Патанкар С.В., Сполдинг Д.Б. - Тепло- и массообмен в пограничных слоях (1062125), страница 13
Текст из файла (страница 13)
791, в настоящее время разрабатываются и другие методы. 2.5. СКОЛЬЗЯЩИЕ ВЕЛИЧИНЫ НА ГРАНИЦАХ 2.5-1. Что такое скользящие величины? При формулироваыпи конечно-разностпого уравнения предполагалась лиыейная зависимость Ф от ы между узловыми точками сетки. Такое допущение пригодно везде (обеспечивается выбором достаточного числа узловых точек сетки поперек слоя), за исключением границы. Вблизи стенки, ыапример, отрезок прямолинейной зависимости и — м. проведенный через действительное значение и у стенки, не отражал бы действительной картины, поскольку фактические изменения гораздо круче.
С другой стороны, эти пограничные области весьма важны, так как обусловливают прпстеночные потоки, скорости смежного обмена н величины на линни симметрии. По этой причине мы используем в формуле линейной интерполяции «ложную» пли «скользящую» величину Ф ыа границе, выбранную таким образом, чтобы обеспечить наилучшее точное решение дифференциальыого уравнения. Между прочим, ввод скользящих величин также облегчает анализ тех задач, где в качестве граничных условий заданы градиенты Ф, а не сами величины, но об атом речь пойдет несколько ниже, в З 2.5. 47 Эти выражения справедливы также для уравнения скорости в случае, если член, выражающий градиент давления, вычисляется из соотношения (2.4-22).
Использование уравнения (2.4-25) приведет, однако, к следующим, несколько отличным от предыдущих, выражениям: и„=А„ио +В„ир +С„, (2,4-35) ,,Ианиинае' ззнененое ф фз з!'з фг ггз они и о I Оно 2 ое-!. Сзе))а инлеисаиии дсйстаительнмх зиа чеиий н иелп шн скольжении переменной щ 2.5-2. Отношения величин скольжения для ограничивающей стенки Распределение скорости вблизи стенки будем принимать в виде степенного закона: и сс ( (у — у,) (~ . (2.5-1) Вопрос о подборе величины 3 будет рассмотрен г)озже.
Из определения и (ф — е),) сс 1 !ге!у (2.5-2) и Определение скользящей вели шны должно Оыть согласовано :. вышеприведенными требованиями. На рис. 2,5-1 схематически показаны обозначения, используемые в дальнейшем. Весь интервал от со=О до о)=1 разоит сеткой на Л' полос. Подстрочные индексы 1 н 2 озна)ают соответственно истинные и скользящие величины на границе 7; подстрочные индексы 3, 4, ..., Л' — , '1 применены для последующих линий сетки вплоть до границы Е; истинная и скользящая ! ) ф„ величины на границе Е обонзф значены подстрочнымп индек- ф"г „ сами У+ 2 и Лг+3 соответст- ! г ! ~ ! ! ) ! Ьпенениеф Воино.
Величины о)г и е)кьг ! ! ) йензинное" там, где они используются, ! "' идентичны ю! и тк-з соответ! ) ! !' ственно. Подстрочный индекс !ион'и'г 2,5 относится к линии, прохоизг ' и)г.з изг и)и !')н и)н+ из«+з дящей посередине между гранио ги)н г' ницей и линией 3 сетки; аналогично Л'+ 1,5 используетсч для линии, проходящей посередине между )у+1 и границей Е. Лпнпп с подстрочными индексами 2,5 и У+1,5 имеют особое значение. так как онн ограничивают все контрольные объемы, использованные прп составлении разностных уравнений. Таким образом, роль функции скольження состоит в таком ориентировании отрезка прямой Фг-Ф,, которое обеспечивает в промежутке (и)е,з — и)з) лучшее представление, чем даваемое линией Ф)-Фз.
Величину Ф, будем определять пз требования получения правильного наклона и величины Ф в точке 2,5 на основе линейной интерполяции Ф-ы между точками 2 и 3. Аналогичные замечания относятся к величине скольжения Фкиз. При таком подходе даже поперечная координата может рассматриваться как Ф. Правильный наклон и величина Ф в точке 2,5 зависят от вида границы и наших допущений относительно характера потока вблизи нсе. В последующих параграфах соответствующие зависимости будут рассмотрены. Прп их выводе плотность среды и радиус кривизны принимались постоянными повсюду, исключая область вблизи оси симметрии. Эти допущения вряд ли создадут значительные погрешности расчета.
Приведенные ниже зависимости даны только для границы 1; аналогичные соотношения справедливы и для границы Е. В целях упрощения выражений для границы Е мы сохраним н последующих выкладках члены о)! п у), хотя они и равны нулю на границе 1. Заметим, что и не равняется у). Переменная у интерпретируется так же, как Ф-функция, и обладает величиной скольжения. позучаем: и сс ( (ы — ог,) !"' ' (э.5-8) Отсюда после согласования с наклоном и ординатой в точке 2,5 приходим к соотношению (2,5-41 Принимая в качестве зависимой переменной Ф-функцию, отлгтчную от и, мы снова вводитг допушсние степенного профиля, но с другггьг показателем степени.
Тогда (Ф вЂ” Ф,) сс ! (д — у,))т. (2.5-5) После использования равенств (2.5-1) и (2 у-3) приходим к выражению ,р ), ) „ (тг и ч а! (2.5-5) Введение величин скольжения дает; ф — г[> l +' ~ ~ г ф з (! (2,5-7) В этом случае величина скольжения у, как легко убедиться, может быть получена заменой Ф на у при у=1. Следовательно, (2,5-8) Оггрег)еление р и у, Параметы 8 н у прнстеночных профилей будут выбраны так, чтобы их наклоны в точке 2,5 быпчп согласованы с величинами касательного напряжения или потоков в этой точке, полученньгьгг~ нз анализа кгэттовского течештя.
Тогда (2.5-9) (2.5-10) Приведенные в 9 1.4 определения позволяют преобразовать соотношения (2,5-9) и (2.5-10) к виду' (а+ д+ гн) 44 1 ~ (5+.44) Р~ До сих пор гиы обходились без привлечения к расчету какой-либо конкретной гипотезы для эффективной вязкости. Турбулентное течение ' Уравнение (2.5-!2) для т справедливо только тогда, когда гр-фуакпия удовлетворяет условиям, приведенным в 4 1.4, т.
е. когда оно представляет величину т; прн отсутствии химической реакции и кинетического нагрена либо прн его пренебрсжггмоГг малости, либо в случае равенства пл,ь единице. Лля конечной величины кинетического нагрева и оль, пс равного единяце, следует пользоваться соотношснпем 4-149б 49 (р — ю) ди ~ 3= гг Ор -! (р- — го) дФ (ф.-э,) др)ед' (2.5-1 1) (2.5-12) в пристеночной области, походя нз теории пути смещения, можно тхарактеризовать зависимостью Р'ач 2К (У вЂ” У> ) ) ди/ди (, (2 5-! З~ или в равносильной записи ( — '""' ~ — - К 'И ;=1(+у+ 14) .1ь )К Т=(5+й4), ачба% (".5-14) Таким образом, (2 .3-15) (2 5-15) 2.5-3.
Величины скольжения д.чя свободной границы Турбулентное течение вблизи свободной границы, как это может быть показано на основашш гипотезы о пути смешения, должно обладать параболическим профилем скорости (Л. 1). Такое допущение представляется правдоподобным также и для течений с другими законамп эффективной вязкости, нежели принятые в данной книге. Следовательно, отправляясь от допущения (2л-17) (и --.
и,) сс (у — у,)', получаем: (и —,) "с (и — и, (пз (2и, + и). (2.5-15) Использование определения величин скольжения после некоторых нлгеораических преобразований приводит к соотношению !5и! — Аи~иъ -Р и) (2.5-19) 2 (и, + и,] + !84и, — !2и,и,,+ Эиз)'~~ Равенство (2.5-19) вполне удовлетворительно во всех отношениях, кроме одного: оно нелинейно.
Его совместное решение без применения итерации с разиостиыми уравнениями 8 2.4 возможно при наличии линейной зависимости между величинами иь и, и и,. Ее можно полу шть пз уравнения (2.5-19) в виде (2.5-20) и, = и,6 + и, (1 — 6), где а2-Р и. — 8а, 5и,, —,'- 5а, + 8и, (2.5-21) 6-функция, зависящая лишь от величины и, должна изменяться медленно.
Поэтому ошибка, внесенная при вычисления 6 по величинам и, взятым в ооласти, расположенной вверх по течению, оудст невелика. 50 При дальнейшем использовании уравнения (2.5-14) неявно прп ~пмается достаточная удаленность от стенки точки 2,5, оправдывающая игнорирование молекулярной вязкости. Фактически наши усилия направлены на ограничение области больших градиентов и влияния молекулярной вязкости в проз1ежу~ке между стенкой и точкой 2,5. Профиль зависимой переменной г!>, отличной от и, также аппро!.сп.
мируется степенным выражением, т. е. (Ф> — Ф)ст.(п р Показатель тг связан с ам(, соотношением ' (ь >--'-) ">, оо (".5-23) п:== 2о,в, полученным с помощью гипотезы о пути смешения. Пспользоваппс определения величины скольжения и уравнения (2.5-22) дает: (2 5-2'!) 1) а =..-: Ф,6 + Ф, (1 — 6 ), где ( ==- + )(+ ! М- 0 ( — и) (2 + и) ('> 5. >;>) За+! 1, ! '(0 — !) Х р,==:р ( ( ~ —, тй (2 5л>5) 2.5-4. Граничные величины скольжения на линии симметрии Вблизи липин симметрии величина а в уравне!шп (2.'2-4) равна нулю, величина ~о должна быть мглой, а члены д(!>/дх и г( не с;шь!ю отличаются от их >ке значений на линни симметрии.
Тогда дифференциальное уравнение сводится к предельной форме: дФ ) дФ, ды ( ды/ дм — ! с — )= ( > бл>7) Далее полагаем величину ра,(, постоя и!ой вблизи лпш!,! симметрии. Это допущение фактически расходится с гипотезой о пути смешешш, однако лучше согласуется с действительностью и имеет едннообразну!о применимость как к ламинарному, так н к турбулентному течениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
