Адлер Ю.П. - Введение в планирование эксперимента (1062941), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Важно, что для нецентральной поверхности оптимум будет лежать на границе области определения факторов. И Если поверхность имет центр, то В него персносят начало координат. При этом в уравнении поверхности исчезают члены, содержащие первые степени факторов, и изменяется свободный ~1лен, Коэффициент1э1 при Вторых степенях и Взянмодейств11ях инВяриантны ОтнОситсльно перенОся. Второй этап--= поворот координатнь1х оссй в иовом центре до совмещения с главными осями уравпепия второй стспснп.
ЭТО преобразование приводит к виду уравпепия (80). Лричем 1О7 дл11 уравнения с дс11ствитсль)1ыми коэффициентами В сОотвстствиц с. Оскс)вной тсорсх1ой о квадратичных формах такое преобразование вссгда существует и дает в уравнении ~80) также дси*ствительныс КОзффи13цеиты. Таким образом найден цецтр поверхности. Теперь цеобходиМо УСТЯНОВИТЬ, является ли ОН ОПТН)1~'МГ)М. ДЛя Этого ИС11О."11.- зу1от класснфикацгпо поверхности второго порядка по их кацоцическим формам 11Я пракгикс удобно пользоваться следиощими результатами этой классификации.
1. Все коэффициенты канонической Формы 1Б1е1от Олипяконые знаки. В этом случае центр фигуры — максимум при В;.;<О и минимум прц Е;;>О. Контурныс линии поверхност11 Отклика 1л11нци 1)Явных зца'1ен!1Й па1)аыетра Оптимизя11ии) бу'- дут эллипсами, 2. ~,озффцц11снты и.".1с1от разиь)с зц11ки. В этом случае цс11тр 11)игуры - — «мицимакс» ~«седло»). Еонтурныс линни будут гнпербо.ча м и. 3. Один или несколько (цо не все) козффициецтов близки к нул1о. В этом случае центр лежит далеко за область1О экспериментирования. Контурные л1!нип будут параболамц. ПоверхНОСТЬ тс1КОГО ТИПЯ 11ЯЗЬ1ндСТСЯ «ВОЗРс1СТЗ1ОЩЦМ ВОЗВЫШЕЦЦ .М» («гребнем») .
4. ВОЗМО)ксн еще вырожденныЙ сл711ай па))аллсльн1ъ1х 11р)1- мых, который це представляет праКТ111еского интереса. Следует иметь В виду, что нзглядцая геометрическая интсрпрстация Возможна тОлькО при двух и трех д)акто1)ах. 111)и бо.чьц1ем числе факторов возникак)т задачи многомерной гео- метрии ~105)~. В качсстВС примера кянОничсскОГО прсОбразования мОжнО продолжить рассмотрение работы ~100~, н которой координаты оптимум а и ме1от следующие зн а чен ия: х, — — 0,2700; х,. =- 0,5730; х .::= — 0,4605; х, =;::-.; 0,6790. Цецтр лежит внутри экспериментальной области.
Ь,З110Н11чссе()с прсо01)азова цис показыв11ет, чтО Возникает поверхность типа «минимакс». Па каноническим переменным Х2 и Л) Осооая точка яВляется максимумом, я по Ж1 н Л.1 — ыинимумам. Возникает Вопрос, как представить результаты исследования для дальнсйшего использования. Дело в том, что канонические цсрсмснныс являк)тся линейными функциями факторов и поэтому трудно 11цтерпрет11ру)отся.
В работе 1100~ результаты прсдстявлснь1 двумсрными сечециями поверхцости отклика. Чтобь1 получить двумсрнос ссчснис, надо подставить в уравнение значения координат Особой точки для всех факторов, кроме двух, ТОГда для этих двух фякторОВ можно построить ня плоскОсти лнии11 равных значении ф7нкцни отклика. Псрсб1)ав все возможные пар1э1 факторов, мо)кио получить сс1)ик) двумер1О8 Йость прОВсрить правильность анализа модели и Выдать рскомендации. Если нябл1одаетсй поверхность ти11Я «11пп1имакс» или возрастяк)щее Вазвьппсние, то математическое исследование дОЛЖИО быть продолжено.
Теперь СГО цельк) является Определение щ)атегии зкспсримснтатОРя, прпводя111сЙ к дОстижснию Оптимума. Мятсмят)1 1ески зта фо')мулнруется как задача отысканиии Ус'1ОБНОГО экстремум Я ф~ н кц11и отклика при Ограннчсниях, налагаемых сферой. Радиус сферы определяется звездными точками плана. Часто представляет интерес осторожная зкстрапо 1яция путОм последовательного увеличения Радиуса, Еслп экстраполяция увеличением радиуса невозможн а вследствис ОГРяниченнй ня факторы, то Возможно ДВижение 1щоль канонических осей поверхности отклика. Такой прием ° можно ряссматрпвать как частный случай движения по оврагам в методе Гсльфанда — Цетлина 1'1:Ц.
Он использокан в Работе 11001. Движение «вверх» и «вниз» по осям Х1 и Х2 ат особой ТО~1ки (пРИ Х. и Лз — — соп~1) позволило полУчить зиачениЯ 1~, превы1пающее Ранее извести»е. так„п[)11 Х1 — — — 8,28 и х4 — — --2,32 величина у=22,8, я при х1 — — 2,12 и х4 — — 3,68 величина у=-28,2. Если зкстр:1поляиия возможна, то возникает задача метода неопределеннь)х множителей Лагранжа 1106, 1071, о которой мы уже упом ин г1 ли Вы1пс Оть1 с к а н ие у словнО ГО экстремум» БозможнО еще путсм персбОРЯ вссх комби11ацнй нсзавпсимых псременных, но такое решение, как правило, весьма трудоемко. Иижс приВсден пример изучения пОВерхности Отклика. В работе 119] изучали процесс извлечения металла из возго- нов, При ротатабечьном планировании для четырех Факторов со звездным плечом а -2,0 получено следующее адекватное ураниси ие РСГРессии: у ---89,26 ':- 1.11х, - — 0,54х., -';- 3,15хз -- ОЗ8х, -',-3.53х,х.,— — Оа89х,хз — Оэ34х! х,, -1- 1ф86хзх.„— 1.62х..х4 -1 0~81хзх4 -[- - ',.- 0,01х', -1- 1,24х.", — 1,51х.', + 0,94х,'.
Осооая точка им сс Г координаты х1 —— — 0,63. Х2 — — --0,23, хЗ = + Ое™е х4 = — 1117 1~аноническое преобразование У, 89 48 „2 824Л= 2 469Л"' 0 770Уз 0 50У з показывает, что иолучилясь поверхность типа «мпннмакс»: при движении по осям Х! Лз д будет увели ив'1ться, а по Х. и Х4 — ~мс11ьшяться. Переход От старых координат к новым дается соотношением Х, ==== 0,50х, -', 0,74х., — 0,067хз — 0.44х4+ 0,02; Х.„==- О 45х, — 0,45х., -';- 0,76х, — 0,17х4 — О, 60„ ~з =- 0 24х~ -1' 0 24х 0 21хз - 0 91х4 г К4 --- 0.70х,— 0.35х.,-: — 0,62хз-',-ОЯ57х, ',-0,78, Для определения точек, в которых д=--100 (предельное значение), осуц!ествлено дв1!жение по Осйм ~-Х! и + Лз из 1!е11тра фигуры, Это приводит к следукицим четырем системам уравнений ~8.~ — — 2,82, У,;=89,48„Взз=0,77): Р~~~~ие этих систем дает ня Оси +Х~ у=:- 100,32 (х! — -0,43983, х,=-=1.25065, х.,: —.
0,87306, х, =-- — 1,86464): на Оси +Хз. у =--99,78 (х! =-. 0,54829, х.,--0,98022, х„-- 1,51210, х,,:- — 2,09287); д =-., 100,73 1х, - — 1,52586, х.,-= — 1,82944, х. — 0,51763, х, -=- — 0,45168); НЯ ОСИ--Л.-„. у - 100,78 (х,-- — 1,63610, х., == 1,55740, х =-= — 0,11936. х,, ==- — 4,408781. Полученные значения у отличаготси от 100 Б пределах ошибки вычислений. Интересно, что только Б од11ом случае значение Фактора оказалось за пределами Экспериментальной области, Таким Образом, можно ис!1Ользовать л1обое из первых трех решений.
При решении подобных задач нередко воз!!икают серьезные математические трудности и трудности вычислительного характера„свиза11!1ые с плохой Ооусловленпостьщ матр11ц 1108~. Закоиченнь1Й ялГОр1пм решения этих задач ВО Всех мыслимых случаях ПОКЯ Отсутствует. При решепи1! зЯДач на условныЙ экстремум ОГраничсние может налагзться не сферой, а ВтОрОЙ поверхность!О отклика.
Это дает вазможность искать компромисс для двух параметров оптимиза!!!1и. В этом случае задача сводится к решеии!о 111 :истеми уравнений относительно псременных х1„х2,..., х~, Ж~,, „Л~„ 11х~ й'х1 1Ь1 йх.ъ дХ, ~й~„ Лх~, ' " дх„ Где А — неоп релеле1111ь! й мно1е11тель Л я Гран жя. После око11чания работы 11001 для тех же опытов был вычис.'1ен второй параметр оптимизации д~ — процент зкстракци11. Б ь1 числсн и я дали для .
неГО следу1ощее адекватное ур а Б11сн11е МГРЕССИИ: у., = = 42,4250 — 1,3540х1+ 10 664 ~хе+ 6 8662хв+ 3, 1487х4— — 1,8719х', — 2,0544х,,' †!),7194х,,'-' — 0,9144х', — 0,1247х,х.,— — 0,4278х1х. — 0,5084х1х.,1: — ', 0,8734х хв + О, 1066х х4+ 0,0734х„х,1.
Координаты точек условного экстремума' Значения 91 а ( з ) ~о 12 13 14 — О,28 1,66 1,76 1,95 ?О,87 О„О3 1,43 1,31 О? 65,87 О,31 1,28 1,О7 2,13 62,32 — О„32 1,?3 1.89 1,89 72,1! — О„О7 1,51 1,47 2,О! 6?.7О О,42 1,24 1,01 2 12 61,!8 — О,2О 1,6О 1,6О 1,99 69,36 О, 1Г~ 1,36 1,21 2,11 64„4О Х~ Х-ь Хз "4 3начення д, 1 Ржчеть~ ныпалиялл Р И. Слойьдчиьааз но см-льхенкь~м ею прогрш.4эм Для прелстявле11ия резъ'льтатов та еже мОжнО использовать ЙВумерныс сечен11я, ОднО из 'Гз к11х се~!ени11 для рассматривзе- моЙ задачи приведено на рис.
Задача. аналогичная 11ред1*1дущеи, рсшалзсь в рзбоге [109! для с.чучан неполиых квадрзт11ых урав11ениЙ. ИсследОВание пО- казало, что существует весьма благоприятная область значе1ии факторов ЛЛ1ощая компрочиссионнос зн1~1слис пдряистров 1 ) ~~ Ставилась зздзчз нахождения условного экстремума для у~ при ограничениях„налагаемых 1уь В табл. 13 привсдсны различные варианты рс1дения этой задачи, Выбрав значение ограничения, иож11о получить координать! факторов и значение Оптимиз11руемОЙ функ11ии. Оптимизации.
При Этом, удалось сократить Время ирОВедения процСССЯ С 27 дО 5,5 ч. Получив и исследовав модель„необходимо принять решения о'гнОсительнО дальнейших дсйстВНЙ. Рис, 9. СОВмняеяяые ЛВъ'мбрнис ссчюний да~'х функций Отклякэ 5. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ (ОКОНЧАНИЕ) Для принятия решение1 сущестБснно, является ли пОлучен11ай мОдель ЯдекватнОЙ или нет. ПоэтОму ни~ке рассмОтренье ЛВЯ СЛучая. Модель адекватна Важло, соответствует ли оптимальное значение парамегра Оптимизации поставленной цели. Если цель достигнута, то получена статическая математическая модсль процесса. При разработке системы аитоматичсского управления процессОм следуеопеий еееаг — получение деенаыпчсской модели объекта.
Причем снова можно использовате иаговьей принцип: область статического оптимума — исходнаи область изучения динамики. Об~~И~ диееамику исследовали В Областях, опрсделяемьех с~ гьективным вьебаром технолога. Некоторыс требования к рсгуля- по к~~и ~е,е ч ~е с 1 а ти чески х фЯ е "торОВ мое ут бьете сфор1~е~,* те и 6 — 265 113 рованы уже по статическим модслям. Если не предполагается изученис динамик11, то следующий шаг — интерпретация моде- 111.
Причем решение задачи может быть еще нс окончено, так кзк при интерпретзц11и могут ВО311икнуть новые Гипотезы, трсбук)щие экспериментальной проверки. Вопрос Об интер11ретации модели 1)ассмОтрим ниже. Может оказаться, гго поставленная цель пс достигнута. Тогда необходима переформулировкз задачи. Пусть, пз11ример, при поисках состава сплава, обладак)щего заданной проч!10сть)о, ОптимзльнОе значсние прочности оказалось ниже зядзнного. Тогда следует включить в рассмотрение новые факторы, такие, как новые лсгирующие добавки или режимы термообработки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
