Патанкар С.В., Сполдинг Д.Б. - Тепло- и массообмен в пограничных слоях (1062125), страница 11
Текст из файла (страница 11)
о (1.4-73) Если же ос, и оскс равны между собой, то ос,,,о есть величина постоянная. Тогда 1с,сл = — (оо с — 1) и сс2. (1.4-74) Следовало бы отметить, что даже при неравных друг другу числах вк и ам с величина ос,оф значительно отличается от ок с только в об. ласти малых и., где величина интеграла в уравнении (1.4-73) в любом случае невелика. Таким образом, уравнение (1.4-74) окажется достаточно точным для больших значений и„даже когда по~оскс. Подстановка уравнения (1.4-74) в (1.4-41) приводит к простому результату: (!.4-75) Н.== оо.с. 1А-6. Явные формы зависимостей Соогпошения типа (1.4-31) нли (1.4-60) представляют главный результат нашего анализа куэттовской модели течения. Позднее мы воспользуемся ими для установления связи между величинами у, и, Ф, сср/с(х, т"с, с одной стороны, и т,„У,— с другой, Поскольку почти каждая безразмерная величина содержит т,„то процесс обязательно будет итерационным, т.
е. повторяющимся. Эту особенность можно устранить преобразованием соотношений типа (1.4-31) к удобным явным формам. Мы определим новые безразмерные группы и классифицируем их таким образом, чтобы представить касательные напряжения на стенке, тепловой поток и т. д.
как функции известных величин. 37 Для больших величин р„ (следовательно, для больших значений и,) подынтегральное выражение во втором члене правой части (!.4-69) обращается в нуль; тогда верхний предел может быть заменен на бесконечность. Таким образом, приходим к следующему выражению для Р„в уравнении (1.4-67): Здесь будут введены новые обозначения и показана их связь с прежними нашими обозначениями. В гл. 2 будет сделано допущссше, что предложенные алгебраические соотношения, связывающие эти новые обозначения, можно получить из анализа куэттовского течения, проведенного в данном разделе. Примеры действительных зависимостей будут представлены в гл.
4. Введем определения: гс! а )7.==.— и !1л и! (Ф, — !!) а далее Р„==К%; à — = Г/К' (1.4-82) (1.4-83) (1.4-84) (1.4-85) М „= — М/К'-; з я=а/К' 5 =5/К'. Заметим теперь, что в соотношениях для представлена в сле- (1.4-92) (1.4-93) (1-4-94) Смысл параметра 5.1п легко поддается трактовке.
Действительно, уравнение (!А-58) позволяет нам отнести 5„к 5„со следующим образом: 5== М (1.4-95) (1+ м„)з,сп)' — 1 М,-+ 0: 5, =5„.10/ас. (1.4-96) На этом мы заканчиваем построение основ теории для одномерной пристеночной области. Была показана представимость результатов анализа для этой области через общепринятые термины и обо- за сс', =- ссху,; 7с, =.-.
р!сг! /и'; М. = — лгч/и,; зс == 1/и'; 5,0 с -= 1/(и,,срс,!1„); 5, == 1/(и„.Фч). Легко видеть, что информация, содержащаяся профилей (1.4-31), (1,4-60) и (1.4-39), может быть дующих удобных формах: з =з.;. с=К,Х, М.-с' 5,1О = 5:!10 (=й.,„Г,„сс(„.,%с-г; и =: О ~ссх,!ся, М„-.„/:„с, ч„;1. Соотношение (!.4-95) имеет предельную форму: (1.4-76) (1А-77) (1.4-78) (1.4-79) (1.4-80) (! А-8!) (1.4-86) (1.4-87) (1 А-88) (!.4-89) (1.4-90) (! .4-91) значения. Однако одномерная схема неприменима к внешней части пограничного слоя. Для этой области необходимо решать дифференциальные уравнения в частных производных, приведенные в разд.
1.1-3. В следующей главе дается описание нашего нового метода их решения. Глава вторая РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕИ' 2Л. ВЫБОР СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Используемая система отсчета имеет важное значение в методе конечных разностей, поскольку принимаются ~во внимание величины зависимых переменных только для определенного числа точек, располагаемых в виде сетки в выбранной системе координат. На практике наиболее распространенным является применение прямоугольной сетки в координатах х-у.
Легко видеть неудобство такого выбора в применении к задачам пограничного слоя, толщина которого обычно растет в направлении течения. Если выбранная сетка такова, что определенный минимум ее узловых точек размещается поперек слоя, то тогда сетка окажется слишком мелкой в начальном сечении слоя и чересчур крупной в конечном сечении слоя, если продвигаться в направлении течения. Аналогично ячейки сетки, выбранные для нижнего ес сечения, окажутся слишком крупными для области слоя, расположенной вверх по потоку, и, таким образом, точность расчета будет неудовлетворительной. Не исправляет положения использование функции тока ~р вместо у в качестве переменной поперек слоя, хотя такая замена может оказаться полезной в других отношениях. Узловые точки сетки и в этом случае все еше распределяются неэффективно, и эта неэффективность создает методу конечных разностей репутацию дорогостоящего, Конечно, в процессе интегрирования можно перейти от мелкой сетки к более крупной, но такая процедура груба, трудоемка и неприемлема для общего применения.
Идеальной была бы сетка, всегда совпадающая с областью пограничного слоя. Имеются различные способы обеспечения этого требования. Лю 1Л. 36), например, при решении задачи о ламина~рвом перемешивании химически реагирующих сред использовал безразмерную переменную типа скорости течения как поперечную координату. Зто принесло желаемый эффект, так как не имеет значения, как сильно утолщнлся перемешивающийся слой; скорость изменилась в сечении слоя между фиксированными пределами.
Заметим, однако, что в общем случае скорость не является удобной поперечной переменной, поскольку требуется, чтобы независимая переменная менялась монотонно по толщине пограничного слоя. При наличии на профиле скорости отчетливо выраженного максимума это условие нарушается, и скорость тогда перестает удовлетворять требованиям, предъявляемым к независимой переменной.
В наших ~расчетах в качестве поперечной переменной используется безразмерная функция тока га. Как будет показано, при таком подходе удастся объединить преимушества координат, выражаемых функцией тока, с достоинством ограничения пограничного слоя конечным диапазоном значений сь Определим переменную ы в виде м ш (Ф вЂ” 5/)/(Ь вЂ” Фг) (2. 1-1) 39 Здесь !Рг и фв — значениЯ фУнкции тока на гРаницах слоЯ У и Е; так!и! образом, рэ равно нулю на границе 1 и единице на границе Е.
Зависимости перса!енных фг и фв от х выберем так, чтобы гарантировать наибольшую эффективность счета. Это означает, что все существенные изменения зависимых переменных долркны иметь место прн значениях а!между нулем и единицей. 1!з определения Чр имеем: дФ! — =- — г т" дх= ! ! (о( Р! дйв — '= — г,т" . 1/х л в (". 1-З 2,2, УРАВНЕНИЕ СОХРАНЕНИЯ В КООРДИНАТАХ х м Уравнения разд. 1.! -3 трапсформируем к координатам х - рч. Одновременно произведем подстановку законов сохранения и,! равд. 1.3-2. В результате получим: Уравнение сохранения количества движения; Г ди !г!" ! г ~ ('вга и "рт !)) ди д ! г'рио,айи ю ! дгл дх (с(в — й!) ди оы ~(Фг — (Ч)'-'дю) ри дх Уравнение сохранения химической компоненты 1': деп ! ггак ! + ы (гвьиа гг"Гг) т дгар д ) н,вг-"ро дм! )+)Рр,р,> 2 дх ((.— ь) дм дм '(()и — йг!" ь ды ) Уравнение сохранения энтальпии торможения: дй 1гга2 г+ м (гг'а л — ггт !)) ! 1 д (Гг'-' 1) акэь ! ды 1 !' о-3) Эти уравнения можно представить обобщенной записью — + (а + Ьы) —.
= — ~с — у! + г), дф дф д / дф ! дк д д ~ д ) (! 2.1) где а — = г,тм',1'(б — 6!); Ь =- (г,т" — ггп!",)1(др — ( !) (2 2-3) ('2.2р-б!) с;= — г-'Рип,ф(((Уг — ф!)' эы,). Здесь Ф означает зависимую переменную, а символом член в правой части уравнения, не содержащий др1!)ды, Т дает конкретные вь!ражения для г). 40 г( оооз'.рачен !блица 2.2-1 Здесь т", и т"г — плотности массовых потоков через поверхности У и Е Мы будем вычислять изз!ененри величин фг и ф„интегрировзипеэ! ураырчшй (2.1-2) и (2,1-3), Это позволит нам решить вопрос о выборе п!", п гг!", обеспечивающем наибольшую эффективность вычислений.
Этой цели мы достигнем в ~ 2-3. Вначале, однако, необходимо привести дифференциальные уравнения к удобной форме. Таблица ".З-Г Выражения для о5озщенного символа д Зевнеямея нереме нея Вырежевне яяя и 1 др ри дя 1Рг (ри) гне З.З. СКОРОСТЬ ОБМЕНА ЧЕРЕЗ ВНЕШНЮЮ ГРАНИЦУ СЛОЯ (2.3-1) Такое же равенство должно быть справедливым прп подход. к границе 6 снизу. Следовательно (независимо от того, равняется га нулю пли единице на рассматриваемой границе), справедливо выра- жение д ( гарин.„,е гзи ди йяя (2 3-2) 4! В данном параграфе обсуждается вопрос о скоростях переноса массы через граничные поверхности я' и Е, косвенно опоеделяющие границы слоя. Наше требование состоит в том, чтобы область 0(га(1 включала все точки с сушествепными градиептамп зависимых переменных.
Если граница совпадает с линией симметрии или стенкоп, величины и', и иин поддаются непосредственному определению: скорость массо- переноса через линию симметрии равна нулю; на стенке по~ок массь. либо задается, либо выводится из исходных данных. Если граница примыкает к свободному потоку, то для определения скорости массопереноса через нее, известной под названием скорости увлечения обмена с внешним потоком, требуется большое искусство. Следует различать два подхода к данному вопросу. В одном случае граница слоя может устанавливаться точно, поскольку в турбулентном потоке, которыи предположительно подчиняется гипотезе о пути смешения, эффективная вязкость исчезает вдоль определенного его края.
Этот случай в основном н будет рассматриваться нахш в данной работе. В другом случае граница слоя на самом деле устанавливается приближенно, так как эффективная вязкость не исчезает вдоль какой-то определенной граничной линии и достигает условии свободного потока асимптотически: ламинарныс течения имеют такой характер. В таком случае граница должна быть установлена исключительно для удовлетворения требований нашего расчета об ограниченности изменений Ф конечным диаггазоном значений ы.
Непосредственный способ получения зависимости для обмена на свободной границе (для обозначения которой мы используем подстрочный индекс 6) состовт в испольовании дифференциальных уравнений в частных производных (2.2-1) для этой границы. Вне границы должно соблюдаться условие удовлетворительны до тех пор, пока отвечают требованиям, обеспечивающим эффективность вычислений, Выводом дифференциальных уравнений в системе координат х-ы н получением выражений для массовых скоростей обмена через выешыюю границу завершается подготовка разработки метода конечных разностей, детали которого будут ыами се!тиас описаыы. 2.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
