Патанкар С.В., Сполдинг Д.Б. - Тепло- и массообмен в пограничных слоях (1062125), страница 10
Текст из файла (страница 10)
е. дпссипацпсй механической энергии), либо принимаем эффективное число Прандтля повсюду равным единице. Дальше будет показано, что почти то же самос рассуждение может быть применено для случая, когда кинетическое тепло является конечной величиной, а па,ж по определению знтальппи аднабатнческой стенки не равняется единице. 1.4-1. Допущения, используемые в куэттовской модели течения Если конвекция в направлении х пренебрежимо мала, то первая интерпретация результирующих одномерных уравнений сохранения дает ': (1.4-1) /=-/, +~-, (Фе Ф), (! 4о) Здесь подстрочный индекс означает условия на стенке.
Эти соотношения могут быть приведены к безразмерному виду с помогцью полста новок: Тогда те =1+ Реуе+ т+и+, л'., = — 1+ лт„Ф+, (1.4-!О) (1.4-! 1) Законы переноса, приведенные в равд. 1,3-2, преобразуются к виду , = (р.фИ(г(и,!с(у,); (1.4-12) (! .4-13) ' Эти выражения приводятся здесь без доказательств, так как они хорошо известны и их легко вывести. Изменение радиуса г не принимается во внимание ввиду чалой толщипы рассматриваемой области. 31 = т/~,; Уе†= У )'т Р/1ь и+ = и/)/т,~р; (! )1( з12 Нз), гпе — т"',1')/т,Р; у+ у 1'/а Ф„=— (Ф, — Ф) )/т,р//,, (1.4-3) (1.4-4) (1.4-5) (1 4-6) (1.4-7) (1.4-8) (1.4-9) Здесь частные производные могут быть заменены па обыкновенные, так как задача одномерна.
Гшготеза. Приведенные выше уравнения позволягот получить решения для и и гр только после подстановки в них зависимостей для 1ггт и опт. Чтобы вывести эти зависимости, ыы воспольздемсн Гипотезой Ван-Дриста (1.3-7) в безразмерной форме; и'ь =1 ]-Кеу'+[1 — ехр( — у,]/е СЛ,)]е(с(и,(с(д.). (!.4-14) Здесь знак модуля производной (диеЫу,) опущен по вполне очевид- ным причинам. Аналогично уравнение (1.3-8) может быть представлено в записи В этих выражениях содержатся две константы: К и А,; одну пз пих можно устранить в целях большей общности.
Это упрощение дости- гается с помощью следующих подстановок: Тогда Введем обозначения: (1.4-24) 7, — !+ггг.Ф.. (!Л 25) Профили и„и Ф„. Уравнение (1.4-12) можно представить в виде 1~,~ сси„ + 1 г1у, (1. 4-26) Совместное решение уравнений (1.4-19), (1.4-24) и (1.4-26) с последующими несложнымн алгебраическими преобразованиями приводит к равенству а (1+ р.у.
+ т„и,) сгу 1+ 1сг 1 ! 4уе (1 + р у. +т и ) !1 — ехр ( — у У(1+у~у„+лгг и ! Л,Иг (! .4-27) 1.4-2. Обобщенная гипотеза Ван-Дриста Кеуе »Ь 1+ -'- [! Е„( у,рл,,СЛ„)]е(дгг„гдд„). ."еэе д„= — Кд+'! и = — Ксс; Л,== КЛ.„. '- — 'и=1+ у [1 — ехр( — уе )'-. /Л, )]'(инессе(уе); !" ь — '""" = — + — [1 — ехр( — д, )с"и ссАи)]е (с(ссе]с(ссе).
Нгь а ег р* ==- ре]К; лг. = пг,./К; Ф. = КФ+. Тогда уравнения (1.4-10) и (!.4-11) преобразуются к виду т+ —— 1+ р,у„+ сгг.сс„; (1.4-16) (1.4-1 7) (1.4-18) (!.4-19) (1. 4-20) (!.4-2! ! (1. 1-22) (1.4-23) Аналогично для безразмерного потока l+ исходим из следующего выражения: (1.4-28) Ме яссу„' которое в сочетании с уравнениями (1А-20) и (1,4-25) приводит к равенству — (! .4-29) 'су ! 2 — +у [! — ехр ! — у уг!+ р„у +гя,пя'Ая)!' (с!и,руу! Для заданной величины А„и при очевидных граничных условиях (1.4-30) у„=О: и.=О, Ф,=О решение уравнений (1.4-27) н (1.4-29) позволит получить профили и.
и Ф. в следующей форме'. (1,4-31) ив=ив(уя, р„тн)," Фя=-Фя (у, ря, т, а)о!, о!), (1.4-32) Пекоторые нз этих решений получены численно н будут позднее чредставлены в гл. 4. Аналитические решения возможны лишь для специфических условий; некоторые нз нпх мы получим ниже в равд, 1.4-4. Вернемся теперь к уравнению для энтальпии торможения с тем, чтобы обсудить вопрос об учете кинетического тепла в куэттовском течении.
1.4-3. Использование энтальпии адиабатической стенки Выясним, как с помощью развитого выше анализа для обобщен. ной переменной Ф вычислить величину а в случае, когда кинетический нагрев не пренебрежимо мал и эффективное число Прандтля отлично от единицы. Адиабатияескпя стенка. Пренебрегая конвектнвной составляющей потока в х-направлении, из уравнения (1.1-5) получаем: (1.4-33) уь =Ул +т",(й, — а)+ие. Для адиабатнческой стенки .Уа,=О. Следовательно, "гьяд = т я (йвдя й~д) + ит (1,4-34) Здесь подстрочный индекс «ад» напоминает об адиабатпческнх условиях на стенке. Привлекая (1.3-1), (1.3-2) и (1.3-4), преобразуем [!Л-34) к виду (1 ! ) (пЛ) илн в безразмерной форме Кяо ~Г я у ! Х ~$вя Л(пх~'3) (! .4-36) — яя..
) „'. ' Скобки используются здесь для заключения в них аргументов фуикния. 3 — ! Явб 33 здесь йавд =— Квй+ад, — Р (Лаа аа) евд = Решение уравнения (1.4-36) с использованием зависимостей (1.4-!9), (1.4-20) и (1.4-27) позволяет найти искомую связь Й„„=й„„(у„р„, т., а„/ель аы). (1.4-39) Для коэффициента восстановления Н, определяемого в виде (1,4-40) (!.4-41) Случай неадиабатичвских условий на стенке. Определим теперь новую величину Й й = й + (Н вЂ” 1) а-',а2. (1А-42) Величина коэффициента восстановления П подставляется из уравнений (1.4-39) и (1.4-41).
Для адиабатической стенки величина й будет такой же, как йвд.. После подстановки величины й из (! А-42) в (1.4-33) и исключения Н с помощью равенства (1.4-40), а (й,д,— й,д) с помощью (1.4-34) получим соотнощение ул — улад = ул. -(- т" в (Й, — й), (1.4-43) или в сокращенной записи 74л =1+ пй.й„ (1,4-44) где та — таад з л= —— + (1.4-45) (7,— л) !та,Р + (1.4-48) Уравнение (1.4-44) идентично по форме (1.4-11).
Остается пока зать, что 74л подчиняется зависимости, аналогичной (1.4-13). Поскольку (1. 4-47) (л„, — л„) ца получается простая формула Н =1+ 2Й „д/а . то после подстановки (1.4-42) получаем: Теперь величина й согласно определению (!.4-42) как й,д, (отсюда независимость от у) при адиабатических 34 (1.4-37) (1.4-38) (1А-48) окажется такой же, условиях на стенке. Следовательно, второй член в фигурных скобках (1.4-48) можно при- равнять нулю. Результирующее безразмерное уравнение 1.4-4. Некоторые аналитические решения 1сак уже отмечалось, решение уравнений (1.4-27) и (1.4-29) в общем виде возможно лишь с помощью численного интегрирования.
Однако к определенному пониманию смысла этих полных решений можно прийти после рассмотрения нескольких простых случаев. Лсияптогические решения для ламинарного слоя. Ограничиваясь случаем весьма малых значений у., в пределе придем к условиям лаиинарного течения. Тогда уравнение (1.4-27) упростится до вида ви„. — "-'=! +р.у — 'т и,. ау., (1,4-59) Отсюда следует (1.4-51) (1.4-52) (1,4-53) р.=-т.=О: и.=у.; р, -й О, т, = О: и,, = у,, -1- р,,1/~ /2; р, =- О, т,, с О: и, = (ехр (т, у,) — 1) /а1.„. Аналогично (1.4-29) сводится к уравнению (1.4-54) которое имеет решение (1.4-55) (1.4-56) 15 — = а (ехр (т,у,,) — !)/!и,, При т, --О Ф,.=с ау, Числа Прандгля и Ш иидга равны единиие. Может показаться излишним дополнительно к отношению о/о! в перечень аргументов уравнения (1.4-32) включать еще и а!.
Обсудим возможность распространения решения, полученного для е!=1, на произвольное значение пь Пусть Ф„!!! соответствует ~величине Ф. при тех же самых значениях у„а/и!, но при оь равном единице. Тогда из уравнения (1.4-29) получим: !1Ф, 1! + т,Ф„] а, (1.4-57) ДФ„;,! ! + т,Ф.1,! Необходимо подчеркнуть, что бз.
и !1!мо относятся к одному и тому же значению о/и!, но к различным величинам о. Интегрирование уравнения (1.4-57) дает; (! + И,Ф„го) о,— ! (1.4-58) К в!„ (1.4-49) теперь аналогично уравнению (1.4-13). 1'1ринимая во внимание соответствие между величинами ./~!„ /!ь, ая„, я /ь с одной стороны, н ./+, Ф,, вкм Ф вЂ” с' дру~ой стороны, приходим к выводу, что все рассуждения относительно уравнения для Ф+ будут справедливы и для и„, Тогда связь с локальным значением 6 может быть установлена с помощью равенства (1.4-42). Величина Н находится из приведенных выше соотношений. Сушествует предельная форма выражения (1.4-58), а именно: и» вЂ” О, Ф» =-э«Ф«<о. (1.4-59) Таким образом, вместо зависимости (1.4-32) можно использовать Ф«»о!=Ф ! (у р» "' %!) (1.4-60) с последующим переходом к Ф„по формуле (1.4-58).
Асимптотическое решение для полностью турбулентной части слоя. Для больших значений у. вклад ламинарной вязкости и член экспоненциального затухания в (1А-15) пренебрежимо малы. Тогда из (1.4-27) ии, (! + т»у, + т„и,) Для р,=«п, ==0 получается и„=-.1п(Е,у»), где Š— постоянная интегрирования. Для р»=тО, т, =0 имеем. (1.4-61) (1.4-62) и» =- 2 ()«'! + Р»у» — !) + 1и ( *У* 1. (1,4-63) 12+ у.у»+2ьт!+ р,у„! Здесь постоянная интегрирования Е„ будет теперь зависеть от р. (Этот результат совпадает с полученным ранее Таунсендом (Л. 87! нз рассмотрения баланса турбулентной кинетической энергии.) Для р.=О, тпФО имеем; "« --'"(»у»)-)- 4' !'"(»у-))э (!.4-64) константа интегрирования Е„является функцией зультат был получен в работах (Л.
8, !4, 62 и 118)). Для полностью туроулентной области и р.=О нення (!А-2?) н зависимости для !Рм«ь выведенной чим соотношение !и. (сходный ре- с помощью уравиз (1.4-29), полу- г!Ф !««! + т„Ф «ги„! + т.и„ Его интегрировзние дает (1.4-65) "Ф«!«! — и«ф иэ справедливо при р, —.ш, =О. Интегрирование (!.4-68) дает: и„ Ф»!, ! = и„+ ~ (иэа — ! ) йи«. о (!.4-68) (1.4-69) !и(!+т,ф,!,«1 !и(!+т„и,! +Р (1.4-66) т» т Здесь постоянная интегрирования Р.
будет в общем функцие!! а«. и и/аь Предельная форма уравнения (1А-66) для т.— «-0 имеет вид: бзмп —— и*+ Р„ (1.4-67) !Сполдинг и Джаятилака (Л. 1!41 пользовались в своих расчетах формулой (!.4-67); позже Сполдинг (Л. 106) обобщил ее на основе соотношения, сходного с уравнением (1.4-66) ). Случай больших значений о/о«, р„=ш„=О. Легко показать, что соотношение (1.4-67) является решением дифференциального урав- нения Р, .= ) (~о~ — 1) г(ссс (1.4-70) о При весьма больших о!ос значительный вклад в Р, вносится областью малых величии и..
Асимптотссческое значение поэтому может быть найдено при сохранении лишь первого члена в разложении в ряд экспоненциального члена уравнения (!.4-20) в допущении приблизительного равенства между собой величин д и и„в этой области. Тогда выражение (1 4-7!) и есть искомая асимптотическая формула. В случае больших велстчии о('ос (1.4-72) Коэффициент восстановления для ис —.=О. Если положить и,с = =-0 в уравнение (1 4-36), то после интегрирования найдем: й,„х = ~ (о,оф — 1)с(а )2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
