Патанкар С.В., Сполдинг Д.Б. - Тепло- и массообмен в пограничных слоях (1062125), страница 12
Текст из файла (страница 12)
РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ контроль лизи обьсл иия,бьЗоль кризо рои следует олроделилзь злоьелию 4О Оби1ее описание. В этом разделе дифференциальное уравнение общего вида (2,2-4) в частных производных мы представим в конечноразностной форме. Это уравнение решается методом постуыательпого интегрировашш.
Поэтому каждому шагу интегрирования будут соответствовать известные величины Ф прн дискретных зпачеыиях ы для одного значения х. Задача будет состоять в том, чтосы иолу тить величины Ф при тех же самых значениях ы, по для несколько большей величины. Повторение этой основной операции для каждого шага интегрирования по- и+ л+ зволяет охватить все интересующее нас поле. Дискретные значения иь из 1 0 которые мы выбирали зара- аа 2т пее, определяют сетку; на иРис. 2.4-1 показана часть этой Лилия обило — х яи сетки. Точки (т и В пРедстав- лторобизбос ляют узловые точки в направ- зиочоииоо Рнс. 24Л. Расположение точек сетки конечно- ленин течения потока при за- даныой со; узлопыс точки в не- разнеетноя схемы.
посредственной близости ит будем обозначать через Ьж, (), тзы О . Точки, лежащие посередине между (з' и (з4, обозначим через (з'(I+, аналогично точки (т'(/, 1з(з, ьзьзэ расположены посередине между соответствующими точкамн. Эти четыре промежуточные точки определяют контрольный объем (на рисунке заштриховап). Его мы используем для образования разностного уравнения. Частные производные по ы в уравнении (2.2-4) могут быть выражены через значения Ф при хтт илн хо.
Может быть использовано также средневзвешенное значение двух этих величин. Вычисление прн хтт было бы распространением на пограничный слой явного метода Биыдера — Шмидта (работы (Л. 7, 95)) для задач неустановившейся теплопроводностп. Этот метод не подходит к задачам пограничного слоя, так как требования устойчивости для данного негода накладывают ограпичеыия на дтину шага в направлении координаты х; максимальный шаг пропорционален скорости жидкости, которая иногда очень мала.
Использование среднеарифметических значений в членах д/дет для хо и хп аналогично методу !(ранка и Николсона (Л. 21), свободному от огранпчени14 на длину шага. Однако, как будет показано на простых примерахь использование значения для абсциссы, расположенной ниже по потоку, может дать более точный результат при больших вслнчиыах последующего шага и обеспечивает стабильность, что также весьма удобно. Поэтому мы будем вычислять пропзводныс д/доз от членов, содержаших величину Ф, для хп. Желательно, опять-таки в интересах удобства, чтооы конечно разностные уравнения были линейными относительно Ф. Поэтому коэффициенты типа а, Ь, с вседа будут вычисляться из известных (т.
е. расположенных вверх по потоку от рассматриваемого сечения) значений Ф. Обычный путь получения уравнения в консчных разностях из дпф ферепцпального уравнения в частных производных состоит в подстановке вместо отдельных членов соответствующих разложений их в ряд Тейлора. Существует, однако, н другая возможность, используемая в даи. ной работе. Мы можем составить интегральное уравнение для контрольного объема, показанного на рис. 2.4-1. Взятое совместно с допущенном относительно характера изменения Ф между узлами сетки, оно дает требуемое уравнение в конечных разностях. Другими словами, уравнение в конечных разностях получается посредством выражения каждого члена исходного дифференциального уравнения в частцых производных в виде среднепнтегрального значения в выбранном небольшом контрольном объеме.
Достоинством такого приема является то, что в отличие от обычного метода гарантируется удовлетворение уравнения сохранения в любой части пограничного слоя. Мы сделаеч допущение о линейной связи 6> и ы между узловыми точками сетки в направлении изменения координаты а>. В направлении координаты х зависимая переменная изменяется ступенчато. Величины Ф во всем интервале от хп до хр, кроме точки хп, постоянны п равны их значениям в точке хр,' это согласуется с ранее упомянутым нашим пред. положением вычислять члены, содержащие д/де>, в точке хр. Линейный характер изменения в направлении х согласуется с методом Краина — Николсона.
Следуя этим общим принципам, мы можем теперь представить различные члены уравнения (2.2-4) в конечно-разностной форме. Читатель, не желающий вникать в приведенные ниже алгебраические выкладки, может сразу же перейти к замечаниям относительно члена, выражающего градиент давления, помещенным в конце ьч 2.4.
Надо только припять во внимание, что уравнения (2.4-31) и (2.4-35) прсдставлчют результаты этих преобразований. Конвективные члены. Члены в левой части уравнения (2.2-4) могут быть представлены в виде Подстановка линейного между узловыми точками сетки Ф вЂ” ы профиля после некоторых алгебраических преобразований приводит к ',—.',„';=-Р, (Ф вЂ” а„)+Р,(Фр Фр)+Р,(Ф, — Фе ), (2,1-3) где Р,= о>р> е>р- 4 (хр — хр) (е>р — -е>р ) 3 Р,—= 4 (хр — хн) ('> .1 4) (2.4-5) Рз— ">р ">р- 4 (хр — хр) (мр-, мр — ) (2.4-6) — — - Я(Ԅ— Ф ), рФ (2.4-7) (~р ~рр~ дФ/дх = ~ ~ ~ (дФ/дх) г( хг(х~ ((хр — хр) (м и, — мр„)); (2.4-1) хи "ров ( 'рр, ( >ле~еЧ=.( ( (,+аз ЕФРЧ,, ~.) ~»,„,—.„Э Р». ) 'рр- (2,4-8) мо- о'ив бед~> 7( ~о;-+В~ о+йз)о — ' дФ (2 4-9) где / "ое -р з"о 4 ио„— Уо (2.4-10) б г (2.4-1 1) (2.4-12) Конвективные члены в сумме дают: дФ дч+(а+В ) д .=В,Ф,. +й,'1о+)(,фо +И„(2.4-18) дФ где ие ~ и рзи— (2.4-17) Важно отметить, что коэффициенты пь д,, д,, и~ могут быть выражены через известные величины Ф при х=х„., Выражение дяя потока.
В соответствии с уже упомянутыми принпипами выражение для члена, представляющего поток, будет: (2.4-18) Здесь подстрочные обозначения УУ.„и (/У означают, что и-коэффициенты, вычисляются в сечении, расположенном вверх по потоку, посередине между соответствующими узловыми точками сетки. Введем обозначения: 2си, е Яь = (н, — мо ] (во — во) (2.4-19) геии— (2.4- 0) (ма~ ~о) (~о мо — ) (2.4-21) Выражение для источника.
Теперь остается выразить в конечноразностпой форме г(-член, представляющий источник. 45 й, =-", +2+В„ д„= Р, + Я,,; — Ч ) д / дФ 1 2 ~ ( Фо Фл — --(-":-". )) тогда член, описывающий поток, может быть представлен в виде д / дФ1 — ~с~~ ) = д, (Ф вЂ” Ф ) — и,(Ф вЂ” Фо ), (о Ф14) (2.4-1 5) (2.4-1 6) е(о г(и ~ (дФ) (1о Фи). (2.4-22) Мы сделаем одно исключение в толковании члена, описывающего источник. В уравнении для скорости и смысл члена, описывающего источник, довольно прост. В то же время решение этого уравнения является наиболее важным в силу своего влияния на решения всех других уравнений. Выразим поэтому член, представляющий источникс в уравнении скорости, исходя из допущения линейного изменения по ы между узловыми точкамн сетки. Таким образом, (д)с= с "оо— (схоо.~. сопи — ) (2.4-23).
(а)х= с = (с))х.-. х -)- ( †„, 1 ((а)х=х — ( ), х ). (2 4-24) / х=. хь После подстановки действительного выражения для 1 как — (г(р/Нх)/ри получпхс есап и х и ~ с о — т 4' (2,4-25) здесь (2.4-26) си —;аи э вх = —, — (х — х,,); Рх др ц' дх гиии рз др — (х — х,); з ' ) о и ги — "й— (2 4 21) (2,4-28) Полное разноегное уравнение. Выяснив, каким образом отдельные члены могут быть выражены в форме конечных разностей, мы теперь можем представить полное разиостпое уравнение в следующем виде: и Ф -)-д,Ф вЂ” 'д Ф '- д =(х,(Ф, — Ф ) — (1 (Ф вЂ” Ф )-)- -4- ~ — '") (Фо — Фи) (2.4-30) или в другой равносильной записи: Ьо — — А'1 и+ —' ,ВФо ~ С, (2.
4-31) где Рх Ю А=— ., Ех + я,„+ Ех — (дс! дФ) и Ес — ех я:+ Ех -)- Ех — (д):(сдФ)и (2-4-32) (2.4-33): 1(ак видно из табл. 2.2-1, выражение для Ы порою может быть довольно сложным. Поэтому мы будем рассматривать величину 4 отнесенную ко всему контрольному объему', постоянной и равной ее значению в .0; но поскольку ~( может нелинейно зависеть от Ф, то для г(п, будет использована следующая линеаризовавная формула: по (в" ~ф)о»»»о С— (2А-34) "»+ Гм -Р Е» — (Ва~вФ)о где д» вЂ” е +» (2.
4-36) (2.4-37) и 4 в д» + к С„=— ~— »» я» ~'- + я» + д» (2А-38) Здесь подстрочный иыдекс и указывает на то, что эти выражеыия относятся к уравнению скорости и. У'равнения (2.4-31) и (2.4-35) представляют собой окоычательный результат нашей интерпретации и будут обсуждены в ~ 2.7. Случай, когда градиент давления неизвестен. Все алгебраические преобразования до сих пор делались с одгп|м намерением: свести вместе группы условных обозначений, поддающиеся вычислению через известные величины, сохраняя в качестве неизвестных в уравнении величины Ф при х=х„. Таким образом, коэффициенты Ф, А, В, С могут быть известны до получения значений при х==хо.
Это замечание, однако, нельзя отнести к величинам А„, В„, С, если неизвестен градиент давлеыия йр/йх. В случае ограниченного течения величину йр1ах заранее дать ыевозможно. Поэтому алгебраическими преобразованиями приходится выделять ар)дх как неизвестную величину, и тогда метод решения конечыо-разностпых уравнений будет несколько друп|м. Мы не станем обсуждать его здесь, поскольку метод решения в общих чертах описан в работе (Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
