЬ ОЦЕНОК вЂ” Даиь 7~~ зя сокращение числа опытов, Экспериментатор мажет бороться "о смешиванием путем уменьшения дробности реплики, уменьшения' интервалов варьирования, выбора вида модели.
Но, кроче всего этога„сама матрица планирования (при фиксированных и, Й и интервалах Вары1ровяния) может иметь различную истему смешивания. Экспериментатор стремится к тому, чтобы максимальное числа линейных эффектов Оказалось не смешанным с парными взаимодействиями. Число линейных эффектОВ, к~)тйрые не смешаны в данном плане, будем называть разрешяюгцсй способностью плана. Прямая оценка разрешающей способности реплик вызывает гехнические трудности, чта обуслоВленО неаахадимастью бОль'.аого перебора. Поэтому построены специальные алгебраические ".Оотнашения, нязыВаемые <<Генерирующими» и ~Определяющие Ы)НТРЯСТЫ».
Прежде чем описать использование этих соотношений, следует сделать замечание о выборе дробности реплики. Чтобы 1)еплика была Ортогональной, Она должна составлять такую -1ясть полного факторного плана, которая сама являе~ся пол!1ым планом для мсньшсГО числя фяктОрОВ. Другими слОВами, з качестве подходящей реплики следует бра~ь ближайший 1олный факторный эксперимент, число опытов В ко.и)ром больп1е, чем число неизвестных коэффициентов В модели, Пусть, например, требуется выбрать реплику для плана с четы1)ьмя фяк*ГО1) ами.
В линейной мОдели пять нсизвестнь1х коэффициентов. Следовательно, ближайшая подходящая реплика СОдержит Восемь ОпытОВ (ближяй111яя степень дВОЙки, большая» чем числа пять). Это — полуреиликя От 11ляна» тина 2". Воспользуемся упомянутыми выше соотношениями. Определяющим контрастом называется запись, показывающая, с какими столбцами взаимодействий закоррелнрован столбец данного фактора. Например, запись Х1ХЯХ- -"- А.,ф ..'сть определяющий кОнтряст, Почти Всегдя рязреша1Ощяя спО;Обность реплик тем выше„чем больше символов входит В .'Оатж)шение (16), Контраст гает меньшую разрешающую способность аналогичной реплики. С определяющими контрастами можно производить ря.1 .-)Лгсбра11ческ11х операций.
Так, можно ~множать обе част~ соот;1о~исния па Л1абое число эффектов. При этом если в одной части Один эффект встретится четнОе число ряз, то е1 О можно ;яменить единицей. Эта возможность следует из тога„что чети Я я сте11 ен ь л1ОООГО стол оца даст столбец 1гл 1ОсаВ. Если соотношепие (16) умножить на х1, то, согласно сказаиному, получим х1х»хзх4 '=- 1. Это и есть генерируюи1се соотнашенис, ~В При.;Еожении 5 нз:е Габли11зыи плзпов записаны генериру|ОЩие соотноц1~ ния) . В нем содержится вся ннфОрмяцня Относительно системы смеши1»зния в данном планировании. ЧтОбы узнать, с какими эффектаме1 смешан любой эффект, достаточна ~ъ1ножить нз него генерирующее саотношснис. Т ка 3 спери. енто т РФ -нтерес: т коэфф11ц нты. та систем~7 смешивания принято записывать В терминах этих коэффициентов. Если Воспользоваться соотношением (17), то для модели с линейными эффектами и парными вззичодсйств11ямн получится следующая система смешивания: Ьз 1»з Ь вЂ” Р4; Здес1» в соотвс.гствии с сущсстВующеи ста"Гистпчсской тряли!~иси греческим и буквами абознзче11ы неизвестные пст*'1н11ыс зачения коэффициентов, я латинскими — их выборочные оценки 11р11ктическе1 выбор подходящей реплики осу1цествля1ат с памошью Габлии планов.
Выбор реплики атличастся осабснн; стями в случае,,ели планирование эксперимепта используют не для отыскае111я оптимума, а для построения иитерполя1111оннога полинома в фикспрованной области. Тогда может оказаться, что выгоднее использовать реплику не с максимальной разрешающей спосаоностьЕ'. Примером такой ситуации мажст служить работа ~94~. В этой работе дли полчреилики от плана типа 2 использована слспч'еощая сис~емз смешивания: Ь, Р,+1,4; Ь вЂ” 1,+ 114, Ьз 1'з Ь Здесь им~ лись априорные сВедения о "Гоп, чта знячим1»1ми яв,чя1отся эффекты х2хэ и х.хь которые было важно оценЕггь незавн* симо от других. Бсс остальныс эффекты взаимодействия прел- е ПОЛЗГЗЛИСЬ ИСЗНЗЧЕЕМЫМИ, ПОЭТОМУ С~1СШИВЯНЕЕС С НИМИ ЛИИЕПН1»1Х эффектов считалось не о11ясным. Незиа Еимасть эффекта х1х; Аналогичная задача Возникаст также ПРИ Олтиыиаацни.
ес.т,-; чр'ки! испо:еьаовать априорную информацию об эффектах вааимочейстпия с;ч . Кап~)им$.'.~). Раьптъ' ~93). 74 Вычисление коэффициентов модели Вычисление коэффициентов — задача. решаем ая методом наименьших квадратов. Благодаря Оптимальной организации чдтриацы планирования решение добывается весьма просто. НО 11режде чем мы дооеремся до рассмотрения этОЙ ирОцедуры, пам придется сделать экскурс в область регрессионного ана- 1ИЗЯ. Рс,~эюссиоиный Онйлиз — м87од Обработки дОнюях Метод наименьших квадратов и связанный с ним регрессион- ~1ыЙ анализ являютс~1 основным инструменто~1 Обработки экс11е- 1)11мснтальных данных при планировании эксперимента. Это ;ОстоятельстВО, а такие Важиость этого метода самого по себе )11ставляют нас рассматривать его более полробно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
